21.2.2.1平行四边形的判定（1）导学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（1） 教学目标： 1.理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法, 培养学生严谨的书写表达能力； 2.理解平行四边形的判定定理与性质定理之间的区别和联系, 感悟用逆向思维来研究问题； 3.综合运用平行四边形的判定方法与性质进行证明和计算． 教学重点：理解平行四边形判定定理的证明． 教学难点：掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件选取适当的判定定理进行证明. 活动一、复习导入 问题1：我们学习过平行四边形的哪些性质？ 活动二、探究新知1： 探究1.平行四边形的判定方法 反过来，由平行四边形的边、角、对角线之间的关系，你能得出平行四边形的判定方法吗？ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？ 提出猜想： 猜想1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 猜想2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 猜想3．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 证明猜想： 猜想1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明： 猜想2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C， ∠B＝∠D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明： 猜想3．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明： 小结： 注：平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理． 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 符号语言：∵AB//DC，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 这也是平行四边形的判定方法． 知识点一（平行四边形的判定定理)： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 活动三、典例分析： 例1 如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD＝BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 例2 （教材P60例题）如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，点 E，F在AC上，并且 AE=CF． 求证：四边形 BFDE 是平行四边形． 活动四、随堂检测 随堂练习1 一个四边形 ABCD 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 的度数依次如下，其中可以判定是平行四边形的是（　 　） A．80°，100°，100° B．40°，140°，40° C．40°，40°，140° D．80°，80°，100° 随堂练习2 从下面所给的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　 　） A．2∶3∶2∶3 B．2∶2∶3∶3 C．1∶2∶3∶4 D．1∶2∶2∶3 随堂练习3 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　 　） A． ①② B．③④ C．②③ D．①④ 随堂练习4 如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图： ①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F； ②作直线EF，交AC于点O； ③作射线BO，在射线BO上截取OD(B与D不重合)，使得OD＝OB； ④作直线AD，连接CD，则四边形ABCD是平行四边形． 理由是 ． 随堂练习5 如图，E，F是▱ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形． 随堂练习6 如图，在△ABC中， AB＝AC，点D是BC上任意一点，DE平行于AC交AB于点E， DF平行于AB交AC于点F． 求证：DE＋DF＝AC． 随堂练习7 如图，AE = DF，BE = CF，AD = BC，且∠AEB = ∠DFC， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 随堂练习8 如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = 55°，∠1 = 85°，∠2 = 40°.求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 随堂练习9 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由． 随堂练习10 如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF . 求证：四边形 DEBF 是平行四边形. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定（1） 教学目标： 1.理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法, 培养学生严谨的书写表达能力； 2.理解平行四边形的判定定理与性质定理之间的区别和联系, 感悟用逆向思维来研究问题； 3.综合运用平行四边形的判定方法与性质进行证明和计算． 教学重点：理解平行四边形判定定理的证明． 教学难点：掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件选取适当的判定定理进行证明. 活动一、复习导入 问题1：我们学习过平行四边形的哪些性质？ 答：平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分． 它们分别阐述了平行四边形的边、角、对角线之间的关系． 活动二、探究新知1： 探究1.平行四边形的判定方法 反过来，由平行四边形的边、角、对角线之间的关系，你能得出平行四边形的判定方法吗？ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？ 提出猜想： 猜想1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 猜想2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 猜想3．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 证明猜想： 猜想1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 分析：先证△ABD≌△CDB，再证AD∥BC，AB∥DC，得四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接BD． 在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 猜想2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C， ∠B＝∠D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 分析：利用“四边形的内角和为360°” ，得∠A与∠B， ∠A与∠D互补，再证AD∥BC，AB∥DC，得四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接AC， ∵∠DAB＋∠BCD＋∠B＋∠D＝360°． ∠DAB＝∠BCD，∠B＝∠D， ∴2∠DAB＋2∠B＝360°，2∠DAB＋2∠D＝360° ∴∠ DAB ＋∠B ＝180°，∠DAB＋∠D＝180° ∴AD∥BC，AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 猜想3．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 分析：利用三角形全等与平行四边形的定义进行证明． 证明： 在△AOD和△COB中， ∴△AOD≌△COB， ∴∠ADO＝∠CBO． ∴AD∥CB． 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD， ∴∠ABO＝∠CDO． ∴AB∥CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． 小结： 注：平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理． 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 符号语言：∵AB//DC，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 这也是平行四边形的判定方法． 知识点一（平行四边形的判定定理)： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 活动三、典例分析： 例1 如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD＝BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【解析】要判定该四边形是平行四边形，已知AD＝BC ，根据已知条件，通过证明△ABC≌△CDA，可证AB＝DC． 【证明】∵BC⊥AC ， AD⊥AC ， ∴ ∠ACB＝∠CAD＝90°． 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA(SAS)． ∴ AB＝CD． ∵BC＝AD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 例2 （教材P60例题）如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，点 E，F在AC上，并且 AE=CF． 求证：四边形 BFDE 是平行四边形． 【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO． ∵AE=CF， ∴AO-AE=CO-CF,， ∴EO=FO. 又BO＝DO， ∴四边形 BFDE 是平行四边形． 活动四、随堂检测 随堂练习1 一个四边形 ABCD 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 的度数依次如下，其中可以判定是平行四边形的是（　B　） A．80°，100°，100° B．40°，140°，40° C．40°，40°，140° D．80°，80°，100° 随堂练习2 从下面所给的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　A　） A．2∶3∶2∶3 B．2∶2∶3∶3 C．1∶2∶3∶4 D．1∶2∶2∶3 随堂练习3 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　B　） A． ①② B．③④ C．②③ D．①④ 随堂练习4 如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图： ①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F； ②作直线EF，交AC于点O； ③作射线BO，在射线BO上截取OD(B与D不重合)，使得OD＝OB； ④作直线AD，连接CD，则四边形ABCD是平行四边形． 理由是______对角线互相平分的四边形是平行四边形______． 随堂练习5 如图，E，F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：____BE＝DF(答案不唯一)____，使四边形AECF是平行四边形． 随堂练习6 如图，在△ABC中， AB＝AC，点D是BC上任意一点，DE平行于AC交AB于点E， DF平行于AB交AC于点F． 求证：DE＋DF＝AC． 分析：易证DE＝AF ，则需再证DF＝CF，根据等角对等边可得． 证明：∵DE//AC ，DF//AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝FA． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵DF//AB ， ∴∠B＝∠FDC ， ∴∠C＝∠FDC， ∴DF＝CF， ∴ DE＋DF＝AF＋CF＝AC． 随堂练习7 如图，AE = DF，BE = CF，AD = BC，且∠AEB = ∠DFC， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：在△AEB 和△DFC中， ∴ △AEB ≌ △DFC（SAS）， ∴AB = DC. 又AD = BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 随堂练习8 如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = 55°，∠1 = 85°，∠2 = 40°.求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：∵AB//CD， ∴∠DCB = 180°－∠B = 125°，∠CAB = ∠2 = 40°. ∴∠DAB =∠1 + ∠CAB = 85°+ 40°= 125°. ∴∠DCB =∠DAB. ∵∠D = 180°－∠1－∠2 = 180°－85°－40°= 55°， ∴∠D =∠B， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 随堂练习9 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由． 解：四边形 AECF、四边形 ABCD 都是平行四边形． ∵AE ⊥ BD，CF ⊥ BD， ∴∠AEF=∠CFE=90°， ∴ AE∥CF． ∵AF∥CE， ∴四边形 AECF 是平行四边形． ∴ OA ＝OC，OE＝OF． 又 BE＝DF， ∴OE + BE ＝ OF + DF， 即 OB ＝ OD ． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 随堂练习10 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF . 求证：四边形 DEBF 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. ∵E，F 分别是 OA，OC 的中点， ∴OE =OA，OF=OC. ∴OE = OF. ∴四边形 DEBF 是平行四边形. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $