专题13 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题13 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 16 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴，答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ，，，∴， 在中，，，∴， ∴答：长． （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【详解】解：如图，延长与相交于点，根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，，，在中，，． ，．． ．答：世纪钟建筑的高度约为． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【详解】解：过点作于点，设，则由题意得， ∵在中，，，∴， ∵在中，，，∴，解得：，∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 例2（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ；(2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53；(2) 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于，∴，∴， ∵与水平线平行，∴，∴， ∴，故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形，同理得：四边形为矩形，∴， ∵为，∴， ∵，∴，∴， ∵为，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． 例3（2025·辽宁·模拟预测）数学来源于实践，服务于实践，因此学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度如图．如图，信号塔刚好在坡角为的斜坡底角处，斜坡的长为，在点处测得信号塔最高点的仰角为，平行于水平线，的长为，求信号塔的高（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：延长交于点，则：，∵，∴    ∵，∴，，∴ 在中，，∴， 在中，，∴． 答：信号塔的高为． 例4（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．(3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【答案】(1)，，，；(2)，推导见解析；(3)． 【详解】（1）解：需要的数据为：，，，； （2）解：过点作于点，则， ∵，∴，∴∴，即 ∴，∴； （3）解：∵，∴按键顺序为，故答案为：． 模型2.母子模型 例1（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得，， 答：大楼的高度约为． 例2（2025·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）；(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米(2)烟花燃放的高度属实 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：，设，则， ∴，∴，∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形，由（1）知米， 米，米，米， 又，．． 在中，，， ∵．．     （米）．． 答：烟花燃放的高度属实． 例3（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度；(2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为(2)宣传牌的高度为 【详解】（1）解：在中，，米， ，，答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形，，，由题意得，而米， ∴在中，，， ，，， ， 答：宣传牌的高度约为． 例4（2025·新疆昌吉·模拟预测）北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，，， ，，在中，， ，，答：角楼的高度为． 例5（2025·重庆·模拟预测）如图，小琳和几个同学相约周末到公园游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于人口A西南方向的中央广场B，然后去位于中央广场B南偏西方向的雕塑园C，最后再去桂花山茶园D，已知桂花山茶园位于雕塑园C的正东方向，入口A的正南方向，米，米．（参考数据：，结果精确到个位） (1)求中央广场B到路线的距离；(2)小言因有事耽误晚到了15分钟，计划沿着路线与小琳他们在桂花山茶园D处会合，若小琳他们行走的平均速度为50米/分钟，小言行走的平均速度为70米/分钟，请计算说明小言能否赶在小琳他们之前到达桂花山茶园． 【答案】(1)中央广场B到路线的距离为350米 (2)小言能赶在小琳他们之前到达桂花山茶园 【详解】（1）解：过点作， 由题意，得：， ∴四边形为矩形，，∴，， 在中，，，∴， ∴，即：中央广场B到路线的距离为350米； （2）由（1）可知：， ∴，， ∴小琳他们到达桂花山茶园所需时间为：（分钟）， ∴小言在相同时间内行走的路程为：米， ∵，∴小言能赶在小琳他们之前到达桂花山茶园． 例6（2025·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 【答案】(1)的长约为600m(2)的长为1049m 【详解】（1）在中，，，， ∴，即的长约为600m； （2）延长交于G， ∵，∴，∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，，∵，， ∴， ∴，即的长为1049m． 模型3.拥抱模型 例1（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 例2（2025·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________；(2)求“美”字的高度． 【答案】(1)，2(2) 【详解】（1）解：，， ，是等腰直角三角形，， 在中，，，， ；故答案为：，2； （2），，， 由题意可知， ，， 在中，， ，即“美”字的高度约为． 例3（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)；(2)电线塔的高度． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴， ∵，∴，∵，∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，，设， 在中，，∴， 在中，，在中，，， ∴，∴，∴， ∴，∴ 答：电线塔的高度 1．（2025·海南·模拟预测）在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，∴， ∵四边形是矩形，∴，∵，，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴三角形是等腰直角三角形， ∴，∴，∴铜像的高度是；故选：C． 2．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，∴， 在中，，，∴， ∴，故答案为：． 3．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米．（保留根号） 【答案】 【详解】解：过点C作，交于点F， ∴，∴四边形为矩形， ∵自己的身高为米，∴，∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米， ∴米，米， ∵他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为， ∴，∴，， ∴米，故答案为：． 4．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，，∴，， ∵，∴， ∴，，∴，故答案为：． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数；(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ．． （2）解：，． 由（1）得．．又，． 在中，，， ， ．． ，．． ∴景点C与景点D之间的距离为． 6．（2025·四川内江·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解；设，∵，∴， 在中，，∴， 在中，，∴， ∵，∴，解得，∴， 答：桥塔的高度为． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离；(2)求．（参考数据：，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， 得：， 在中，由，得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵，∴，∴， 在中，． 8．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题：(1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设，依题意，，，， ∴，，∴， 在中，，∴，解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，，∴， ∴，小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 9．（2025·四川广元·中考真题）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，    【答案】大约是3米 【详解】解：如图，设射线与相交于点．由题意可知， ，米，    ∴四边形为矩形，故米（水平距离）． 在中，， ，米．在中，， 米． ∵点在同一直线上，∴米，保留整数得米． 答：五角星高度大约是3米． 10．（2025·浙江杭州·二模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得：，，，，，∴， 在中，，，∴， ∵，∴，在中，∵,， ∴，∴ 答：高层大楼的高度约为． 11．（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ；(2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53；(2) 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于，∴，∴， ∵与水平线平行，∴，∴， ∴，故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形，同理得：四边形为矩形，∴， ∵为，∴， ∵，∴，∴， ∵为，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． 12．（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m(2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【详解】（1）解：∵在中，，， ． 在 中，， 解得：答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，，∴， 即解得 ．， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 13．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）某数学兴趣小组测量校园内一栋古建筑（底部不可达）的高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古建筑的高度（底部不可达） 测量工具 皮尺、测倾器 活动说明 在阳光下，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点E出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上 测量方案示意图    求古建筑的高．(参考数据： ， ， ) 【答案】古建筑的高为米 【详解】解：由题可知，，在中，，， ∵，∴，∴， ∵太阳光线是平行光线，∴，∴，， ∴，∴，即，解得：(米)， 答：古建筑的高为米． 14．（2025·山西·模拟预测）崛围山位于山西省太原市尖草坪区，从山顶向下俯视，四周群山如涛似浪，宛转盘旋，形成一个巨大的漩涡，像倒立的喇叭，又如硕大的圆盘，“崛围山”之名由此而来．在山顶处建有舍利塔，做工精巧别致，立于崛围山之巅．某校“综合与实践”小组的同学把“测量崛围山舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查、并形成了如下活动报告． 课题 崛围山舍利塔的调研与计算 调查方式 资料查阅、文物部门走访、实地查看了解 调查内容 结构 舍利塔位于多福寺东南的山顶，原是宋代建筑，共7层，塔基呈6角6面、平台用砖石砌成，塔身为砖木结构…… 塔高测量设计图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E、F均在同一竖直平面内，与地面平行，斜坡的坡角，塔顶端E的仰角，从点A出发沿着坡面前行36米到达点D处，测得塔顶点E的仰角为． 计算结果 … 交流展示 … 请根据活动报告计算舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】舍利塔的高度约为 【详解】解：过点D作的垂线，交延长线于点，则， 由题意得，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴， 在中，，∴， ∴，答：舍利塔的高度约为． 15．（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 【答案】的长度约为． 【详解】解：如图，过作于，则， 设，而，∴， 在中，，∴，∴， 在中，，∴， ∴，解得：，∴， ∴，∴的长度约为． 16．（2024·江苏淮安·中考真题）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则，所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为，所以．由题意得， 则，解得，故每节拉杆的长度为． 17．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，，∴， ∵在中，，，∴，解得：， ∴（米），答：此河流的宽度为米． 18．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米，即点到地面的距离是米，故答案为：； ②米，点为中点，米， ， ，，， 在中，米， 米，故答案为：； （2）如图，延长交于点，则，米， ， ，，， 在中，米， ，即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿，所以， 解得，又，所以；； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于，延长交于，过作交于， 则，，，， 所以在中，，， 在中，，所以， 在中，，又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 16 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 例2（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ；(2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 例3（2025·辽宁·模拟预测）数学来源于实践，服务于实践，因此学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度如图．如图，信号塔刚好在坡角为的斜坡底角处，斜坡的长为，在点处测得信号塔最高点的仰角为，平行于水平线，的长为，求信号塔的高（结果精确到．参考数据：，，，） 例4（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．(3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 模型2.母子模型 例1（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 例2（2025·山西·模拟预测）2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）；(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 例3（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度；(2)求宣传牌的高度． 例4（2025·新疆昌吉·模拟预测）北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 例5（2025·重庆·模拟预测）如图，小琳和几个同学相约周末到公园游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于人口A西南方向的中央广场B，然后去位于中央广场B南偏西方向的雕塑园C，最后再去桂花山茶园D，已知桂花山茶园位于雕塑园C的正东方向，入口A的正南方向，米，米．（参考数据：，结果精确到个位） (1)求中央广场B到路线的距离；(2)小言因有事耽误晚到了15分钟，计划沿着路线与小琳他们在桂花山茶园D处会合，若小琳他们行走的平均速度为50米/分钟，小言行走的平均速度为70米/分钟，请计算说明小言能否赶在小琳他们之前到达桂花山茶园． 例6（2025·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 模型3.拥抱模型 例1（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 例2（2025·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________；(2)求“美”字的高度． 例3（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 1．（2025·海南·模拟预测）在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 3．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米．（保留根号） 4．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数；(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 6．（2025·四川内江·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离；(2)求．（参考数据：，，） 8．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题：(1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 9．（2025·四川广元·中考真题）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：，    10．（2025·浙江杭州·二模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 11．（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ；(2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 12．（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 13．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）某数学兴趣小组测量校园内一栋古建筑（底部不可达）的高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古建筑的高度（底部不可达） 测量工具 皮尺、测倾器 活动说明 在阳光下，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点E出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上 测量方案示意图    求古建筑的高．(参考数据： ， ， ) 14．（2025·山西·模拟预测）崛围山位于山西省太原市尖草坪区，从山顶向下俯视，四周群山如涛似浪，宛转盘旋，形成一个巨大的漩涡，像倒立的喇叭，又如硕大的圆盘，“崛围山”之名由此而来．在山顶处建有舍利塔，做工精巧别致，立于崛围山之巅．某校“综合与实践”小组的同学把“测量崛围山舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查、并形成了如下活动报告． 课题 崛围山舍利塔的调研与计算 调查方式 资料查阅、文物部门走访、实地查看了解 调查内容 结构 舍利塔位于多福寺东南的山顶，原是宋代建筑，共7层，塔基呈6角6面、平台用砖石砌成，塔身为砖木结构…… 塔高测量设计图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E、F均在同一竖直平面内，与地面平行，斜坡的坡角，塔顶端E的仰角，从点A出发沿着坡面前行36米到达点D处，测得塔顶点E的仰角为． 计算结果 … 交流展示 … 请根据活动报告计算舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 15．（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 16．（2024·江苏淮安·中考真题）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 17．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 18．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $