第28章 锐角三角函数：专题03 解直角三角形及简单应用 同步讲义 2024—2025学年人教版数学九年级下册

2025年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用） 讲座三 锐角三角函数 专题03 解直角三角形及简单应用 ( 课标要求 ) 1. 了解并掌握解直角三角形的概念； 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。 3. 学会解直角三角形。 1. 巩固解直角三角形相关知识. 2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题 ( 知识点解读 ) 1.解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。 注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 2.直角三角形中边角关系 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）30°角所对直角边等于斜边的一半。 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）边角之间的关系为：（三角函数定义） 3.其他有关公式 （1）== （2）Rt△面积公式： （3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径 （4）直角三角形斜边上的高 1. 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2. 解直角三角形的依据 (1) 三边之间的关系：（勾股定理）； (2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3) 边角之间的关系： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则 ( A C B 斜边 c ∠ A 的对边 a ∠ A 的邻边 b ) sin A==， cos A==， tan A==． ( 思维方法 ) 一、解直角三角形依据 1.勾股定理 2.两锐角互余 3.锐角的三角函数 二、解直角三角形的常见类型及一般解法 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素. Rt△ABC中的已知条件 一般解法 两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)； (3). 斜边c，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A. 三、解直角三角形的方法口诀 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、解直角三角形的简单应用基本解题思路 1. 求河的宽度方法：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． 2. 求不可到达的两点的高度方法：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题． 3. 方案设计类问题方法：主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题． ( 考点 例题讲析 ) 【例题1】如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例题2】如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则_______． 【答案】 【解析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案． 【详解】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F， ∵点C的坐标为， ∴，， 在中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键． 【例题3】今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可； 方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可． 【详解】方法一： 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ， ， 过点作于点， 由题意知，， ， 又， ， 过作于点， ，， , ， 靠背顶端点距地面高度为 ； 方法二： 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点， ，， ， 又， ， ， ， 过作于， 由题意知，， ， 又， ， 靠背顶端点距地面高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． ( 考点精炼 ) 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值． 【答案】见解析。 【解析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC． ∵sin A==，AB=10，∴BC=4． ∵AC=， ∴tan B==． 2. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =． ( A O B E C D ) （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 【答案】（1）13m．（2）10小时． 【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m）， ∴ED ==12（m）． 在Rt△DOE中，∵sin∠DOE = =，∴OD =13（m）． （2）OE== （m） ∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）． 3. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长． 【答案】见解析 【解析】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可． 过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12×＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4，∴CD＝CM－MD＝12－4. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 4. 已知等腰三角形的底边长为，周长为2＋，求底角的度数． 解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数． 【答案】见解析 【解析】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝，∵周长为2＋，∴AB＝AC＝1.过A作AD⊥BC于点D，则BD＝，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝，∴∠ABD＝45°，即等腰三角形的底角为45°. 方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值． 5. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)? 【答案】见解析 【解析】首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案． 解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38.0(cm)． 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm. 方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题． 6. 动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60） 【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm． 【解析】根据正弦的概念即可求解． 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)， ∵sin∠ACE=，即sin58°=， ∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)， ∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 7. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】【分析】过点作于点，在和中，分别解直角三角形求出的长，由此即可得． 【详解】如图，过点作于点， 由题意得：米，， ， ， 在中，米，米， 在中，米，米， 则（米）， 答：压折前该输电铁塔的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说明DE是⊙O的切线； （2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长． 【答案】见解析。 【解析】要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可．利用直角三角形和等边三角形的特点来求DE的长． （1）连接OD，则OD=OB，∴∠B=∠ODB． ∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠ODE=∠DEC=90°． ∴DE是⊙O的切线． （2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°． ∴． 又∵AB=AC，∴CD=BD=，∠C=∠B=30°． ∴． 9.如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可． 【详解】如图所示，连接，，作交于点 ∵在中，，，， ∴， ∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆， ∴是半圆的直径， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 10.根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________ 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔图上高度． 任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1． 【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米； 【解析】【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上 [任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解； [任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得， 规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上； [任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解． [任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解． 【详解】有以下两种规划，任选一种作答即可． 规划一： [任务 1]选择点和点． ，，，测得图上． [任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点， 则，设． ∵，， ∴，． ∵， ∴ 解得， ∴． ∵， ∴， ∴． [任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米． 由题意，得，解得， ∴发射塔的实际高度为米． 规划二： [任务 1]选择点和点． ，，，测得图上． [任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设． ∵，， ∴，． ∵， ∴，解得， ∴． ∵，∴， ∴． [任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米． 由题意，得，解得． ∴发射塔的实际高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 11.“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，． （参考数据：） （1）求的值（精确到）； （2）在中，求的长（结果取整数）． 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）在中，利用余弦函数即可求解； （2）先求得的度数，再利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 在中，； （2）， ， 的长为 ． 【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用） 讲座三 锐角三角函数 专题03 解直角三角形及简单应用 ( 课标要求 ) 1. 了解并掌握解直角三角形的概念； 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系。 3. 学会解直角三角形。 1. 巩固解直角三角形相关知识. 2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问 题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题 ( 知识点解读 ) 1.解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。 注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 2.直角三角形中边角关系 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）30°角所对直角边等于斜边的一半。 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）边角之间的关系为：（三角函数定义） 3.其他有关公式 （1）== （2）Rt△面积公式： （3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径 （4）直角三角形斜边上的高 1. 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 2. 解直角三角形的依据 (1) 三边之间的关系：（勾股定理）； (2) 两锐角之间的关系：∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3) 边角之间的关系： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则 ( A C B 斜边 c ∠ A 的对边 a ∠ A 的邻边 b ) sin A==， cos A==， tan A==． ( 思维方法 ) 一、解直角三角形依据 1.勾股定理 2.两锐角互余 3.锐角的三角函数 二、解直角三角形的常见类型及一般解法 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素. Rt△ABC中的已知条件 一般解法 两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)； (3). 斜边c，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A. 三、解直角三角形的方法口诀 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、解直角三角形的简单应用基本解题思路 1. 求河的宽度方法：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． 2. 求不可到达的两点的高度方法：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题． 3. 方案设计类问题方法：主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题． ( 考点 例题讲析 ) 【例题1】如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【例题2】 如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则_______． 【例题3】今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，） ( 考点精炼 ) 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的长和tan B的值． 2. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =． ( A O B E C D ) （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 3. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长． 4. 已知等腰三角形的底边长为，周长为2＋，求底角的度数． 解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数． 5. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)? 6. 动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60） 7. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）． 8.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说明DE是⊙O的切线； （2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长． 9.如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________ 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔图上高度． 任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1． 11.“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，． （参考数据：） （1）求的值（精确到）； （2）在中，求的长（结果取整数）． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$