28.2解直角三角形及其应用(知识梳理+高频考题)-2024-2025学年九年级下册数学暑假培优讲义人教版

28.2解直角三角形及其应用 1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线，交于点，点，恰好都在反比例函数（）的图象上，则的值为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC 的值为 (    ) A． B． C． D． 3．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，BC＝10，cos∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（    ）    A．10 B．24 C．48 D．50 5．如图所示，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： （1）作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； （2）以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； （3）连接． 下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点是的外心 D． 6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（　　）    A． B． C． D．6 7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点F是AB的中点，过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'，设点P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（　　） A．7 B．6 C．8 D．8﹣4 8．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 10．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（    ） A．35海里 B．海里 C．海里 D．海里 二、填空题 11．如图，矩形中．，，点为中点，点从点出发匀速沿运动，连接，点关于的对称点为，连接，，当点恰好落在矩形的对角线上时不包括对角线端点，点走过的路径长为 ． 12．如图，正六边形ABCDEF边长为4，G是EF边的中点，则CG的长度是 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接．若，，则的值是 ． 14．如图，在矩形中，点为的中点，交于点，连接，下列结论：    ①； ②； ③； ④若，则. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 15．如图，在中，，，，过CB的中点D作，交AB于点E，则EB的长为 ． 16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连结，过点点作于点，连结，在点移动的过程中． （1） ； （2）的最小值是 ． 三、解答题 17．如图，已知圆的半径为r，求外接正六边形的边长． 18．如图1，经过点B(1，0)的抛物线与y轴交于点C，其顶点为点G，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点D，线段CO上有一动点M，连接DM、DG． （1）求抛物线的表达式； （2）求的最小值以及相应的点M的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，以点A(﹣2，0)为圆心，以AM长为半径作圆交x轴正半轴于点E．在y轴正半轴上有一动点P，直线PF与⊙A相切于点F，连接EF交y轴于点N，当PF∥BM时，求PN的长． 19．如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB.直线BE与轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF. （1）若点F的坐标为（，），AF=. ①求此抛物线的解析式； ②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标； （2）若，，且AB的长为，其中.如图2，当∠DAF=45时，求的值和∠DFA的正切值. 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，已知． （1）求的长． （2）利用图象，求不等式的解． 21．如图，等边三角形，，，的边，，，在轴上，顶点，，，在反比例函数的图象上．    （1）第1个等边三角形的周长______；第2个等边三角形的周长______；第3个等边三角形的周长______；； （2）根据（1）的规律，猜想第（是正整数）个等边三角形的周长______； （3）计算：． 22．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段（，分别为点A，B的对应点），若线段上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． (1)如图1，点，的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段到⊙O的“平移距离”为___，点，的坐标分别为（－，），（，），线段到⊙O的“平移距离”为___； (2)若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值； (3)如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）． 23．如图，在矩形中，，点在直线上，与直线相交所成的锐角为，点在直线上，，过点作，垂足为点，且与点重合，，以为直径，在的左侧作半圆，点是半圆上任意一点． （1）连接，求线段的最大值； （2）矩形保持不动，半圆沿直线向左平移，当点落在边上时，求半圆与矩形重合部分的面积； （3）在平移过程中，当半圆与矩形的边相切时，求平移的距离．（参考数据：，结果保留根号）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】设，利用菱形的性质得到点为$BD$的中点，则，把代入得，利用得到，解得，所以，根据正切定义得到tan，从而得到． 【详解】解：设，， 点为菱形对角线的交点，    ，，， ， 把的坐标代入得， ， 四边形为菱形， ， ， 解得， ， 在中，， ． 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形等，正确表示出点的坐标是解题的关键． 2．A 【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC，又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC，∴tan∠DBC===．故选A． 考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形． 3．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，构造直角，根据的直角三角形的性质求出的值即可；作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：   如图，． 在直角中，，，， ． 即这名滑雪运动员的高度下降了． 故选：． 4．C 【分析】由菱形的性质可得四边相等，通过作垂线，构造直角三角形，解直角三角形求出点C的坐标，进而确定k的值，做出选择即可． 【详解】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D， ∵菱形OABC， ∴OA＝AB＝BC＝CO＝10， 在Rt△COD中， ∵cos∠COA＝．OC＝10， ∴OD＝8， 由勾股定理得：CD＝=6， ∴点C（8，6）代入反比例函数的关系式得：k＝6×8＝48， 故选：C．    【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、菱形的性质、解直角三角形，熟练掌握这些知识的运用，构造直角三角形是解答的关键． 5．D 【分析】由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值得到sin2A＋sin2D＝1，利用等腰三角形的性质得∠CBD＝∠D＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD＝AB，然后利用三角形面积公式得到S△BDC＝S△ABD＝，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得CA＝CB＝CD＝AB， ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°， ∴点C是△ABD的外心， 在Rt△ABD中，sin∠D＝=， ∴∠D＝30°，∠A＝60°， ∴sin2A＋sin2D＝1， ∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠D＝30°， ∵BD＝AB， ∴S△BDC＝S△ABD＝××AB×AB＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，三角形的外心，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，特殊三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键，本题综合性较强． 6．A 【分析】先利用锐角三角函数求出AB和BC，由旋转的性质可得A1C=AC=4，B1C=BC=，∠A1CA=∠B1CB，分别证出△AA1C为等边三角形、△B1CB为等边三角形，即可求出A1B、BD和∠A1BD，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4， ∴∠A=90°－∠ABC=60°，AB=2AC=8，BC= 由旋转的性质可得A1C=AC=4，B1C=BC=，∠A1CA=∠B1CB ∴△AA1C为等边三角形 ∴A1A=A1C=AC=4，∠A1CA=60° ∴A1B=AB－A1A=4，∠B1CB=60° ∴△B1CB为等边三角形 ∴B1B =B1C=，∠CBB1=60° ∴∠A1BD=∠ABC＋∠CBB1=90° ∵点D为BB1的中点 ∴BD= BB1= 在Rt△A1BD中，A1D= 故选A． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数、旋转的性质、等边三角形的判定及性质和勾股定理，掌握锐角三角函数、旋转的性质、等边三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键． 7．A 【分析】如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．首先证明四边形PP′CD是平行四边形，再证明DF⊥PP′，求出FH即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H． 由题意PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD， ∴四边形PP′CD是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵AF＝FB， ∴DF⊥AB，DF⊥PP′， 在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝2， ∴DF＝2 ∴AE＝1，EF＝， ∴PE＝PF＝， 在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF＝， ∴HF＝ ， ∴DH＝DF﹣FH ∴平行四边形PP'CD的面积＝×4＝7． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 8．D 【分析】在Rt△BCF中，根据BC的坡度i＝1：，求得∠CBF＝30°，根据三角函数的定义得到CF＝1300，BF＝1300，根据矩形的性质得到DE＝BF＝1300，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：， ∴∠CBF＝30°， ∵BC＝2600， ∴CF＝1300，BF＝1300， ∵CD⊥AD于点D，BF⊥CD，BE⊥AD， ∴四边形BEDF是矩形， ∴DE＝BF＝1300， ∵AE＝1000米， ∴AD＝AE+DE＝1000+1300， ∵∠CAD＝37°， ∴CD＝AD•tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75， ∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米， 答：BE的高度为1136.8米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义． 9．D 【详解】Rt△ABC中，∠C=90°， ∴cosA=， ∵AC=4，cosA=， ∴， ∴AB=， 故选D. 10．D 【分析】根据已知条件得出，再根据海里和三角函数的定义即可求出的长． 【详解】解：一艘海轮位于灯塔的南偏东方向， ， 海里， （海里）； 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，掌握以上知识是解题的关键． 11．或 【分析】当点恰好落在矩形的对角线上时存在两种情况：如图，点在上，点在上，连接，证明可得结论；如图，点在上，连接，根据角的三角函数列式可得的长，从而计算结论． 【详解】解：如图，点在上，点在上，连接， 为的中点， ， 点关于的对称点为， ，， ， ， ， ， 即点走过的路径长为； 如图，点在上，连接， 为的中点，且，AD=1， ，， ， 由 ， ， ， ， ， ， ， 此时点走过的路径长为； 综上，点走过的路径长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想． 12．2 【分析】连接CE，过D作DM⊥CE于M，根据等腰三角形的三线合一可求CM=EM=，在Rt△CEG中，根据勾股定理可求CG的值． 【详解】解：连接CE，过D作DM⊥CE于M，如图， ∵ABCDEF是正六边形ABCDEF，边长为4， ∴CD=DE=4，∠CDE=∠DEF=120°， 又∵DM⊥CE， ∴CM=EM，∠CDM=∠EDM=60°， ∴CM=EM=CD∙sin60°=，∠CEF=90°， ∴CE=， ∵G是EF边的中点， ∴EG=2， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 13．8 【分析】过点B作轴于点D，先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式，求出，根据，求出，即可得到点B的坐标，将点B的坐标代入即可求解． 【详解】解：把代入得：， ∴，则， 过点B作轴于点D， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 14．①③④ 【分析】根据矩形的性质和余角的性质可判断①；延长CB，FE交于点G，根据ASA可证明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，进一步即可求得AF、BC与CF的关系，S△CEF与S△EAF+S△CBE的关系，进而可判断②与③；由，结合已知和锐角三角函数的知识可得，进一步即可根据AAS证明结论④；问题即得解决． 【详解】解：∵，， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴， ，所以①正确； 延长CB，FE交于点G，如图， 在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG， ∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF， ∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②错误； ∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正确； 若，则，，， 在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数等知识，综合性较强，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 15． 【分析】作，证明，通过等角的正切值相等推出，设，则，根据求出FB，利用列等式求出x，利用勾股定理即可求出EB的长． 【详解】解：如图所示，作，交BC于点F． ∵点D是CB的中点，， ∴， ∵中，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形以及勾股定理，证明是解题的关键． 16． 2 / 【分析】（1）连接，因为是直径，则，所以，所以； （2）以为直径作圆，连接、，在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接， 是直径， ， ， ， ． 故答案为：2； （2）如图，以为直径作圆，连接， ， ， 在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， 在中，，， ， ， ， 在中，， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，两点之间线段最短，解题的关键是确定点的运动路径是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 17． 【分析】首先连接OA，OB，OC，由外接正六边形的性质，可证得△OAB是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，则∠AOB==60°， ∵⊙O是内切圆， ∴OC⊥AB， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=OB，∠OAB=60°， ∵OC=r， ∴OA==r， ∴AB=r． 即外接正六边形的边长为：r． 【点睛】此题考查了圆的外接正六边形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 18．（1）；（2）最小值，M(0，)；（3） ． 【分析】（1）将点B的坐标代入解析式即可求出a的值，即可确定函数解析式； （2）过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，推出，则当D、M、H共线时，的值最小，最后求出DH的长即可解答； （3）连接BM，延长FA交y轴于J．想办法求出FJ，根据tan∠FPJ＝tan∠OMB，可得＝，由此构建方程求出PF，再证明PN＝PF即可解决问题． 【详解】解：（1）∵抛物线，经过点B(1，0)， ∴0＝4a﹣， ∴a＝ ∴． （2）如图1：过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H， 则有， ∴， ∴， ∴， ∴当D，M，H共线时，的值最小， ∵D(﹣1，﹣)，直线l的解析式为y＝﹣x， ∴直线DH的解析式为y＝x﹣， 由，解得， ∴H(，﹣)，M(0，)， ∴DH＝＝， ∵DG＝﹣+＝， ∴的最小值==． （3）如图2中，连接BM，延长FA交y轴于J． ∵A(﹣2，0)，M(0，﹣)， ∴AM＝AF＝＝， ∵B(1，0)， ∴直线BM的解析式为y＝x﹣， ∵PF是⊙A的切线， ∴PF⊥AF， ∵PF∥BM， ∴AF⊥BM， ∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣， ∴J(0，﹣)， ∴AJ＝＝， ∴FJ＝AF+AJ＝， ∵PF∥BM， ∴∠FPJ＝∠OMB， ∴tan∠FPJ＝tan∠OMB， ∴＝， ∴＝， ∴PF＝， ∵AF＝AE， ∴∠AFE＝∠AEF， ∵∠AFE+∠PFN＝90°，∠AEN+∠ONE＝90°，∠PNF＝∠ENO， ∴∠PFN＝∠PNF， ∴PN＝PF＝ ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质、垂线段最短，解直角三角形等知识，正确利用垂线段最短解决最值问题是解答本题的关键． 19．（1）y=x2-x+ Q1(,3) Q2(,5) Q3(,7) 【详解】 试题分析（1）：由题意．根据勾股定理易得到，点A B的坐标，将点代入解析式中求出b c 的值，因为对称轴x=，所以，设Q（，n） P(m, m2+m+),∵QP//AF.且QP="AF.∴AF与PQ的斜率相同，即解析式中的k相等，将点A" F的坐标代入y=kx+b中得到AF的解析式，即可以得到PQ的解析式，含有m,n的方程，解得Q的坐标值．（2）问，做辅助线，过点D做DM//X轴，交抛物线与M,过点A做AH⊥Y轴，得到矩形，由此证得△ABF≌△AHM，及△AFD≌△AMD,得，∠DFA=∠AFB由于C为中点，∴DG=CB=HD=t，设DF=x,∴DF2=DG2+GF2∴(t+x)2=t2+(2t-x)2 解得x = tan∠DFA==3. 解：（1）①∵直线BE与轴平行，点F的坐标为（，1）， ∴点B的坐标为（，0），∠FBA=90，BF=1. 在Rt△EFM中，AF=， ∴. ∴点A的坐标为（，0）. ∴抛物线的解析式为. ......................... 1分 ②点Q的坐标为（，3），（，5），（，7）. ................... 4分 阅卷说明：答对1个得1分. （2）∵，， ∴. ∴. 由 ， . 解得 ，. ∵， ∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（，0）. ∴AB=，即 . ............................................. 5分 方法一：过点D作DG∥轴交BE于点G， AH∥BE交直线DG于点H，延长 DH至点M，使HM=BF.（如图） ∵DG∥轴，AH∥BE， ∴四边形ABGH是平行四边形. ∵∠ABF=90， ∴四边形ABGH是矩形. 同理四边形CBGD是矩形. ∴AH=GB=CD=AB=GH=. ∵∠HAB=90，∠DAF=45， ∴∠1+∠2=45. 在△AFB和△AMH中， ∴△AFB≌△AMH. 6分 ∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M. ∴∠3+∠2="45." 在△AFD和△AMD中， ∴△AFD≌△AMD. ∴∠DFA=∠M，FD=MD. ∴∠DFA=∠4. ............................................................ 7分 ∵C是AB的中点， ∴DG=CB=HD=. 设BF=，则GF=，FD=MD=. 在Rt△DGF中，， ∴， 解得 . ∴. ...................................... 8分 方法二：过点D作DM⊥AF于M.（如图） ∵CD⊥AB，DM⊥AF， ∴∠NCA=∠DMN=90. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC=∠NDM. ∴tan∠NAC=tan∠NDM. ∴. …………………………….6分 ∵C是AB的中点，CD=AB=， ∴AC=，. ∵∠DAM=45， ∴. 设 CN=，则DN=. ∴. ∴. 在Rt△DNM中，， ∴. . . ∴，（舍）. ∴CN=， ................................................................ 7分 AN=. ∵EB∥轴， ∴EB⊥轴. ∵CD⊥AB， ∴CD∥EB. ∴. ∴AF=. ∴MF= AFAM=. ∴. ...................................... 8分 ∴考点： 二次函数的性质，三角形的判定，三角函数的定义，及方程的应用， 点评：熟练掌握二次函数的性质，三角形的判定，还有正切值的求法，本题的关键是做辅助线的基础上找到等角的关系，由全等三角形的判定知边度关系，再由正切定理把设的未知数舍去而求之，本题做法不唯一，可根据已知灵活应用．属于难题，综合性强，中考易出的题型． 20．（1）；（2）或 【分析】（1）作，得到的值，然后利用的值得出的值，然后利用勾股定理即可求出结果； （2）通过联立一次函数和反比例函数的解析式，求出点A、B的坐标，再根据函数图象与不等式的关系，即可得出结论． 【详解】解：（1）过点O作于点H， ∵直线与轴、轴交于C，D， ∴,， ∴在等腰中，, ∵ ∴在等腰和等腰中, ， 在中，， 所以． ∴． （2）过点A作x轴于点G， ∵， ∴在中， 有, 设点 ∴ 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 联立， 解得： ， ∴， 所以不等式的解为或． 【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数、函数图象与不等式的关系等知识点，熟练掌握作辅助线来解题的方法是关键． 21．（1）12；；；（2）；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质可设，然后把点D1的坐标代入中即可求出m，于是可求得第一个等边三角形的边长，进而可得第一个三角形的周长；然后设出与D3的坐标，同样的方法即可求出第二个、第三个三角形的周长与； （2）根据（1）题所得的结果解答即可； （3）按照（2）题的规律和二次根式的加减法则求解即可． 【详解】解：（1）由是等边三角形，故可设， ∴，∴（舍去）， ∴，即第一个三角形的周长； 设， ∴，解得（舍去）， ∴，即第二个三角形的周长； 设， ∴，解得（舍去）， 即第三个三角形的周长； 故答案为：12；；； （2）根据（1）的规律，猜想第（是正整数）个等边三角形的周长； 故答案为：； （3）． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、等边三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键． 22．(1)2， (2) (3)见解析， 【分析】（1）根据平移的性质及线段到圆的“平移距离”定义可分别求得； （2）如图1，可求得直线l与两坐标轴的交点，则可求得l与x轴所夹的锐角，将直线l向右平移得到直线，当直线经过点时，与圆的另一个交点为，则可得△是等边三角形，且边长为1；作⊥直线l于点A，线段AB到⊙O的“平移距离”d总是的长度，从而可求得最小值d． （3）如图2，连接OA交⊙O于点B，设⊙O交x轴正半轴于点E，连接BE，作B关于y轴的对称点D，连接BD、OD，则易得△OBE、△OBD都是等边三角形，由点B是OA中点，可求得点B、D的坐标，由B到A的平移及已知可求得点D、E平移后的对应点M、N的坐标，则M、N在以点A为圆心1为半径的圆上，此时可得点B形成的图形． 【详解】（1）当线段A1B1向右平移2个单位长度时，线段A1B1上的点除A1点位于⊙O上外，其余点全部位于⊙O内部，则线段A1B1到⊙O的“平移距离”为点A1平移的距离2； 如图，当线段A2B2向下平移到时，线段上的点除、两点位于⊙O上外，其余点全部位于⊙O内部，设与y轴交于点C， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∵点，的坐标分别为（－，），（，）， ∴A2B2向下平移的距离为：， 则线段A2B2到⊙O的“平移距离”为； 故答案为：2， （2）如图1，直线l的表达式为，点的坐标为（－1，0）． 在中，令y=0，得x=-2；令x=0，得， 则直线l与x轴和y轴的交点坐标分别为（－2，0），（0，2）． ∴直线l与x轴所夹锐角为． 将直线l向右平移得到直线，当直线经过点时，与圆的另一个交点为． ∵，， ∴△是等边三角形， ∴． ∴当点A，B在直线l上运动时，线段AB到⊙O的“平移距离”d总是的长度． 作⊥直线l于点A，此时的长度即为d的最小值 （3）如图2，连接OA交⊙O于点B，设⊙O交x轴正半轴于点E，连接BE，作B关于y轴的对称点D，连接BD、OD， 由点A坐标知：， ∴∠AOE=60°， ∵OB=OE=1， ∴△OBE是等边三角形， ∴BE=1． 由∠AOE=60°，则射线OA与y轴正半轴的夹角为30°， ∴由对称性知，∠BOD=60°， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD=1，且BD⊥y轴． 由题意知：点A平移后的对应点为B，点D、E分别是线段AB的端点B平移后的对应点，且是两个边界点，   ∵点B是OA的中点， ∴， ∴， 由于B点向右平移半个单位长度再向上平移单位长度后得到点A，则点D、E按此平移分别得到点M（0，），N（，）， ∴以点A为圆心，1为半径画圆，可知点M，N在⊙A上． 所有满足条件的点B形成的图形为． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，学会寻找特殊位置解决数学问题． 23．（1）10；（2）3π-；（3）平移的距离为8−3或3＋2或8＋ 【分析】（1）先判断出点M在点F的位置时，AM最大，进而利用勾股定理即可得出结论； （2）连接OG，过点O作OH⊥FG．先求出GF和∠GOF，最后用面积差即可得出结论； （3）如图3所示，连接OH，OA．先证明AO为∠DAE的角平分线，则∠OAE＝30°，利用特殊锐角三角函数值可求得AE的长，从而可求得x的值；如图4所示：连接OH，OA，如图5所示：延长CB交AE与G，连接OH，OG，同理可求得x的值，进而即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意可知：PF=6，AP＝8，EF⊥l， 当点M与点F重合时，AM有最大值，最大值＝； 故答案是：10； （2）如图2所示：连接OG，过点O作OH⊥FG． ∵∠DAE＝60°，EF⊥AE， ∴∠AFE＝30°． ∴∠GOF＝120°． ∴GF=2FH=2××3=3， ∴S重合部分=S扇形GOE−S△GOE=-3××=3π-； （3）设平移的距离为x， ①当圆O与AD相切于点H，如图3所示，连接OH，OA． ∵AD为圆O的切线，H为切点， ∴OH⊥AD． 又∵OE⊥AE，OH＝OE， ∴AO为∠DAE的角平分线， ∴∠OAE＝30°， ∴AE=OE＝3， ∴x＝8−3； ②当圆O与AB相切于点H，如图4所示：连接OH，OA． ∵AB、AE均为圆O的切线， ∴OA为∠HAE的角平分线， ∴∠OAF＝(60°+90°)÷2=75°， ∵tan75°=， ∴，即AF＝6−3， x=8−（6−3）=3＋2； ③当圆O与BC相切于点H，如图5所示：延长CB交AE与G，连接OH，OG． ∵BC、AG为圆O的切线， ∴OG平分∠HGE， ∴∠OGE＝30°， ∴AG=6÷=4，EG=3， ∴AE＝， ∴x＝8＋． 综上所述，平移的距离为8−3或3＋2或8＋时，半圆O与矩形ABCD的边相切． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质和判定、特殊锐角三角函数值的应用、切线长定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$