21.2.3 三角形的中位线 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.3 三角形的中位线 教学目标： 1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力． 3. 能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点：能够运用平行四边形的判定方法和三角形中位线定理解决几何问题． 教学难点：探究和证明三角形中位线定理，灵活运用平行四边形的判定方法解决综合性问题． 活动一、复习导入 问题1：平行四边形的性质和判定有哪些？ 边：① AB∥DC, AD∥BC性质 □ABCD ② AB=DC, AD=BC判定 ③ AB∥DC, AB=DC 角：∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC 对角线： AO=CO, BO=DO 活动二、探究新知1： 探究1.三角形的中位线 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 思考：一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 答：一个三角形有 3 条中位线； 因为三角形有 3 组对边，每一组对边中点的连线就是一条中位线． 中位线 ≠ 中线，不一样； 中位线：连接两边中点的线段． 中线：连接一个顶点和对边中点的线段． 注意： （1）理解三角形中位线定义的两层含义： ①如果D，E分别是AB，AC的中点，那么DE是△ABC的中位线； ②如果DE是△ABC的中位线，那么D，E分别是AB，AC的中点． （2）区分三角形的中位线与中线： 中位线是连接三角形两边中点的线段； 中线是连接一个顶点和对边中点的线段． （3）一个三角形共有三条中位线． 观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 猜想：DE∥BC，DE=BC．下面对它进行证明. 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，DE=BC． 分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半. 如图，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE//BC，且DE=BC转化为证明DFBC，而这只要证明以B，C，F，D力顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.由于DE=EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明. 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=EC，DE=EF, ∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∴ CFDA. 又 D是AB的中点， ∴ CFBD. ∴ 四边形DBCF是平行四边形. ∴ DFBC. 又 DE= DF, ∴ DE∥BC,且DE= BC. 小结：三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 符号语言：∵AD＝BD，AE＝EC， ∴DEBC． 活动三、典例分析： 例1 （1）已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形面积各是多少？ 【解析】每个三角形的面积＝S 【解】∵E，G，F是△ABC的中点 ∴AE＝BE＝AB，BG＝CG＝BC，AF＝CF＝AC 由三角形的中位线定理知，FG＝AB，EF＝BC，EG＝AC， ∴AE＝BE＝FG，BG＝CG＝EF，AF＝CF＝EG 在△AEF和△EBG中， ∴△AEF≌△EBG， 同理，△AEF≌△FGC，△GFE≌△AEF． 所以，S△AEF＝S△EBG＝S△FGC＝S△GFE＝S． （2） 如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形周长分别是多少？ 【解】根据三角形的中位线定理知， EF＝a，EG＝b，GF＝c． 由（1）得△AEF≌△EBG≌△FGC≌△GFE． ∴△EGF的周长C＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)． 同理，其他三角形的周长也是(a＋b＋c)． 小结：一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形； 每个小三角形的周长都是原三角形周长的； 每个小三角形的面积都是原三角形面积的. 例2（教材P64例题） 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【解析】 【证明】连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴EF∥AC,EF＝AC, HG∥AC,HG＝AC. ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形. 小结：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 知识点一（三角形的中位线定理)： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 活动四、随堂检测 随堂练习1 如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（　C　） . A.1 B.2 C.4 D.8 随堂练习2 如图，在□ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　C　） . A.2 B.3 C.4 D.5 随堂练习3 如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B= 50 °； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为 15 . 随堂练习4 在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 11 . 随堂练习5 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB，DA＝DC＝AC ∴∠2＝∠3. ∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DA＝DF＝3， ∴AC＝2DA＝2DF＝6. 随堂练习6 如图，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论． 证明：AB∥OF，AB＝2OF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC，OA＝OC， ∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF. ∵CE＝DC，∴AB＝CE, 在△ABF和△ECF中， ∴△ABF≌△ECF(ASA)， ∴BF＝CF. ∵OA＝OC， ∴OF是△ABC的中位线， ∴AB∥OF，AB＝2OF. 随堂练习7 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 证明：∵BD，CE 是 △ABC 的中线， ∴D，E 分别是 AC，AB 的中点， ∴DE 是 △ABC 的中位线. ∴DE∥BC，且 DE =BC . ∵F，G 分别是 OB，OC 的中点， ∴FG 是 △OBC 的中位线， ∴FG∥BC，且 FG =BC . ∴DEFG . ∴四边形 DEFG 是平行四边形. 随堂练习8 如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD， BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数． 解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线. ∴PM AB，PNCD. ∵AB = CD， ∴PM = PN. ∴△PMN是等腰三角形. ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°. ∴∠NPD＝(180°−∠BPN ) = 110°. ∴∠MPN =∠MPD+∠NPD = 130°. ∴∠PMN =×(180°−130°)= 25°． 随堂练习9 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长． 解：取BC边的中点G，连接EG ， FG． ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线. ∴EGAC, FGBD. 又BD = 12，AC = 16，AC⊥BD， ∴EG = 8，FG = 6，EG⊥FG. 在Rt△EFG中，由勾股定理得EF＝＝10 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.3 三角形的中位线 教学目标： 1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力． 3. 能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点：能够运用平行四边形的判定方法和三角形中位线定理解决几何问题． 教学难点：探究和证明三角形中位线定理，灵活运用平行四边形的判定方法解决综合性问题． 活动一、复习导入 问题1：平行四边形的性质和判定有哪些？ 活动二、探究新知1： 探究1.三角形的中位线 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.下面利用平行四边形研究三角形的有关问题. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 思考：一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 注意： （1）理解三角形中位线定义的两层含义： ①如果D，E分别是AB，AC的中点，那么DE是△ABC的中位线； ②如果DE是△ABC的中位线，那么D，E分别是AB，AC的中点． （2）区分三角形的中位线与中线： 中位线是连接三角形两边中点的线段； 中线是连接一个顶点和对边中点的线段． （3）一个三角形共有三条中位线． 观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 猜想：DE∥BC，DE=BC．下面对它进行证明. 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，DE=BC． 证明： 小结：三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 符号语言：∵AD＝BD，AE＝EC， ∴DEBC． 活动三、典例分析： 例1 （1） 已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形面积各是多少？ （2） 如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形周长分别是多少？ 小结：一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形； 每个小三角形的周长都是原三角形周长的； 每个小三角形的面积都是原三角形面积的. 例2（教材P64例题） 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 小结：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 知识点一（三角形的中位线定理)： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 活动四、随堂检测 随堂练习1 如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（　 　）. A.1 B.2 C.4 D.8 随堂练习2 如图，在□ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　 　）. A.2 B.3 C.4 D.5 随堂练习3 如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B= °； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为 . 随堂练习4 在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 . 随堂练习5 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 随堂练习6 如图，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论． 随堂练习7 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 随堂练习8 如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD， BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数． 随堂练习9 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长． 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $