21.2.2.2平行四边形的判定（2）导学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（2） 教学目标： 1. 理解并掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形． 2. 会将平行四边形问题转化为三角形的问题，渗透化归意识． 3. 综合运用平行四边形的判定方法和性质进行证明和计算． 教学重点：利用一组对边平行且相等判定平行四边形． 教学难点：综合运用平行四边形的各种判定方法进行推理论证． 活动一、复习导入 问题1：我们已经学过的平行四边形的判定方法有哪些？ 1．两组对边分别 的四边形是平行四边形． 2．两组对角分别 的四边形是平行四边形． 3．对角线 的四边形是平行四边形． 4．定义法：两组对边分别 的四边形是平行四边形． 问题2：思考还有其他的判定方法吗？如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ 活动二、探究新知1： 探究1.平行四边形的判定方法 思考：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 我们知道平行四边形任意一组对边平行且相等． 反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 证明猜想： 已知：如图，四边形ABCD中，ABCD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 注意：“”表示平行且相等. 证明： 小结：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言： ∵AB∥DC，AB＝DC（或AD∥BC，AD＝BC）， ∴四边形ABCD是平行四边形． 思考：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 活动三、典例分析： 例1（教材P60例题） 如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：DEBF． 例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． 例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？ 知识点一（平行四边形的判定定理)： ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 活动四、随堂检测 随堂练习1 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　 　） A． AB＝CD B．BC＝AD B． ∠A＝∠C D．BC∥AD 随堂练习2 如图，在□ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（　 　） ①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④ 随堂练习3 如图，在 □ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F . 求证：四边形 AFCE 是平行四形. 随堂练习4 如图，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，OA＝OC，BA⊥AC，DC⊥AC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 随堂练习5 如图，在 □ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线 AC 分别交BE，DF于点G，H．求证：AG＝CH． 随堂练习6 如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值． 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（2） 教学目标： 1. 理解并掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形． 2. 会将平行四边形问题转化为三角形的问题，渗透化归意识． 3. 综合运用平行四边形的判定方法和性质进行证明和计算． 教学重点：利用一组对边平行且相等判定平行四边形． 教学难点：综合运用平行四边形的各种判定方法进行推理论证． 活动一、复习导入 问题1：我们已经学过的平行四边形的判定方法有哪些？ 1．两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形． 2．两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形． 3．对角线 互相平分 的四边形是平行四边形． 4．定义法：两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形． 问题2：思考还有其他的判定方法吗？如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ 猜想1：一组对边相等；用等腰梯形举出反例 猜想2：一组对边平行； 猜想3：一组对边平行且相等． 活动二、探究新知1： 探究1.平行四边形的判定方法 思考：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 我们知道平行四边形任意一组对边平行且相等． 反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 证明猜想： 已知：如图，四边形ABCD中，ABCD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 1 2 注意：“”表示平行且相等. 分析：先证△ABC≌△CDA，然后证BC＝DA，再根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接AC， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2， 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA， ∴BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形． 小结：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言： ∵AB∥DC，AB＝DC（或AD∥BC，AD＝BC）， ∴四边形ABCD是平行四边形． 思考：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 答：不是；反例：等腰梯形． AD∥BC且AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形． 活动三、典例分析： 例1（教材P60例题） 如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：DEBF． 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD 又E，F分别是AB，CD的中点， ∴EB＝AB，DF＝CD， ∴EBDF. ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴DEBF． 例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． 【证明】∵AB=DC， ∴AB+BC=DC+BC， ∴AC=DB. 在△ACE和△DBF中， ∴△ACE≌△DBF(SAS). ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF， ∴CE∥BF. ∴四边形BFCE是平行四边形． 例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF＝CE吗？为什么？ 【解】BF＝CE． ∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠EBD. ∴DF=CE. ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD=∠EBD. ∴∠FBD=∠FDB. ∴BF=DF. ∴BF＝CE. 知识点一（平行四边形的判定定理)： ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 活动四、随堂检测 随堂练习1 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　 B 　） A． AB＝CD B．BC＝AD C. ∠A＝∠C D．BC∥AD 随堂练习2 如图，在□ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（　 A 　） ①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④ 随堂练习3 如图，在 □ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F . 求证：四边形 AFCE 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD = BC，AD∥BC， ∴∠ADE = ∠CBF. 又 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD， ∴∠AEF=∠AED=∠CFB = ∠CFE = 90°. ∴AE∥CF. 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB（AAS） ∴AE = CF. ∴四边形 AFCE 为平行四边形. 随堂练习4 如图，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，OA＝OC，BA⊥AC，DC⊥AC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 分析：根据题意可以得到 AB∥CD，通过证△AOB≌△COD得到 AB＝CD即可证得结论． 证明：∵BA⊥AC，DC⊥AC， ∴∠BAO＝∠DCO＝90°， ∴AB∥CD． 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 随堂练习5 如图，在 □ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线 AC 分别交BE，DF于点G，H．求证：AG＝CH． 分析：可先证四边形EBFD是平行四边形，再证△AEG≌△CFH得到AG＝CH． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC ∴∠ADH＝∠CFH，∠EAG＝∠． ∵E，F分别为边AD，BC的中点， ∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC． ∴DE＝BF＝AE＝CF． ∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴BE∥FD， ∴∠AEG＝∠ADH． ∵∠ADH＝∠CFH， ∴∠AEG＝∠CFH． 在△AEG和△CFH中， ∴△AEG≌△CFH（ASA）， ∴AG＝CH． 随堂练习6 如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值． 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠CDF=∠B. ∴DE=AF. ∵AB=AC=10， ∴∠B=∠C. ∵∠CDF=∠B， ∴∠CDF=∠C ∴DF=CF. ∴DE+DF=AF+CF =AC =10． 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $