专题14 解直角三角形之新定义模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题14 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 17 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（2025·山西临汾·一模）下面是小明的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 今天，我们学习了锐角三角函数，知道在直角三角形ABC中，正弦等于对边比斜边，如；余弦等于邻边比斜边，如；正切等于对边比邻边，如；其中的对边分别为a，b，c． 我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系式： 正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即． 我认真思考，探究过程如下： 【探索证明】已知：如图，在锐角三角形中，的对边分别为a，b，c． 求证：． 证明：如图，过点A作于点，则．都是直角三角形． 在中，，即，∴． 在中，，即，． ，即． 的对边分别为b，c，．…… 任务：(1)帮助小明将材料中的证明过程补充完整．(2)已知在锐角三角形中，，则的周长为______（参考数据： 例2（2023·湖北武汉·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 例3（2025·广西南宁·模拟预测）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】 探究一：（1）如图，在中，，，，， 在中，　　　　 探究二：（2）在中，，，，求的面积（用、、表示）． 【性质应用】（3）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为　　． 例4（2025·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算；(2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 例5（2025山东济宁·二模）在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：． 例：计算的值． ， 两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解． (1)计算_______．(2)计算的值； (3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积． 例6（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________；（2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题：若，且，求值． 例7（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ；(2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 例8（25-26·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料： 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图3，若，则__，_____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）． 例9（2025·宁夏银川·校考二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 1．（25-26·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 2．（25-26·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东潍坊·校考一模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ． 5．（2025·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ． 6．（25-26九年级·山东临沂·阶段练习）同角三角函数的基本关系为：sin2α+cos2α＝1，＝tanα，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα＝2，＝ ． 7．（2025·湖南娄底·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 8．（2025·四川宜宾·中考模拟预测）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny． 据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号） ①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny． 9．（25-26·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1，sinα= ，cosα= ，tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin 45°cos 30°-cos 45"sin 30°= 任务∶（1）计算∶sin 75°=_____（2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求 AB和BC的长． 10．（25-26·陕西铜川·九年级校考阶段练习）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．（1）求sin120°，cos150°的值；（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数． 11．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB；在中， ,.根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，。 12．（25-26·广东九年级期中）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，，∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理可得：，同理可得：． 利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 13．（2025·山东·校考一模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】探究一：如图1，在中，，，，， ∵，∴，∴，∴，      探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含a、b、代数式表示），写出探究过程． 探究三：中，，，，求的面积（用a、b、表示）写出探究过程． 【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用a、b、表示）写出解题过程． （2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），其中，，，，，． 14．（25-26九年级上·湖南永州·期中）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：    (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 15．（25-26·山东·九年级专题练习）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ，如图2： ，如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求． 16．（25-26九年级上·江西抚州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： 图1            图2              备用图 (1)直接写出的值为___________；(2)若，则的正对值的取值范围是__________； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值； 17．（25-26·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读下面材料，完成后面题目． 0°-360°间的角的三角函数 在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA= 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r=（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα=，cosα=，tanα=，cotα= 我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？ （2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值． （3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα=x，求tanα的值． （4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围． 19．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 17 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，，∴， 即，∴； 故答案为：，，，； （2）解：，， 由（1）知：，，， ，，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径，， 在中，，∴， 在中，，  ∴， ∴ ，同理，在中，， 在中，可得，， ∴； （4）解：过O作，连接，， ，，，， ，，在中，，， ，当时，最小，此时也最小， 过A作于，在中，， ，，长度的最小值是，故答案为：． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（2025·山西临汾·一模）下面是小明的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 今天，我们学习了锐角三角函数，知道在直角三角形ABC中，正弦等于对边比斜边，如；余弦等于邻边比斜边，如；正切等于对边比邻边，如；其中的对边分别为a，b，c． 我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系式： 正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即． 我认真思考，探究过程如下： 【探索证明】已知：如图，在锐角三角形中，的对边分别为a，b，c． 求证：． 证明：如图，过点A作于点，则．都是直角三角形． 在中，，即，∴． 在中，，即，． ，即． 的对边分别为b，c，．…… 任务：(1)帮助小明将材料中的证明过程补充完整．(2)已知在锐角三角形中，，则的周长为______（参考数据： 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）解：证明：如图，过点A作于点， 则．都是直角三角形． 在中，，即，∴． 在中，，即，． ，即． 的对边分别为b，c，， 同理可得，∴． （2）解：∵，∴， ∵，， ∴，解得：， ∴，即的周长为． 例2（2023·湖北武汉·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示；    ∵，；∴，；∴在中；； ∵；∴；整理得：； ，（舍）；∴；故选． 例3（2025·广西南宁·模拟预测）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】 探究一：（1）如图，在中，，，，， 在中，　　　　 探究二：（2）在中，，，，求的面积（用、、表示）． 【性质应用】（3）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为　　． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【详解】解：（1）在中，，，，， ；故答案为：；； （2）过点作于点， ，，，由（1）可知，， ； （3）如图，作于点，在中，， ，，．故答案为：． 例4（2025·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算；(2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 【答案】(1) (2)码头与海岛之间的距离为海里 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据公式得即可； （2）作于点，设，则，，利用（1）的结论解直角三角形即可． 【详解】（1）解： == （2）如图，作于点 ∵，，∴ ∵，∴为等腰直角三角形 设，， 在中∴解得： ∴． 答：码头与海岛之间的距离为海里． 例5（2025山东济宁·二模）在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：． 例：计算的值． ， 两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解． (1)计算_______．(2)计算的值； (3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：当时，两角差的余弦， ，故答案为：； （2）解：利用两角差的余弦公式可知，； （3）解：由题意可知，，， ，， ，由（1）知， ，． 例6（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________；（2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题：若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1；sin245°+cos245°==1；sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得：； （3）∵，，且， ∴，∴， ∵，∴． 例7（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ；(2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形，∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ，， ，即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，，设，，则． ∴，， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例8（25-26·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料： 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图3，若，则__，_____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）． 【答案】（1）；；（2） 【详解】解：（1）由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得， 由材料可得：故答案为； （2）取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，， 在中，，在中，， 在中，，则 则 故答案为 例9（2025·宁夏银川·校考二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α(2)A(3)或(4)的值为；α的值为 【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴， ∵，∴， ∴取取正值的是，故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限，∴，，而， ∴，故正确； ∵，，∴，故不正确； ∵，，，∴，故不正确；，故不正确；故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为，∴， 当时，，，，∴； 当时，，，，∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角，∴终边上一点在第一象限，，∴， ∵，∴，解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解，∴的值为；∴，∴的值为． 1．（25-26·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：根据题意得： ， ∴或（舍去），故C正确．故选：C． 2．（25-26·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此选项正确； ②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确； ③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确； ④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确； 故正确的有4个．故选D． 3．（25-26·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意；故选：C． 4．（2025·山东潍坊·校考一模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ． 【答案】2+． 【详解】解： tan75°=tan（45°+30°）=====2+． 故答案为：2+． 5．（2025·四川宜宾·校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于，如图所示， ，设，， ，，，；故答案为：． 6．（25-26九年级·山东临沂·阶段练习）同角三角函数的基本关系为：sin2α+cos2α＝1，＝tanα，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα＝2，＝ ． 【答案】 【详解】由，可得 ，再由，可得，即5，所以. 7．（2025·湖南娄底·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，在中，    ∵，∴． ∵，∴．∵为锐角，∴． ∵ ∴．故答案为：． 8．（2025·四川宜宾·中考模拟预测）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny． 据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号） ①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny． 【答案】②③④． 【详解】根据题意，得，①cos(－60°)＝cos60°= ≠ ，故错误； ②sin75°=sin（45°+30°)=sin45°×cos30°+cos45°×sin30°= ＝，故正确； ③sin2x＝sinx﹒cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx，故正确； ④sin(x－y)＝sinx·cos（-y）+cosx·sin(-y)=sinx·cosy-cosx·siny，故正确，故答案为②③④. 9．（25-26·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1，sinα= ，cosα= ，tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin 45°cos 30°-cos 45"sin 30°= 任务∶（1）计算∶sin 75°=_____（2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求 AB和BC的长． 【答案】（1）；（2）AB= ，BC= 【详解】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45° ＝＝，故答案为：． （2）解：过点A作AD⊥BC于D，在BC上找一点E，使BE=AE， ∵∠C＝45°，AC=2一2，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD，，即，∴AD＝， ∵∠B＝15°，，即，∴AB＝， ∵BE=AE，∴∠B＝∠EAB＝15°，∴∠AED＝30°，∴AE＝2AD＝， ，即，∴ED＝，CB＝． 10．（25-26·陕西铜川·九年级校考阶段练习）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．（1）求sin120°，cos150°的值；（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数． 【答案】（1）sin120°=，cos150°=﹣；（2）m=0，∠A=30°，∠B=120° 【详解】解：（1）由题意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=， cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣； （2）∵一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°， ①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣， 把代入方程得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，经检验﹣是4x2﹣1=0的根，故m=0； ②当∠A=120°，∠B=30°时，方程的两根为，，不符合题意； ③∠A=30°，∠B=30°时，方程两根为，，把代入得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0， 经检验不是方程4x2﹣1=0的根，不符合题意，则m=0，∠A=30°，∠B=120°． 11．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB；在中， ,.根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，。 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】(1)证明：如图2，过点作于点，在中，， 在中，，，； (2)解：如图3，过点作于点，，，， 在中， 又，即，，． 12．（25-26·广东九年级期中）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，，∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理可得：，同理可得：． 利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1）在中，，∴， ∵，即，∴为直角三角形，，又∵，∴； （2）∵， ∴，化简得，解得，，∵，∴． 13．（2025·山东·校考一模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】探究一：如图1，在中，，，，， ∵，∴，∴，∴，      探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含a、b、代数式表示），写出探究过程． 探究三：中，，，，求的面积（用a、b、表示）写出探究过程． 【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用a、b、表示）写出解题过程． （2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），其中，，，，，． 【答案】探究二：，见解析；探究三：，见解析；（1），见解析；（2） 【详解】解：探究二：如图2中，作于H，              ∵，，，∴， 在中，，∴，∴，∴； 探究三：如图3中，作于H， 在中，，∴，∴∴； 性质应用（1）：如图4中，作于H， 在中，，∴，∴∴； 性质应用（2）：连接，由探究三的结论可得：， 则，∴． 14．（25-26九年级上·湖南永州·期中）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：    (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 【答案】(1)，(2)(3)建筑物的高为米 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：； （3）如图，过点作于点，则，    ∵，∴四边形是矩形，∴， ，， ∵在中，，∴米， ∵在中，，∴米， ∴米．答：建筑物的高为米． 15．（25-26·山东·九年级专题练习）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ，如图2： ，如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵∴ ∴ ③∵， ∴ 16．（25-26九年级上·江西抚州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： 图1            图2              备用图 (1)直接写出的值为___________；(2)若，则的正对值的取值范围是__________； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值； 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：根据正对定义可得：当顶角为时，等腰三角形底角为， ∴此时该三角形为等边三角形，底边腰长，故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是，故答案为：； （3）解：如图2，过点作于点．． 图2 在中，，设，则．． ，．在中，利用勾股定理得，． 在等腰中，． 17．（25-26·山东·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：，故答案为：， （2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：    则，，，， 在中，，，， ，在中，， ，，． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读下面材料，完成后面题目． 0°-360°间的角的三角函数 在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA= 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r=（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα=，cosα=，tanα=，cotα= 我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？ （2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值． （3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα=x，求tanα的值． （4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围． 【答案】（1）sinα；（2）或；（3）；（4）1≤sinα+cosα≤． 【详解】（1）∵点P（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0， ∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，∴取取正值的是sinα． （2）如图1中， ①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a， ∴sinα+cosα=． ②当点P在第三象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a， ∴sinα+cosα=．综上所述，sinα+cosα=或． （3）如图2中，作PE⊥x轴于E． 由题意PE=，cosα=，∴OP=2，∴OE=，∴tanα=． （4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1， 当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，∴1≤sinα+cosα≤． 19．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：（1）∵，， ∴，由题意得，， 又∵，∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程：过点作，则， ∵在中，，，∴，， ∴， ∵在中，，∴． 答：，两岛间的距离为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $