4.3长方体的体积（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

本小学数学讲义聚焦“长方体的体积”核心知识点，系统梳理长方体体积公式（长×宽×高）、正方体体积公式（棱长×棱长×棱长，作为特殊长方体），并延伸至体积等积变形（形状改变体积不变）及立体图形切拼（切割表面积增体积不变、拼接表面积减体积不变），构建从基础公式到实际应用的学习支架。 该资料通过基础巩固、能力提升、思维拓展三层题目设计，结合熔铸、液体容器转换等生活情境，培养学生空间观念与推理意识。如等积变形题让学生用体积不变原理求未知量，切拼题强化空间想象，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学思维解决实际问题的能力。

4.3长方体的体积重点知识点 知识点一、长方体的体积 长方体的体积公式:体积 = 长 宽 高 知识点二、正方体的体积 正方体的体积公式:体积=棱长 棱长 棱长 与长方体关系:正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。 知识点三、体积的等积变形(长方体、正方体) 等积变形:形状改变,但体积不变。 常见题型: 1.将长方体熔铸成正方体 2.将正方体拉成长方体 3.液体从一个容器倒入另一个容器 解题关键:(1)先求出原图形的体积、根据新图形的已知条件.(2)求出未知量(如高、棱长等) 知识点四、立体图形的切拼(长方体、正方体的体积) 切割: 切一刀,增加两个面(截面) 体积不变,表面积增加 切成若干个小长方体或正方体后,总体积等于原体积 拼接: 拼在一起,减少两个面(接触面) 体积不变,表面积减少 由多个小正方体拼成大长方体或正方体 常见题型: 求切割后每个小块的体积 求拼接后图形的表面积变化 根据体积不变列方程求解 基础巩固 1.把两个棱长为3dm的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是( ),体积是( )。 2.一个长方体长8厘米,宽4厘米,高2厘米,它的占地面积最少是( )平方厘米,体积是( )立方厘米。 3.一个长方体的长是8分米,宽是6分米,高是5分米。这个长方体的棱长总和是( )分米,占地面积最大是( )平方分米,它的体积是( )立方分米。 4.将一个棱长为6厘米的实心正方体铝块熔化后,铸造成一个长为9厘米、宽为4厘米的实心长方体,则长方体的高为( )厘米。 5.把一个长为8分米、宽为6分米,高为4分米的长方体截成两个完全相同的小长方体,则截成的长方体的表面积之和最多比原来增加( )平方分米,截成后的两个小长方体的体积之和是( )立方分米。 6.一个小正方体的棱长是2厘米,至少要( )个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。拼成的大正方体的表面积是( )平方厘米,体积是( )立方厘米。 7.至少需要( )个完全相同的小正方体才能拼成一个较大的正方体。 A.4 B.6 C.8 D.10 8.不移动已摆好的小正方体,下图至少再摆上( )个这样的小正方体就可以得到一个大正方体。 A.18 B.20 C.27 D.55 9.一个长为8分米,宽为6分米,高为5分米的长方体盒子里最多可以放( )个棱长是2分米的小正方体木块。 A.30 B.24 C.36 10.一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形,高是10厘米,如果它的长与宽都是整厘米数且都是合数,那么这个长方体的体积是( )立方厘米。能力提升 A.120 B.240 C.360 D.540 11.学校开展“艺术节”橡皮泥手工制作活动,田田用一块长方体橡皮泥捏出了一个哈尔滨亚冬会的吉祥物“滨滨”,长方体橡皮泥和捏出的“滨滨”相比,( )。 A.体积不相等,表面积相等 B.体积相等,表面积不相等 C.体积和表面积都相等 D.无法比较 12.(判断题)将一块正方体的橡皮泥捏成长方体,长方体的表面积等于正方体的表面积。( ) 13.(判断题)如果一个长方体的长和宽都不变,高扩大到原来的3倍,那么它的体积扩大到原来的3倍。( ) 14.(判断题)从一个大正方体当中挖出一个小正方体,它的体积和表面积都减小了。( ) 15.(判断题)如图是由若干个棱长为1厘米的小正方体组成的,再添上12个这样的小正方体,就可以组成一个棱长为3厘米的大正方体。( ) 16.分别求出下图所示图形的表面积和体积。(单位:厘米) (1) (2) 17. 一个正方体容器,棱长为11厘米,放入一个苹果后水面升高了3厘米(完全浸没),这个苹果的体积是多少? 18.手工课上,淘气将一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥捏成了一个长8厘米、宽4厘米的长方体,这个长方体的高是多少? 19.一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形,高是10厘米,如果它的长宽都是合数,那么这个长方体的体积是多少立方厘米? 思维拓展 20.在一个长30厘米,宽15厘米,高10厘米的长方体容器中装满水,然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中,这时水深是多少厘米? 21.笑笑家有一个收纳盒(如图1),她想把家里散落的小包纸巾(如图2)分别放入收纳盒中(纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压)。这个收纳盒中最多可以放置多少包纸巾?(单位:厘米) 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 1. 90 54 【分析】把两个棱长为3dm的正方体拼成一个长方体,则这个长方体的长是3 2=6dm,宽是3dm,高是3dm。将数据代入长方体表面积公式:S=(ab+ah+bh) 2计算即可求出表面积;将数据代入长方体体积公式:V=abh计算即可求出长方体体积;据此解答。 【详解】3 2=6(dm) (6 3+6 3+3 3) 2 =(18+18+9) 2 =45 2 =90(dm2) 6 3 3=54(dm3) 把两个棱长为3dm的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是90,体积是54。 2. 8 64 【分析】8>4>2,最小占地面积=宽 高,长方体体积=长 宽 高。 【详解】最小占地面积:4 2=8(平方厘米) 体积:8 4 2=64(立方厘米) 3. 76 48 240 【分析】长方体棱长总和=(长+宽+高) 4;占地面积指的是底面积,分别计算长 宽、长 高、宽 高,将最大的面放在底面是最大占地面积;长方体体积=长 宽 高,据此列式计算。 【详解】(8+6+5) 4 =19 4 =76(分米) 8 6=48(平方分米)、8 5=40(平方分米)、6 5=30(平方分米) 48>40>30 8 6 5=240(立方分米) 这个长方体的棱长总和是76分米,占地面积最大是48平方分米,它的体积是240立方分米。 4. 6 【分析】由题意可知,长方体的体积与正方体体积相等,根据可求出体积,再根据的逆运算,用体积除以长方体的长再除以宽,即可得解。 【详解】 (厘米) 将一个棱长为6厘米的实心正方体铝块熔化后,铸造成一个长为9厘米、宽为4厘米的实心长方体,则长方体的高为6厘米。 5. 96 192 【分析】如图所示,一共有3种不同的截法,截成的长方体的表面积之和比原来增加了2个截面的面积,分别求出3种截法对应的截面的面积,最后比较大小即可求得;切分前后这个长方体所占空间的大小不变,所以截成后的两个小长方体的体积之和等于原来大长方体的体积,利用“长方体的体积=长 宽 高”求出大长方体的体积即可。 【详解】 截法1: 8 4 2 =32 2 =64(平方分米) 截法2: 6 4 2 =24 2 =48(平方分米) 截法3: 8 6 2 =48 2 =96(平方分米) 因为96平方分米>64平方分米>48平方分米,所以截成的长方体的表面积之和最多比原来增加96平方分米。 8 6 4 =48 4 =192(立方分米) 所以,截成后的两个小长方体的体积之和是192立方分米。 6. 8 96 64 【分析】根据题意可知:要用小正方体拼成一个大正方体,就要使沿着每条棱上摆的小正方体的个数相等,即每条棱上至少摆2个,所以至少需要(2 2 2)个小正方体;拼成的大正方体的棱长是(2 2)厘米,根据正方体的表面积=棱长 棱长 6,正方体的体积=棱长 棱长 棱长,据此代入数据列式计算。 【详解】2 2 2=8(个) 2 2=4(厘米) 4 4 6 =16 6 =96(平方厘米) 4 4 4 =16 4 =64(立方厘米) 一个小正方体的棱长是2厘米,至少要(8)个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。拼成的大正方体的表面积是(96)平方厘米,体积是(64)立方厘米。 7.C 【分析】假设出正方体的棱长是1,要拼成一个棱长是2的正方体,棱长是1的小正方体的体积是1,棱长是2的正方体的体积是2 2 2=8,再用较大的正方体的体积除以小正方体的体积,即可解答。 【详解】设小正方体的棱长为1,拼成的较大的正方体的棱长为2 2 2 2 (1 1 1) =8 1 =8(个) 故答案为:C 8.A 【分析】正方体的12条棱长度相等,大正方体的每条棱上最少有3个小正方体,根据“正方体的体积=棱长 棱长 棱长”求出得到一个大正方体至少需要小正方体的数量,最后减去已有小正方体的数量求出需要添加小正方体的数量。 【详解】3 3 3 =9 3 =27(个) 6+2+1=9(个) 27-9=18(个) 分析可知,至少再摆上18个这样的小正方体就可以得到一个大正方体。 9.B 【分析】8和6都是2的倍数,所以沿着长和宽摆,刚好能摆满;5不是2的倍数,所以沿着高摆不能摆满;用长、宽、高分别除以2,求出商和余数,把三个商相乘即可求出放小正方体的个数。 【详解】8 2=4 6 2=3 5 2=2……1 4 3 2=24(个) 所以一个长为8分米,宽为6分米,高为5分米的长方体盒子里最多可以放24个棱长是2分米的小正方体木块。 故答案为:B 10.D 【分析】先根据公式:长方形的周长=(长+宽) 2,可得:长+宽=周长 2,代入数据计算,求出长和宽的和为:30 2=15(厘米);合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。小于15的合数有4、6、8、9、10、12、14,只有6+9=15,所以长方体底面长方形的长是9厘米,宽是6厘米。再根据长方体的体积=长 宽 高,代入数据计算,即可求出这个长方体的体积。 【详解】30 2=15(厘米) 小于15的合数有4、6、8、9、10、12、14。 6+9=15,长方体底面长方形的长是9厘米,宽是6厘米 9 6 10=540(立方厘米) 即这个长方体的体积540立方厘米。 故答案为:D 11.B 【分析】体积是指物体所占空间的大小;表面积是指物体所有面的面积总和。 【详解】同一块橡皮泥只是改变形状捏成新的造型,橡皮泥的总量没有变化,因此它所占空间的大小(也就是体积)是不变的,即体积相等;形状改变后,物体表面所有面的面积和发生了改变,因此表面积不相等。 12. 【分析】将正方体橡皮泥捏成长方体时,体积保持不变,但表面积可能发生变化。根据长方体体积=长 宽 高,正方体体积=棱长 棱长 棱长,长方体表面积=(长 宽+长 高+宽 高) 2,正方体表面积=棱长 棱长 6,据此举例说明即可。 【详解】假设橡皮泥的体积是64立方厘米。 长方体:64=8 4 2 长方体的长宽高可以是8厘米、4厘米、2厘米。 表面积:(8 4+8 2+4 2) 2 =(32+16+8) 2 =56 2 =112(平方厘米) 正方体:64=4 4 4 正方体的棱长是4厘米。 表面积:4 4 6=96(平方厘米) 112≠96,长方体的表面积不一定等于正方体的表面积,原题说法错误。 故答案为: 13.√ 【分析】积的变化规律:如果一个因数扩大若干倍,另一个因数不变,那么积也扩大相同倍数。从长方体的体积=长 宽 高可知:长和宽都不变,高扩大到原来的3倍,那么它的体积扩大到原来的3倍。据此解答。 【详解】如果一个长方体的长和宽都不变,高扩大到原来的3倍,那么它的体积扩大到原来的3倍。原题说法正确。 故答案为:√ 14. 【分析】从一个大正方体当中挖出一个小正方体,体积减小了,如果在一个角挖出一个小正方体,则表面积不变,如果在一个面上挖出一个小正方体,表面积反而会增加,在不同的位置挖小正方体,表面积的变化也不同,据此判断。 【详解】由分析可知,从一个大正方体当中挖出一个小正方体,它的体积和表面积都减小了,说法错误。 故答案为: 【点睛】此题考查了立体图形的切拼,表面积的增减变化,需要明确增加的和减少的面分别包含哪些面。 15. 【分析】一个棱长为 3厘米的大正方体的体积为:3 3 3=27(立方厘米),小正方体的体积=1 1 1=1(立方厘米);已知立体图形里有7个这样的小正方体,现有的体积:1 7=7(立方厘米),还需要多少立方厘米才能组成大正方体:27-7=20(立方厘米)即为20个这样的小正方体。 【详解】(3 3 3)-(1 1 1 7) =27-7 =20(立方厘米) 再添上20个这样的小正方体才能组成棱长为3厘米的大正方体。 故答案为: 16.(1)304平方厘米;320立方厘米 (2)384平方厘米;512立方厘米 【分析】根据正方体的表面积公式:,体积公式:,长方体表面积公式,长方体的体积公式, 把数据分别代入公式解答即可。 【详解】(1)(10 8+4 10+4 8) 2 =(80+40+32) 2 =152 2 =304(平方厘米) 10 8 4 =32 10 =320(立方厘米) (2)8 8 6 =64 6 =384(平方厘米) 8 8 8=512(立方厘米) 17.363立方厘米 【分析】根据题意,把一个苹果浸没在一个有水的正方体容器中,水面升高了3厘米,则水上升部分的体积就是这个苹果的体积;水上升部分是一个长、宽均为11厘米、高为3厘米的长方体,根据长方体的体积公式V=abh,代入数据计算,求出这个苹果的体积。 【详解】11 11 3 =121 3 =363(立方厘米) 答:这个苹果的体积是363立方厘米。 18.2厘米 【分析】由题意可知,把正方体的橡皮泥捏成一个长方体,则橡皮泥的体积不变,先根据“”求出正方体的体积,即这个长方体的体积,再利用“”求出这个长方体的高,据此解答。 【详解】4 4 4 8 4 =16 4 8 4 =64 8 4 =8 4 =2(厘米) 答:这个长方体的高是2厘米。 19.540立方厘米 【分析】根据长方体周长=(长+宽) 2,可确定长与宽的和是15厘米,15以内的合数是:4、6、8、9、10、12、14、15,则长、宽是9厘米和6厘米。再根据长方体体积=长 宽 高,列式解答即可。 【详解】30 2=15(厘米) 6和9都是合数且15=9+6,所以长、宽是9厘米、6厘米。 9 6 10 =54 10 =540(立方厘米) 答:这个长方体的体积是540立方厘米。 20.11.25厘米 【分析】长方体体积公式为:体积=长 宽 高,已知长方体容器长30厘米、宽15厘米、高10厘米,且装满水,水的体积等于长方体容积,把数据代入公式得:30 15 10=4500(立方厘米)。正方体底面积公式为:面积=棱长 棱长,已知正方体容器棱长20厘米,则底面积为:20 20=400(平方厘米)。水倒入正方体容器后,形状变为“以正方体底面积为底、水深为高的长方体”,根据“长方体的高=体积 底面积”,把体积4500立方厘米,底面积400立方厘米代入计算即可。 【详解】30 15 10=4500(立方厘米) 20 20=400(平方厘米) 4500 400=11.25(厘米) 答:这时水深是11.25厘米。 21.12包 【分析】收纳盒的长为15厘米,宽是14厘米,高是6厘米。收纳盒的长与纸巾的长重合,可以放(15 5)包纸巾;收纳盒的宽与纸巾的宽重合,可以放(14 7)包纸巾;收纳盒的高与纸巾的高重合,可以放(6 3)包纸巾,最后相乘求出收纳盒放置纸巾的总数量,据此解答。 【详解】(15 5) (14 7) (6 3) =3 2 2 =6 2 =12(包) 答:这个收纳盒中最多可以放置12包纸巾。 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $