专题14 解直角三角形之新定义模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题14 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 16 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，，∴， 即，∴； 故答案为：，，，； （2）解：，， 由（1）知：，，， ，，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径，， 在中，，∴， 在中，，  ∴， ∴ ，同理，在中，， 在中，可得，， ∴； （4）解：过O作，连接，， ，，，， ，，在中，，， ，当时，最小，此时也最小， 过A作于，在中，， ，，长度的最小值是，故答案为：． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（25-26九年级上·山东济南·专题练习）已知正弦定理：． (1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明． 如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：； (2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明；(3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设 根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：， 在中，，∴，∴， 同理可得，∴； （2）解：如图所示，过点A作于D， 在中，，∴， 在中，，∴， ∴，∴，同理可证明，∴； （3）解：∵，，∴，∴， 如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F， 在中，，∴，∴， 在中，，∴， ∵平分，∴，设， 在中，，在中，， ∴，解得，∴，∴． 例2（24-25九年级上·浙江台州·培优）阅读以下资料：在中，若记内角所对的三条边分别为，则，或写成．这称为余弦定理，余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边． 请尝试解决以下问题：(1)若，求角的值；(2)若，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）；；；即 ∵；∴； （2）∵，，；∴；即 两边同时除以得，设，则即 解得：，（舍去）∴ 例3（2025·山东·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 在中，， ．． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程． 探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，． 【答案】，见解析；，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；； 【详解】解：探究二：如图2中，作于． ，，，， 在中，，，，． 探究三：如图3中，作于． 在中，，． 问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半． 问题应用：如图4中，作于． 在中，，． 问题拓广：连接，由探究三的结论可得：． ．． 例4（2025·浙江金华·二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题：如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值．(2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 【答案】(1)(2) (3)近似值：；误差：；建议：多测几次，或者选用更精密的测量工具等． 【详解】（1）解：； （2）过点作，垂足为，由题意得：， 在中，，， 在中，，， ，∴万佛塔的高度为； （3）万佛塔的高度， ∵万佛塔的实际高度是，∴本次测量结果的误差， 建议：多次测量求平均值，可以减小误差． 例5（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ，，； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明：（，）． 【答案】(1)；1；(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，，∵，∴． （3）证明：∵ ，∴． 例6（2025·重庆·校考一模）材料一：证明：． 证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E． ∵DE⊥AB于点E， ∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2 ∵∠BAC=∠a ∴． 材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来. 应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长． (2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由． 【答案】(1)(2)能，过程见解析 【详解】（1）解：过点A作于点D ， （2）解：如图，过点A作于点D ， ． 例7（24-25九年级上·山东青岛·期末）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）解：由题知，因为是等腰直角三角形，所以． 则，即．故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为， 因为，，则，所以． 在中，，所以， 在中，．所以． 例8（24-25九年级·山东滨州·自主招生）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：，故答案为：， （2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：    则，，，， 在中，，，， ，在中，， ，，． 例9（2025·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴， ∵，∴， ∴取取正值的是；故答案为： （2）解：如图1中，    ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴． ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴． 综上所述， 或；故答案为：或； （3）解：如图2中，作轴于E．    由题意， ，∴， ∴，∴； （4）解：根据题意得：， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴． 1．（2025·山东·一模）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30° ＝＝ 故选A． 2．（25-26九年级上·广西来宾·期末）已知两角和的余弦公式，利用该公式计算非特殊角如的值就显容易，即，仿照计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B 3．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：（1），故此结论正确； （2），故此结论正确； （3）故此结论正确； （4）== ，故此结论错误.故选：C． 4．（25-26·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，∵，∴设，，    ，互为半余角，，， 在中，，， ，，在中，，故选：B． 5．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即．试用公式，求出的值是 ． 【答案】 【详解】解：， ，故答案为：． 6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得， BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，故答案为：． 7．（25-26·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，． 例：． （1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值； 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， ∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin 45°，=； （2）∵，∴tan75°===． 8．（25-26·重庆·九年级专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得： ；； ；． 例如：． 类似地，求：(1)的值．(2)的值．(3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ．． 9．（25-26·江苏·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2． 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°； （2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数． 【答案】（1）；（2）①，② 【详解】（1）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ （2）过点作于，过作于，过作于，如图 是等边三角形 ；， ② tan（α+β）； 10．（25-26九年级上·山东聊城·期末）阅读理解学习： 在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 【阅读材料】：在中，的对边分别记为的面积记为，过点作，垂足为，则，．． 同理可得：，． 即：． 由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，将等式两边同除以得，． 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：如图，甲船以24海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距8海里． (1)求的面积；(2)求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 【答案】(1)的面积为平方海里(2)乙船航行的路程为海里 【详解】（1）解：由题意知：，，， 由结论①知，（平方海里）， 所以的面积为平方海里． （2）由（1）知，是等边三角形，， 又，， 由题意知，，， 在中，由材料中结论②得， （海里），乙船航行的路程为海里． 11．（2025·贵州·中考模拟预测）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：====== 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据） 【答案】（1）．（2）27.7米 【详解】（1）=====． （2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴∠DBE=15°． ∴． ∴AB="AE+BE=1.62+" （米）． 答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米 12．（2025·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题． 如图（1），在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素． （1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 【答案】（1）海里；（2） 【详解】解：（1）由题意得：，，海里， ∴，过点B作BM⊥AC于M， ∵，∴海里 在Rt△ABM中，∠A=45°，， ∵，即海里，在Rt△BMC中，∠BCM=60°，BC=40海里， ∴∠MBC=30°，∴海里，∴海里 （2）∵，∴海里 ∵，∴，∴． 13．（25-26山东潍坊·九年级统考期中）【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 【答案】探究活动：，；初步应用：；综合应用：楼高度约为． 【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径，连接， ∴，，∴，∴， 同理可证：，∴，故答案为：，； 初步应用：∵，，，， ∴，∴，∴； 综合应用：如图， 由题意得：，，，，∴， ∵，∴，，设楼，则， ∵，∴，∴， ∴，∴楼高度约为． 14．（24-25九年级下·四川达州·阶段练习）阅读下面材料∶ 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于（如图），则，，即，，于是，即．同理有：，，所以． 即∶在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． (1)如图，中，，，，则_____； (2)如图，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以40海里时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上（如图），求此时货轮距灯塔的距离；(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 【答案】(1)(2)货轮距灯塔的距离；(3)． 【详解】（1）解：，，， ，，，故答案为：； （2）解：由题意得，，，海里，， ，，，答：货轮距灯塔的距离； （3）解：如图，过作于， ，，，， ，，， ，，． 15．（25-26·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式 小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为. 请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立； 问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.       【答案】（1）证明见解析；（2）9 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，    在中，.∵，∴. （2）在△ABC中，∵，，，∴. 16．（2025·山东·校考一模）关于三角函数有如下的公式： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ① cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ② tan（α+β）=③ 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高． 【答案】建筑物CD的高为84米． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°， ∴在Rt△ABC和Rt△ADE AB=BC•tan75°=42tan75°=， AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）. 答：建筑物CD的高为84米. 17．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad＝　 　；(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值； (3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：顶角为的等腰三角形是等边三角形，∴＝底边÷腰．故答案为：1． （2）如图②所示：作于点，中， 即 （3）∵ 设则．∴ 如图③所示，在上截取，作于点， ∵Rt中， ∴．即． 17．（25-26·广东九年级课时练习）阅读下列材料： 题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示. 解：如图2，作边上的中线，于， 则，，， 在中， 根据以上阅读，请解决下列问题：(1)如图3，在中，，，，求，的值；(2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示. 【答案】(1) ， ；(2). 【详解】解：(1)作边上的中线，于， Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝， sinA＝. 则，， ×. 在中，. (2)则，，，， 所以AD＝ACcosA＝cos2A，DE＝AD－AE＝cos2A－. 中，. 18．（25-26·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ； (2)若角α的终边与直线重合，则的值； (3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值； (4)若，则的取值范围是 ． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【详解】（1）解：当时，，，， ，，，故答案为：． （2）解：∵若角α的终边与直线重合，，， 当时，，当时，， 的值为或． （3）解：，点，且， ，（正值舍去），． （4）解：，，， ，，又， ，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 16 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（25-26九年级上·山东济南·专题练习）已知正弦定理：． (1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明． 如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：； (2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明；(3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度． 例2（24-25九年级上·浙江台州·培优）阅读以下资料：在中，若记内角所对的三条边分别为，则，或写成．这称为余弦定理，余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边． 请尝试解决以下问题：(1)若，求角的值；(2)若，且，求的值． 例3（2025·山东·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 在中，， ．． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程． 探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程． 问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）． 问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程． 问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，． 例4（2025·浙江金华·二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题：如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值．(2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 例5（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ，，； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明：（，）． 例6（2025·重庆·校考一模）材料一：证明：． 证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E． ∵DE⊥AB于点E， ∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2 ∵∠BAC=∠a ∴． 材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来. 应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长． (2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由． 例7（24-25九年级上·山东青岛·期末）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 例8（24-25九年级·山东滨州·自主招生）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 例9（2025·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 1．（2025·山东·一模）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西来宾·期末）已知两角和的余弦公式，利用该公式计算非特殊角如的值就显容易，即，仿照计算（    ） A． B． C． D． 3．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即．试用公式，求出的值是 ． 6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 7．（25-26·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，． 例：． （1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值； 8．（25-26·重庆·九年级专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得： ；； ；． 例如：． 类似地，求：(1)的值．(2)的值．(3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． 9．（25-26·江苏·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2． 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°； （2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数． 10．（25-26九年级上·山东聊城·期末）阅读理解学习： 在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 【阅读材料】：在中，的对边分别记为的面积记为，过点作，垂足为，则，．． 同理可得：，． 即：． 由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，将等式两边同除以得，． 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：如图，甲船以24海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距8海里． (1)求的面积；(2)求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 11．（2025·贵州·中考模拟预测）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：====== 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据） 12．（2025·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题． 如图（1），在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素． （1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 13．（25-26山东潍坊·九年级统考期中）【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 14．（24-25九年级下·四川达州·阶段练习）阅读下面材料∶ 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于（如图），则，，即，，于是，即．同理有：，，所以． 即∶在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． (1)如图，中，，，，则_____； (2)如图，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以40海里时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上（如图），求此时货轮距灯塔的距离；(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 15．（25-26·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式 小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为. 请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立； 问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.       16．（2025·山东·校考一模）关于三角函数有如下的公式： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ① cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ② tan（α+β）=③ 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad＝　 　；(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值； (3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值． 17．（25-26·广东九年级课时练习）阅读下列材料： 题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示. 解：如图2，作边上的中线，于， 则，，， 在中， 根据以上阅读，请解决下列问题：(1)如图3，在中，，，，求，的值；(2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示. 18．（25-26·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ； (2)若角α的终边与直线重合，则的值； (3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值； (4)若，则的取值范围是 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $