第二十三章 一次函数 单元测试卷 2025-2026学年 人教版数学 八年级下册

第二十三章 《一次函数》单元测试卷 【新人教版】 1、 选择题： 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．的值随的增大而减小 C．它的图象与轴的交点为 D．它的图象经过第一、二、三象限 4．一次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．交点在轴上的是②和③ 8．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么m的值可以是（    ） A．0 B． C． D．4 9．若函数的图象如图所示，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随x的增大而减小 B． C．方程组的解为 D．当时， 2、 填空题： 11．已知点在一次函数的图象上，则的值为 ． 12．将正比例函数的图象向左平移两个单位长度，平移后的图象相应的函数表达式为 ． 13．一次函数y=（k-1）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 14．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为 15．平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 16．如图直线与轴、轴分别交于点A和点B，点分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为 ． 3、 解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17．根据下列条件，确定函数关系式： (1)与成正比，且当时，； (2)的图像经过点和点． 18．已知关于x的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 19．甲乙两人匀速从学校出发到1500米处的图书馆看书，如图分别表示甲、乙两人离开学校的距离与甲出发后的时间之间的关系，甲的速度为． (1)由图象可知：甲比乙先出发________分钟，乙的速度是________； (2)甲出发多少分钟，两人相遇，这时他们离开学校多少米？ 20．已知一次函数． (1)用五点作图法画出函数的图象．并指出图象经过哪几个象限？ (2)试判断点，是否在此函数的图象上，并说明理由． (3)求此直线与坐标轴围成的三角形面积． 21．如图在平面直角坐标系中，直线与直线交于点P，直线与直线分别与x轴相交于点A、B． (1)求点P的坐标； (2)当时，x的取值范围为______； (3)求的面积． 22．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 23．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样． (1)求甲乙两种类型笔记本的单价． (2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少? 24．如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值； (3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 《一次函数》单元测试卷 【新人教版】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D A B C A B D 1．C 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数是一次函数，分别判断各选项是否符合该形式. 【详解】解：∵一次函数的标准形式为， 选项A：，x的最高次数为2，是二次函数，不符合； 选项B：，x在分母上，不是一次函数，不符合； 选项C：，即，符合一次函数定义； 选项D：，x的最高次数为2，是二次函数，不符合； 故选：C. 2．A 【分析】根据题目条件函数的图象向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【详解】解：∵函数的图象向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 3．C 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数的性质，分别计算与坐标轴的交点、判断增减性和图象所经象限． 【详解】解：一次函数为， 当时，， 与 轴交点为 ，选项错误； ， 随的增大而增大，选项错误； 当时，， 解得， 与轴交点为，选项正确； ，， 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项错误． 故选：． 4．D 【分析】本题考查了一次函数的图象，由，，可得一次函数的图象经过一、二、四象限，进而根据选项图象即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴一次函数的图象可能为选项， 故选：． 5．A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，，再计算即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．观察函数图象得到，当，函数的图象都在函数图象的下方，即可得到关于x的不等式的解集． 【详解】解：由图象可知两直线的交点P的横坐标为，且当，函数的图象都在函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、当时，②，③，所以②和③的交点在y轴上，该选项错误； 故选：C． 8．A 【分析】本题考查一次函数图象与性质；一次函数图象经过第一、三、四象限需满足且． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，即，且截距，即， ∴m的取值范围为． 故选：A． 9．B 【分析】根据一次函数的图像特征，判断和的取值范围，从而得到的图像情况． 本题主要考查了一次函数的图像与系数的关系，得出和的符号是解题的关键． 【详解】由图可知，一次函数经过第一，二，四象限，则， 故一次函数的图像经过第一，三，四象限， A、函数经过第一，二，三象限，故选项不符合题意， B、函数经过第一，三，四象限，故选项符合题意， C、函数经过第一，二，四象限，故选项不符合题意， D、函数经过第二，三，四象限，故选项不符合题意． 故选：B． 10．D 【知识点】判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图像中有效的获取信息，熟练掌握图像法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图像，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图像可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得， 故方程组的解为， 故选项C正确，不符合题意． D、由图像可知：当时，，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 11． 【分析】本题考查了求一次函数的解析式．将点的坐标代入函数解析式，建立关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， 故将代入，得， 解得． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规律，左右平移时，值不变，自变量“左加右减”，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的函数表达式为，化简得． 故答案为：． 13．k＞1． 【分析】根据比例系数大于0时，一次函数的函数值y随x的增大而增大列出不等式求解即可． 【详解】解：∵y=（k-1）x+1的函数值y随x的增大而增大， ∴k-1＞0， 解得k＞1． 故答案为k＞1． 14． 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出当时，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在直线中，当时，， ∵直线经过点， ∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 故答案为：． 15．10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，一次函数上的点，掌握相关知识是解题的关键． 过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点设点的横坐标为n，根据点，的坐标，结合等腰直角三角形的性质求出，得到点的坐标为，代入直线，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点 ∵ ∴，，，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， 设点的横坐标为n，则，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的横坐标为10． 故答案为：10． 16．/ 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数与一次函数关系式的确定，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“与成正比”设出函数表达式，代入已知、的值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）将两点坐标代入一次函数，得到方程组，解方程组求出、的值，确定函数关系式． 【详解】（1）解：设（）， 将，代入得， 解得， ∴ ，即； （2）解：将、代入，得 ， 解得，， ∴ ． 18．(1) (2)3 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）一次函数解析式为，利用增减性求得最大值即可． 【详解】（1）函数是一次函数， ，解得， ， ； （2）将代入得一次函数解析式为， ∴随的增大而增大， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为． 19．(1)3，50 (2)甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图象可直接进行求解； （2）分别求出的解析式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲比乙先出发3分钟，乙的速度为； 故答案为3，50； （2）解：设直线的解析式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：， 联立，解得， 答：甲出发15分钟，两人相遇，这时他们离开学校600米． 20．(1)作图见解析，函数图象经过第一、三、四象限 (2)点在此函数图象上，点不在此函数图象上，理由见解析 (3)4 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象，以及图象上点的坐标特征，与坐标轴围成的三角形面积等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）列表，描点，连线即可作图，即可判断经过的象限； （2）将点，代入函数解析式进行判断即可； （3）由（1）描点可得直线与坐标轴的交点坐标，即可求解三角形面积． 【详解】（1）解：列表 0 描点、连线如图： 可得：函数图象经过第一、三、四象限； （2）解：点在此函数图象上，点不在此函数图象上，理由如下： 对于点， 当时，， ∴点在此函数图象上； 对于， 当时，， ∴点不在此函数图象上； （3）解：由描点可得，． ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为4． 21．(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了两条直线相交的问题． （1）依据题意，可得方程组，计算即可得解； （2）依据题意，由当时，的函数图象在上方，结合，即可判断得解； （3）依据题意，分别求出A、B的坐标，再结合，进而可以计算得解． 【详解】（1）解：∵， 解得， ∴； （2）解：∵当时，的函数图象在上方， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴令，则， ∴， 又对于，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、梯度计价问题 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 23．(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元 (2)最低费用为1101元 【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答； （2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元． 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意． ∴乙类型的笔记本单价为：（元）． 答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元． （2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件． 由题意得：． ∴． ． ∵， ∴当a越大时w越小． ∴当时，w最小，最小值为（元）． 答：最低费用为1101元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键． 24．(1) (2)见解析；当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识． （1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴函数图象过点， 如图，即为所求，    当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小； （3）解：如图，当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴当，直线与（2）中的函数图象有两个交点． 25．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，求出点、点的坐标，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）根据解析式求得点，点，点的坐标得，，，可得，设点的坐标为，且，根据，且，列出方程求出点的坐标为，作点关于轴的对称点，连接，，由轴对称可知，则，当点在上时取等号，即的最小值为，结合勾股定理即可求解； （3）设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，当四边形是以，为对角线的平行四边形时，根据对角线互相平分，结合中点坐标公式，列方程即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入中，得，解得， ∴直线的解析式为； （2）对于直线，当时，，当时，， 即点的坐标为，即点的坐标为， ∴，，则， 对于直线，当时，，即点的坐标为，则， 设点的坐标为，且， ∵，且 ∴，解得：， ∴点的坐标为， 作点关于轴的对称点，连接，， 由轴对称可知， 则，当点在上时取等号， 即的最小值为； （3）设点的坐标为，点的坐标为， 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 当四边形是以，为对角线的平行四边形时， 由对角线互相平分可知，，即， 解得：，即点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $