专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题12.解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 13 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，，．分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点．连接，交边于点．连接，则的度数为 ．若，点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 例2（2025·江苏一模）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 例3（2025·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 例4（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，若点M是线段上一动点，则的最小值为 ． 例5（25-26上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例6（2025·山东德州·校考二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 例7（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例8（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例10（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    1．（2025·四川乐山·校考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)    A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，中，，，于点D，若点E是线段上一动点，则的最小值为（        ） A． B． C． D．10 4.（2025·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 5．（2025·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 6．（2025·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 7.（2025·广西校考一模）如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 8．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D、F分别是边、上的动点，连接，过点A作交于点E，垂足为G，连接，则的最小值为 ． 9．（25-26上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 ． 10.（25-26九年级上·广东·期中）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 11．（2025·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于 ；（2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题．请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线解析式；②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 13．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． (1)求直线的函数解析式；(2)连接，，若面积等于面积的，求t的值； (3)求的最小值． 14．（2025·山东济南·一模）实践与探究 【问题情境】（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长． 【拓展应用】（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值． 15．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC=，D、E两点在△ABC边上运动．（1）如图1，当∠BAC=120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD=CE=2，求△ADE的面积． （2）如图2，当∠BAC=60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD=CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH=AG，求证：∠BGH=60°． （3）如图3，当∠A=90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值． 16．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 4 13 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （25-26九年级上·吉林长校考期中）【模型认知】如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图；（2）补全解题过程中缺失部分； 【模型应用】如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形，∴，，∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，，∴的最小值为6． 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，，．分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点．连接，交边于点．连接，则的度数为 ．若，点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 /30度 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线， ∴，∴，过点作于，则， ∵，∴，∴， 当点三点共线且时，的值最小，最小值为的长，如图， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴的最小值是，故答案为：，． 例2（2025·江苏一模）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 【答案】 【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于， ，，，， ，，，的最小值为．故选：． 例3（2025·四川·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 例4（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，若点M是线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在矩形中，，，∴，， ∵E为的中点，∴，如图，过M点作于， ∴，∴，∴，∴，∴， 作关于的轴对称图形，记为，G为的中点，连接与交于点R， ∴，，∴， 过G点作于H，则，∵，∴， 又∵，∴，∴的面积的面积， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故答案为． 例5（25-26上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，，∴，∵＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，，∴是等边三角形，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为12，故选：D． 例6（2025·山东德州·校考二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，由题意得，解得，所以二次函数的解析式为， 令，则，，令，则，解得，，，， ，，，， ，， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，，，，，， 而在中，，，即取最小值为， 的最小值为．故答案为：4． 例7（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 例8（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，，∴有最小值，作轴于点P，         则，，∵，∴，∴， ∴，即，∴，则，设直线的解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为， 联立，，解得，即；过点D作轴于点G， 直线与x轴的交点为，则，∴， ∴，∴， 即的最小值是，故答案为：． 例9（2025·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例10（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    【答案】(1)，(2)或或(3)点M的运动时间的最小值为7秒 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：，，故答案为：，； （2）解：设x轴上点D，使得的面积，，解得：， ，，则可求直线解析式为：，故点D坐标为或， 当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P， 则可求得直线l的解析式为：， 求直线l与抛物线交点得：，解得：，， 则P点坐标为或，同理当点D坐标为时，直线l的解析式为， 求直线l与抛物线交点得：，解得：（舍弃），， 则点P坐标为，综上满足条件P点坐标为：或或； （3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于．      ，，， ，直线的解析式为， 点M的运动时间， ，点M的运动时间， 根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少． 由题意，，，点M的运动时间的最小值为7秒，此时． 1．（2025·四川乐山·校考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．    ∵在菱形中，，∴， ∵，∴，，即． ∴．∴．∵ ∴当时，即F与重合时，有最小值 ∴的最小值．故选B． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作点的对称点，作于点，    一次函数交轴于点，当时，，当时，， ，，，，，，， 在的延长线上取，，作于， ，，当、、在同一条直线上时，最小， 过点作于，在中，， ，最小值是， 最小值是，故选：B． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，中，，，于点D，若点E是线段上一动点，则的最小值为（        ） A． B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：过点E作于点F，过点C作于点M，交于点N，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∴，∴设，，则， ∴，∴，∴， ∵垂线段最短，∴当点E在点N处时，最小，即最小，此时， ∵，，∴，∵，∴， 解得：，负值舍去，∴的最小值为，故A正确．故选：A． 4.（2025·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 【答案】 【详解】如图，作于H，于，交AO于． ∵运动时间，∵，，∴， ∵，C（1，0），，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， ，∴，∴， ∵，设，则，则有： ∴或（舍去），∴∴ 5．（2025·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过作，∵四边形矩形，∴，， ∴，， ∴，∴，在中，，∴， ∴当三点共线时，取得最小值，∵，∴， 在中，，即的最小值为，故答案为：． 6．（2025·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点P作，连接， ∵在菱形中，对角线相交于点，，， ∴，∴，∴， ∴在中，，∴， ∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长， ∴此时有，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 7.（2025·广西校考一模）如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：作，过M作交于一点即为点P， ∵，∴，∴，∴当时的值最小， ∴在中，,故答案为； 8．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D、F分别是边、上的动点，连接，过点A作交于点E，垂足为G，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，，点在以为直径的圆上运动， 过作，作于，如图， ，，在中，， ，当、、共线时，最小，过作于， 在中，，，，，，， 作于，四边形是矩形，， ，，，最小值为， 最小值为．故答案为：． 9．（25-26上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于H，作于L， 在矩形中，，，，， ， ∵沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 10.（25-26九年级上·广东·期中）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，，， 的垂直平分线是，， ，的最小值为， ，，的最小值为． 11．（2025·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于 ；（2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 作图见解析，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）连接，∵为直径，∴， ∵等腰直角三角形，∴，∴，∴； （2）在左侧，作，， 则，当点、、三点共线的时候，取得最小值，即取得最小值，此时 ，， 则是等边三角形，过点作，交于点，交于点，则为中点，为中点， ∴过中点，作的平行线，与圆交于点，与的交点，即可确定点，用无刻度直尺作图如下，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题．请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线解析式；②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：延长到点D，使得，如图， 则为等边三角形，过点B作交于点P，则此时最小， ∵为等边三角形，∴，∴，∴， 则，故答案为：； （2）解：①由题意得， ∴，解得，故抛物线的解析式为； ②过点B作交于点P，如图， 则此时的值最小，∵，∴， 则，∴，那么，， 13．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． (1)求直线的函数解析式；(2)连接，，若面积等于面积的，求t的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)(2)10或(3) 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入，解得，将代入，解得， ∴，，∴，，∵，∴， 设直线的解析式为．将，代入得 ，解得，∴直线的解析式为； （2）解：如图： ∵设点横坐标为，，∴，∵点在直线：上， 将代入解得，∴， ∵面积等于面积的，∴， ∴解得：或． （3）如图，过点作点， 在中，∵，∴， ∴，∴， 在，根据勾股定理得，，∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中，∵，∴， ∵，根据勾股定理，得∴的最小值为． 14．（2025·山东济南·一模）实践与探究 【问题情境】（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长． 【拓展应用】（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）2；（3） 【详解】解：（1）①，，，故答案为：； ②如图，延长交于，令交于， 由①可得，由旋转的性质可得：， ，，， 所在直线较小夹角的度数为，故答案为：； （2）延长，相交于点，连接． 四边形是矩形，，，∴， ，∴，∴，∴点为中点， ， ∵于点，∴在中，， ∵在中，，且为定值，∴当，三点共线时取得最小值， ∵，∴，此时为等边三角形，． （3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则， ，，，，为中点， ，，， 为等边三角形，，， ，，，，， ，，，，四点共圆， ，， 在中，， ，， 在中，，的最小值为． 15．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC=，D、E两点在△ABC边上运动．（1）如图1，当∠BAC=120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD=CE=2，求△ADE的面积． （2）如图2，当∠BAC=60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD=CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH=AG，求证：∠BGH=60°． （3）如图3，当∠A=90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【详解】（1）如图，过点作于点，过点作于点， ∵AB=AC=，∠BAC=120°∴ ∴， ∴ ∵BD=CE=2∴， ∴； （2）如图，边上作,连接、，连接 ∵BD=CE∴∵点F是BE中点∴ ∴ ∵∠BAC=60°，AB=AC=∴ ∴为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴∴，即 ∴∴∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （3）如图，过点作交于点，延长线上，作，连接、，过点作交于点、交于点 ∵AB=AC=，∠A=90°∴， ∵，即 ∴∴ ∵ ∴ ∴ ∵，且 ∴∴ 设 则 ∴ ∴ ∵随着的增大而增大 ∴当时，取最小值，即取最小值，， ∴最小值为：． 16．（24-25九年级上·重庆巴南·月考）如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵，，， ，，∴，∴， 在中，，，∴，∴， 在中，，∴， ，∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵，，， ，，， ，，∴，， ∵，∴，∵，∴，， ∵，，∵， ∵，，∴， ，， ∴，，， ∵，∴，，即． （3）解：如图3，取，作，． ，，，，∴， ，，，，， ，，，， 如图4，当，重合时，取最小值，此时， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，过作于点，∵，∴， ∵，∴，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $