专题13 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题13 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 13 17 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2023·陕西·中考真题）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 例2（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，）。(1)求点到地面的高度；(2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 例3（2025·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离；(3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 例4（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 模型2.母子模型 例1（2025·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题：(1)表格中的值为____；(2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 例2（2025·重庆校考·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，）(1)求步道的长度（精确到个位）；(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 例3（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号(2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 例4（2025·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数；(2)①求的长；②求的长． 例5（2025·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离；(2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 例6（2025·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 模型3.拥抱模型 例1（24-25九年级下浙江·期中）无影塔位于河南汝南城南，相传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”．无影塔被国务院批准为国家级重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学欲测量其高度，他们把测量无影塔的高度作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们从无影塔顶部处测得无影塔附近一棵大树的底部处的俯角是，从无影塔底部处测得这棵树顶部处的仰角是，大树的高米．为了减小测量误差；小组在测量两个角的度数和大树高度时．都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量无影塔的高度 成员 组长：组员：、、 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图                  说明：线段表示大树，线段表示无影塔，点、在同一条直线上，且点、、、都在同竖直平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 5.9 6.1 任务一：表中______，______，______； 任务二：请你帮小组的同学求出无影塔的高度（结果精确到0.1，参考数据，，，）； 例2（2025·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即）的距离．（结果保留整数，参考数值：，，，，，）    例3（2025九年级下·天津河西·学业考试）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长；(2)设塔的高度为（单位：）．①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 2．（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 4．（25-26九年级下·湖北黄冈·培优）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 5．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度；(2)求建筑物的高度（即的长）． 7．（2023·陕西·中考真题）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 9．（2025·山东青岛·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上．(1)求的长度；(2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 11．（2025·湖南·模拟预测）研学实践：为纪念红军长征，某学校组织研学活动 活动主题 计算红军长征纪念碑的高度． 测量工具 航模搭载的扫描仪 活动过程 模型 抽象 测绘 过程 与数据信息 ①已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．点A是纪念碑顶部一点，的长表示纪念碑的高度．②航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面30米的点C处时，测得点A的仰角；飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米；③用计算器计算得：，）．求红军长征纪念碑的高度（结果保留整数）． 12．（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 13．（2025·湖南·模拟预测）每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？(2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 14．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，）。(1)求点到地面的高度；(2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 15．（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 16．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号）(2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 17．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，．(1)求山坡的垂直高度；(2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 18．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 13 17 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴，答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ，，，∴， 在中，，，∴， ∴答：长． （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【详解】解：如图，延长与相交于点，根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，，，在中，，． ，．． ．答：世纪钟建筑的高度约为． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2023·陕西·中考真题）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，，得矩形，矩形， ，，在中，，， 则，， 在中，，，则， ，，在中，，， 则，， ，答：楼与的高度差约为． 例2（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，）。(1)求点到地面的高度；(2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为(2)的度数约为 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，，， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，，， ，， 在中，，  ， 即的度数约为． 例3（2025·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离； (3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 【答案】(1)，(2)24米(3)米 【详解】（1）解：如图，延长交于点E，过点C作于点F，则，，， ∴．∴， 在中，，即，∴；故答案为：，； （2）解：在中，，米，∴米； （3）解：在中，，米，∴米， 由（1）得：米，∵米，∴米， 在中，，∴米， ∴米，即桥墩的高为米． 例4（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，∴， 在中，，∴，∴， 在中，，∴， ∴，∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 模型2.母子模型 例1（2025·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题：(1)表格中的值为____；(2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 【答案】(1)；(2)这棵古树的高度约为． 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：由题意可知，，，， ∴四边形和四边形均为矩形，∴，， 设，则， 在中，，∴， 在中，，∴， ∴，解得，∴， ∴，∴这棵古树的高度约为． 例2（2025·重庆校考·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）；(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)848米(2)走点A经过点B到点C的路线较近 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G， 则，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； 答：步道的长度约为848米． （2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下： 由（1）可知，， ∴，∴， ∵，∴小王从点A经过点B到点C较近． 例3（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号(2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米(2)米 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度，，， 米，米；点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米，米，， 米，米， ，米，米， 答：条幅的长度是米． 例4（2025·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数；(2)①求的长；②求的长． 【答案】(1)(2)①的长约为米；②的长约为米． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作， 由题意可知，，，，， ，，， ，； （2）解：①由题意可知，，，，，米， 是等腰直角三角形，，令米，则米， 在中，，，，即的长约为米； ②由①可知，米，在中，， 米，米，即的长约为米． 例5（2025·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离；(2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【答案】(1)轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米(2)小星下降的高度为168米 【详解】（1）如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴；∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； （2）如图，设与交于点H，∵，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵在中， ，，， ∴，∴．故小星下降的高度为168米． 例6（2025·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 【答案】(1)的长约为600m(2)的长为1049m 【详解】（1）在中，，，， ∴，即的长约为600m； （2）延长交于G， ∵，∴，∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，，∵，， ∴， ∴，即的长为1049m． 模型3.拥抱模型 例1（24-25九年级下浙江·期中）无影塔位于河南汝南城南，相传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”．无影塔被国务院批准为国家级重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学欲测量其高度，他们把测量无影塔的高度作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们从无影塔顶部处测得无影塔附近一棵大树的底部处的俯角是，从无影塔底部处测得这棵树顶部处的仰角是，大树的高米．为了减小测量误差；小组在测量两个角的度数和大树高度时．都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量无影塔的高度 成员 组长：组员：、、 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图                  说明：线段表示大树，线段表示无影塔，点、在同一条直线上，且点、、、都在同竖直平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 5.9 6.1 任务一：表中______，______，______； 任务二：请你帮小组的同学求出无影塔的高度（结果精确到0.1，参考数据，，，）； 【答案】任务一：，，；任务二：无影塔的高度的高度米． 【详解】解：任务一：，，，故答案：，，6； 任务二：由题意可知，米，，， ，（米， ，（米， 答：无影塔的高度的高度约为米． 例2（2025·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即）的距离．（结果保留整数，参考数值：，，，，，）    【答案】约为米 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得，，， 则四边形都是矩形，， 设米，则米， 在中，，即，米， 在中，，即，米， 又米，，解得，即米， 在中，，即，米， 答：中餐台到就餐区即的距离约为米． 例3（2025九年级下·天津河西·学业考试）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长；(2)设塔的高度为（单位：）．①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：在中，，．即的长为； （2）解：①在中，，． 在中，由，得． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为．根据题意，， 四边形是矩形．．可得． 在中，，，即． ．答：塔的高度约为． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，延长交延长线于点E，过点A作于点F，则， ∵河堤的坡度为，∴，∴设， ∵米，∴在中，，∴，解得：， ∴， ∴ ，， ∵，∴是等边三角形， ∵米，∴米， ∴米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为米．故选：B． 2．（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，在中，，； 在中，，； ∴，， ∴；故选项A，C，D正确； 无法得到；故选项B错误；故选B． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角，， ，， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米．故选：． 4．（25-26九年级下·湖北黄冈·培优）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，，设米，∴米 在中，，∴(米)， 在中，，∴米，∴,解得:， ∴(米)，(米)， 在中，，∴(米)， ∴(米)．故答案为：． 5．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵，∴四边形是矩形，∴， 在中，∵，∴，∴设， 则，， 在中，∵，∴，解得：，∴， 答：博学楼的高度为9米． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度；(2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米(2)米 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度，∴， ∵在中，，即， ∴米，∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，，∴，∴四边形是矩形，∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，，∴（米）， ∵在中，，∴（米）， ∴米，由（1）有（米）， ∵，∴，解得， ∴（米），即建筑物的高度（即的长）为米． 7．（2023·陕西·中考真题）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，，得矩形，矩形， ，，在中，，， 则，， 在中，，，则，，， 在中，，，则， ，， 答：楼与的高度差约为． 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 【答案】 【详解】解：如图，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N， 则四边形，是矩形，∴，， 在中，，∵，∴， 在中，，∵，∴， ∴，即，解得， 同理：，即，解得：， ∴． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，测量示意图如图所示．已知斜坡长，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点正上方的点处测得点的俯角为，该风力发电机塔杆的高度为．求无人机在处时到的距离．（参考数据：，，．） 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，延长交延长线于点． 根据题意可得垂直于水平面，，，， ，，． ，． ，四边形为正方形，． ，，，，， ．答：该无人机在处时到的距离约为． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度；(2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米）(2)旗杆的高度为米 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形，米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，，， ，，， 由（1）得四边形和四边形为矩形，， 米，，解得，米， 答：旗杆的高度为米． 11．（2025·湖南·模拟预测）研学实践：为纪念红军长征，某学校组织研学活动 活动主题 计算红军长征纪念碑的高度． 测量工具 航模搭载的扫描仪 活动过程 模型 抽象 测绘 过程 与数据信息 ①已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．点A是纪念碑顶部一点，的长表示纪念碑的高度．②航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面30米的点C处时，测得点A的仰角；飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米；③用计算器计算得：，）．求红军长征纪念碑的高度（结果保留整数）． 【答案】纪念碑的高度为40米 【详解】解：延长交于点H，则，由题意，得：， 在中，，∴，    又∵在中，，∴， ∴，∴，∴，∴ 答：纪念碑的高度为40米． 12．（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，，∴， 在中，， ∴，即，∴，故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ，由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ，， ，，，， ，∴是等腰直角三角形，， ，答：求线段的长度约为． 13．（2025·湖南·模拟预测）每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？(2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)旅游车高约米．(2)该旅游车停车符合规定的安全标准． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴，∴旅游车高约米． （2）解：在中，， ∵，∴， 答：该旅游车停车符合规定的安全标准． 14．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度；(2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为(2)的度数约为 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，，， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：，在中，，， ， ，， 在中，，  ， 即的度数约为． 15．（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为，∴，∵，， 在中，，∴， 在中，，∴， 在中，，∴，∴， ∴，∴， 即大树的高度为． 16．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号）(2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米(2)千米 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵，∴四边形是矩形，∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米），∴千米，（千米）， ∵，∴千米，∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米，∴千米，在左边， ∵，∴千米，千米， ∴千米， 在中，，∴， 解得或（舍去），∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 17．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，．(1)求山坡的垂直高度；(2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴，∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，，由题意知， 在中，，∴， ∴， 在中，，∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 18．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【详解】解：过点作，垂足为，∵斜坡的坡比，， 设，则，在中，， ，，解得：，，过点作，垂足为， 由题意得：，设，，， 在中，，， 在中，，， ，，解得：， ，∴居民楼的高度约为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $