专题14 解直角三角形的实际应用（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中解直角三角形的实际应用，从基本图形和解题思路入手，通过图形演变构建知识脉络，以一题多解（如外部与内部作高）为学习支架，帮助学生衔接从基础到复杂实际问题的转化。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过货轮测灯塔等实例展示一题多解，培养几何直观与推理能力，练习题结合无人机测量等现实情境，强化应用意识。学生能提升解决实际问题能力，教师可直接利用结构化资源提升教学效率。

初中数学 九年级下册·（RJ版） 第二十八章　锐角三角函数 专题14　解直角三角形的实际应用 必备知识 基本 图形 解题 思路 通过构造直角三角形，解直角三角形即可 BC＝ ＋ 　　BC＝ － 上一页 下一页 图形 演变 上一页 下一页 【例】 （一题多解）如图，一艘货轮以36 n mile/h的速度在海 面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔 B，货轮继续向北航行40 min后到达C点，发现灯塔B在它北偏 东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离.（结果保留小数点 后一位，参考数据：tan 75°≈3.73， sin 75°≈0.97， ≈1.41） 上一页 下一页 【解题策略1】外部作高. 解：如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D. 设BD＝x n mile. 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝45°， ∴AD＝BD＝x n mile. 上一页 下一页 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝75°，∴CD＝ ＝ . 由题意，得AC＝36× ＝24（n mile）. ∵AD＝CD＋AC， ∴x＝ ＋24，解得x≈32.79， ∴BD≈32.79 n mile，∴BC＝ ≈33.8 n mile. 答：此时货轮与灯塔B的距离约为33.6 n mile. 上一页 下一页 【解题策略2】内部作高. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 由题意，得AC＝36× ＝24（n mile）， ∠A＝45°，∠1＝75°， ∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°， ∴∠B＝30°. 在Rt△ACD中，CD＝AC· sin A＝24× ＝12 （n mile）， ∴BC＝2CD＝24 ≈33.8（n mile）. 答：此时货轮与灯塔B的距离约为33.6 n mile. 上一页 下一页 学以致用 1. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距m米，在建筑物 的顶部A观测塔顶C的仰角为α，塔底D的俯角为β，则铁塔 CD的高度为 米.（用含m，α，β的式 子表示） （mtan α＋mtan β）　 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 2. （2025·内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离 不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机 上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从C点测得A点的俯角为 60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平 面内），则湖泊两端A，B的距离为 m.（结果保留 根号） 120 　 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 3. （2025·达州）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清， 莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾.如 图，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A 处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米 到达B处时，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高 度.（结果不取近似值） 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 依题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°. 设CD＝x米， ∴BD＝ ＝x米. ∵AB＝30米， ∴AD＝AB＋BD＝（30＋x）米. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝ ，即 ＝ ， 解得x＝15 ＋15. 答：无人机离湖面的高度为（15 ＋15）米. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 4. （2024·南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向， 港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北 偏东76°方向.一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行.已知 港口B到航线的距离为12 km，求港口C到航线的距离.（参考 数据：tan 21°≈ ，tan 37°≈ ，tan 76°≈4） 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 由题意，知∠BAE＝37°，∠CAF＝21°. ∵tan∠BDE＝ ， ∴DE＝ ＝ ≈ ＝3（km）. 解：如图，设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E， 过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F， 则∠BDE＝∠CDF＝76°，BE＝12 km. ∵tan∠BAE＝ ， ∴AE＝ ＝ ≈ ＝16（km）. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 设CF＝x km. ∵tan∠CDF＝ ＝tan 76°≈4， ∴DF≈ CF＝ x km， ∴AF＝AE＋DE＋DF＝（19＋ x）km. ∵tan∠CAF＝ ＝tan 21°≈ ， ∴CF≈ AF，即x≈ （19＋ x），解得x≈8. 答：港口C到航线的距离约为8 km. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 5. （2024·泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A 点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间 后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东 60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于 北偏西60°方向上.已知A，C相距30 n mile，求C，D两点之 间的距离.（计算过程中的数据不取近似值） 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 ∴BC＝ ＝ ＝ ＝10 （n mile）. 由作图可知，∠BDG＝60°，∴∠CDB＝60°. 由题意，得∠CBD＝90°，∴在Rt△CBD中， 解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB 交AB的延长线于点G. 由题意，得∠CAB＝45°，AC＝30 n mile， ∴AH＝CH＝15 n mile.易知∠CBH＝60°， CD＝ ＝ ＝ ＝20 （n mile）. 答：C，D两点之间的距离为20 n mile. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 6. （2024·重庆B卷）如图，A，B，C，D分别是某公园的四 个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北 偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西 15°方向，AB＝2千米.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45） （1）求BC的长度.（结果精确到0.1千米） 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 由题意，得∠CAB＝90°－30°＝60°， ∠ABC＝90°－15°＝75°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝45°. 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝2千米， ∴BE＝AB· sin ∠BAE＝2× sin 60°＝ （千米）. 解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E. 在Rt△BCE中，BC＝ ＝ ＝ ≈2.5（千米）， ∴BC的长度约为2.5千米. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B， 甲选择的路线为D→C→B，乙选择的路 线为D→A→B. 请通过计算说明谁选择 的路线较近. 6. （2024·重庆B卷）如图，A，B，C，D分别是某公园的四 个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北 偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西 15°方向，AB＝2千米.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45） 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 解：（2）如图，过点C作CF⊥AD于点F. 由（1），知CE＝BE＝ 千米. 在Rt△ABE中，AE＝AB· cos ∠BAE＝ 2× cos 60°＝1（千米），∴AC＝AE＋CE＝（1＋ ）千米. 在Rt△AFC中，CF＝AC· sin ∠CAF＝（1＋ ）× sin 30° ＝ （千米），AF＝AC· cos ∠CAF＝（1＋ ）× cos 30° ＝ （千米）. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，∠DFC＝90°， ∴DF＝CF·tan∠DCF＝ ×tan 30°＝ （千米），CD ＝ ＝ ＝ （千米）， ∴CD＋BC＝ ＋ ≈4.03（千米）， AD＋AB＝DF＋AF＋AB＝ ＋ ＋2≈5.15（千米）. ∵4.03＜5.15，∴甲选择的路线较近. 1 2 3 4 5 6 上一页 下一页 谢谢观看 $