江苏省苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷

2025~2026学年度苏锡常镇高三教学情况调研（一) 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答策标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x|x2+x-2≤0，B={xx<0,则AUB= A.(-0,0) B.(0,] C.[-2,0) D.[1,2] 2.“a>1”是“na2>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3.已知复数z= +1+i,则z月 -i A.0 B.1 C.5 D.22 4.(x-1)3的二项展开式的第6项系数是 A.C B.Cs C.-C D.-Cg 若椭圆手+©>b>0的长抽长是短轴长的2倍，右焦点是抛物线P2: 焦点，则 p A. B.√5 C.2 D.25 6.已知P是函数y=x+二(x>0)的图象上的任意一点，过P分别向直线y=x和y轴作垂 线，垂足分别为A,B,则PPB= A.-1 B.2 C.0 D. 2 高三数学 第1页（共4页） 7、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+2 acosC=0,则anB的最大 值为 A月 B. 3 C.5 D.3 8.已知函数，8)的定义域为R,心因为/心因的导函数，f因-8+月-1， 因=f0-,=f-1-刘.若f=1,g0=-1,则2g0= 202 A.2026 B.1013 C.1 D.-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sinx-cosx,则 A.∫(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为2π C.f()在区间0，上单调递增 D.)的图象关于点（受，0）对称 10。甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2 个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球.现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋 子里，再从甲袋子里随机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X,则 ARX=0-号 B.PX=)= C.E0= D.DX0=125 11.已知异面直线4,4,4⊥k,A∈4，B∈4，AB⊥4，AB⊥4，P∈4,2∈k,四 点A,B,P,Q不共面，O是线段PQ的中点，AB=2,PQ=4,则 A.当AP=2时，B0=2N2 B.当AP=2时，直线AB,PQ所成角为60° C.点O到直线AB的距离为√5 D.三棱锥A-BPQ的体积的最大值为3 高三数学 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知等比数列{a,},a2a=2a+a,=a6,则a2= 13.求值： c0s40(2c0s20°-c0s40) cos100 14.已知圆C:x2+y2=9,A,B是C上的两个动点，点P(2,0),∠APB=90°，若四边 形APBQ是矩形，则1PQ的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{an},a=1,a2n=2an+1,neN. (1)若{a,}是等差数列，求{a,}的通项公式： (2)设bn=a+1,证明：数列化，}是等比数列. 16. (15分) 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院 抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差x/℃ 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数y 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求 经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验， (1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率： (2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出y关于x的经验回归方程)=x+a: ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理 想？说明理由 g-驴 ,a=- 2- 高三数学 第3页（共4页） 17.(15分) 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=30°，将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (1)证明：PB⊥平面PCD: (2)若P,B,C,D在同一个球面上，求该球的半径： (3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值. (第17题图) 18.（17分) 已知函数f(x)=a2x2-3 axInx,a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在1，f)处的切线方程； (2)讨论f(x)的零点个数： (3)当a>时，证明：f>2si血x. 19. (17分) 已知双曲线c号-卡=a>0,b6>0的一条新近线的领斜角为60，斤，5分别为左、 右焦点，A为右顶点，P,Q为C左支（不包括顶点）上的两个动点， (1)求C的离心率； (2)是否存在常数t(t>0),使得∠PA=t∠P℉A总成立？若存在，求t的值：若 不存在，请说明理由： (3)若a为定值，直线PQ经过F,求|API+|Ag|的最小值. 高三数学 第4页（共4页） 2025~2026学年度苏锡常镇高三教学情况调研（一) 数学（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B2.A 3.D4.C 5.A6.B 7.B8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BCD 10.BC 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 223. 14.[4-2,14+2] 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)由题意4=1,42=24+1=3. .2分 因为{a}是等差数列，所以公差a-4,=2. 3分 所以an=a+(m-1)d=2n-1. .5分 满足an=2an+1,所以{an}的通项公式为an=2n-1. .7分 (2)因为bn=a2+1, 所以b1=a2+1=aa+1=(2a+1)+1=2(a,+1）=2b.11分 其中五=4，+1>0，所以=2，所以他，}是等比数列 ，.13分 16.解：(1)记事件A为“选取的2组数据是不相邻的两个月”..1分 P(A)= -65 9-7 …3分 答：选取的2组数据是不相邻的两个月的概率为号 0040。e0。。0ee4.4000年00090000geg (2)①z=201+13+12+8+句=10，=（25+29+26+16+9)=21..6分 为-x 1 3 2 -2 -4 y-可 4 8 -5 -12 高三数学 第1页（共6页） 17×10123 6-生9+096-骨5-=21 17 …9分 y关于x的经验回归方程为)=48x-123 1717 .10分 ②当x=10时，)=48×10-123=21,121-232. 17 17 ,12分 当x=7时.智×7-罗-9.费-13啡号 17 17-17 117 .14分 所以，该小组所得经验回归方程是理想的。 .15分 17.解：(1)二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD, 又因为CD⊥BC,CDc平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC, 所以CD⊥平面PBC. .2分 又因为PBc平面PBC,所以PB⊥CD, .3分 由题意PB⊥PC,CD∩PC=C,CD,PCc平面PCD, 所以PB⊥平面PCD. .5分 (2)取BC中点O,BD中点M,连结OP,OM, 则OM⊥BC,OM∥CD, 因为CD⊥平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP, 在△ABC中，PB=PC,O为BC中点，所以OP⊥BC. .6分 以{OB,O☑，OF}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O-z, 则0.00，n0o,329.r2.00,c3o0. 2 2 35,6,0 2 …7分 设该球的球心坐标为(x,y,z),则 x+y+(z-5 解得x=0,y= 22=0. 9分 所以该球的半径为，女+少+e-3 6,1 2=+ =6 10分 高三数学 第2页（共6页） (3)法一：取BC中点O,在△BCD中，过O作OH⊥BD,垂足为H,连结PH, 平面PBC⊥平面BCD,OP⊥BC,OPC平面PBC, 平面PBC∩平面BCD=BC,所以OP⊥平面BCD. 又因为OH⊥BD,所以PH⊥BD, 则∠PHO为平面PBD与平面BCD的所成角. .13分 直角三角形BC中，OP=3 y1 2 OH=0B×sin30°= 3W5135 一X一= 224 3V5 cos∠PHO= OH 4 PR + 51 4 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5 …15分 器三平面8C0的一个法向为4=0,0，丽=点0，边 ,2),0=(32,6,0, 设平面PBD的法向量为乃2=(x,y,),则 3·B丽=0， [32,3 -x+ 4丽=0， 即{2 22=0, -3W2x+V6y=0. 取x=1,得平面PBD的一个法向量为乃=1，V5,1). .13分 c0s<片，m2>= 乃%-15 1%h1V55 所以平面P8D与平面8CD所成角的余弦值为5 15分 18.解：(1)当a=1时，(x)=x2-3xlnx,()=1. f'(x)=2x-3血x-3,了')=-1. 所以曲线y=f(x)在Q,》处的切线方程为y-1=-1(x-),即x+y-2=0. …3分 (2)因为a>0,x>0,a2x2-3 axInx=0÷ax-3lnx=0, 设g)=m-3血x,g冈=a-3， 高三数学 第3页（共6页） 当x∈(0，马时，g')<0,g)单调递减：当x∈(2，+四)时，g')>0,g因单调递增： 当x=三时，g树的极小值为g白=3-3h2. m5分 a ①当3-3n3>0,即a>2时，8>0恒成立，此时f的零点个数为0.…6分 0 ②当3-3n2=0,即a=三时，的零点个数为1. 。。。。。,。,。7分 ®当3-32<0，即0<a<子时，8树的极小值8g白<0,8头>3>e>1,g0)=a>0, a a 令)=hx-x(x>3>1),w=-1<0,所以)单调递减， 所以u()<u=0,即血x<x,有g)=m-6l血V>-6F=V(a√乐-)， 所以>a厚-0--0>厚e-0>0 所以f因在区间(0，马和(2，+)上各有一个零点，即f)的零点个数为2. 综上，a>3时，了网的零点个数为0：a-3时，了四的零点个数为1： 0<a<3时，f因的零点个数为2. …10分 e (3)①当x≥1时，f'(x)=2a2x-3anx+1)=a(2a-3血x-3), 令h0=2m-3hx-3,H=2a-3-2a-3,3<1, xx ，2a 当x+回=层+四)时，H>0,约在区间，+四上单调适增， 所以h(x)≥h()=2a-3>0,即f'(x)>0,所以f(x)在区间1，+∞)上单调递增. 所以f因≥f0=a2>9>2sinx. .13分 ②当0<x<1时，令u(x)=x-sinx,4()=1-cosx>0,所以u()单调递增， 所以u(x)>u(O)=0，即x>sinx. …14分 f(x)-2x=a'x2-3axInx-2x=x(a'x-3alnx-2), m()=a'x-3alnx-2,m(x)=a-3a, 高三数学第4页（共6页） 当xe0,三时，m(<0,m(单调递减：当xe已，+四)时，m>0,m单调递增： 当x=-3时，m)的极小值为m白=3a-3ah2-2. a a 若0<3<1，即a>3,则m白=3a-2)-3aln2>0,所以m(>0. Q 若}>1，即<a<3,则m(在区间0D上单调递减。所以m>m0>0. 3 所以f()-2x>0,即f()>2x>2sinx. 综上可得，f(x)>2si血x. 17分 19.解：(1)由题意2=a60=5,所以b=5a,c=B+a=2a, 所以C的离心率e=9=2. .3分 a (2)①当∠PRA=受时，=a+c=3a,PR卡3c-3=3a=A, 此时Pa=异，有∠PM=号PRA, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 @当∠PRA*5时，可得PR,PA的斜率都存在，设P心m,网， 则am∠PAR=-kp4=”,tan∠PRA=k5= m-a m+2a 2次 m-a n 2n(m-a） 为mPA-m2P网+a市 m+2am-a-7=0, m-a 即tan∠PRA=tan2∠PA,其中∠PAR为锐角，即2∠PAR∈(0，)，∠PRA∈(0，)， 所以∠PRA=2PA,即PMS=克∠PRA. 9分 所以存在常数1=方，使得∠PM=1LPR4总成立。 …10分 3)设直线P0的方程为x+2a=物(0，马)，代入3时-户=30， 得3y-2a)2-y2=3a2,即(32-10y2-12ay+9a2=0, 12at 9a2 6b号As4-36@02-=36@0+. 高三数学第5页（共6页） 所以1，-6卢0+g'-4%-3r-i 9a3 36a20+1) 子.了胶 fe,则可 ◆9Fa可·r0-s-6-9-克>0， (3s-4) (35-4 所以f⑤单调递增，所以fs)的最小值为∫)=1， 所%%≥6，当且牧当“-0时取“。 .14分 由2可知P=号PrA,0=a, 所以PA0=PM+∠DA=uPRA+∠0A= .15分 所以AP1+l42P2APAg=22S%m=2-X刈A=23ap-6≥62a, 当且仅当“|APHAQ|且t=0”时，取“=”. 所以AP|+|AgI的最小值为6N2a. .17分 高三数学 第6页（共6页）