第八章 证明（单元自测·提升卷）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 证明·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 2．下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 3．下列命题不是基本事实的是（    ） A．两点之间线段最短 B．经过两点，有且只有一条直线 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 5．对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 6．如图，在和中，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8．下列命题：①的算术平方根是4．②有理数和数轴上的点一一对应；③两个无理数的和还是无理数；④全等三角形的角平分线相等；⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等；⑥有两条边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；其中是真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 12．“一次函数，当时，y随x的增大而增大”是一个 命题（填“真”或“假”）． 13．命题“如果，则，”，很显然是假命题，请您举一个反例： ． 14．如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成的角的度数为 ． 15．如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则 ． 16．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 18．如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，已知：，平分，平分．试说明：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ______（    ） 平分（已知）， ______．（   ） 同理______． （    ）， ______（    ）， ． 20．如图，点分别在上，，垂足为O．已知． (1)求证：； (2)若，求点F到直线的距离． 21．动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 22．观察下列关于自然数的等式： ①；②；③；… 根据上述规律解决下列问题： (1)第4个等式：________； (2)写出第个等式：________； (3)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)　　　，　　　（直接写出答案）； (2)点P在x轴上，若三角形和三角形的面积相等，求出P点的坐标； (3)如图2，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数． 24．某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究： 探究一： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4 2个整数之和 3 4 5 6 7 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． （4）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． 探究二： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． 探究三： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不同的结果． 归纳结论： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有________种不同的结果． 问题解决： 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有________种不同的优惠金额． 25．已知：如图1直线，被直线所截， (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接、 ① 度 ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，则 度 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 证明·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 2．下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 3．下列命题不是基本事实的是（    ） A．两点之间线段最短 B．经过两点，有且只有一条直线 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 5．对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 6．如图，在和中，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8．下列命题：①的算术平方根是4．②有理数和数轴上的点一一对应；③两个无理数的和还是无理数；④全等三角形的角平分线相等；⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等；⑥有两条边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；其中是真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 12．“一次函数，当时，y随x的增大而增大”是一个 命题（填“真”或“假”）． 13．命题“如果，则，”，很显然是假命题，请您举一个反例： ． 14．如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成的角的度数为 ． 15．如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则 ． 16．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 18．如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，已知：，平分，平分．试说明：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ______（    ） 平分（已知）， ______．（   ） 同理______． （    ）， ______（    ）， ． 20．如图，点分别在上，，垂足为O．已知． (1)求证：； (2)若，求点F到直线的距离． 21．动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 22．观察下列关于自然数的等式： ①；②；③；… 根据上述规律解决下列问题： (1)第4个等式：________； (2)写出第个等式：________； (3)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)　　　，　　　（直接写出答案）； (2)点P在x轴上，若三角形和三角形的面积相等，求出P点的坐标； (3)如图2，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数． 24．某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究： 探究一： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4 2个整数之和 3 4 5 6 7 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． （4）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． 探究二： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． 探究三： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不同的结果． 归纳结论： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有________种不同的结果． 问题解决： 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有________种不同的优惠金额． 25．已知：如图1直线，被直线所截， (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接、 ① 度 ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，则 度 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 证明·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D C B A B C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 12．真 13．，（答案不唯一） 14． 15．4 16．①②③⑤ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：，但是．........3分 （2）解：该命题为真命题；........4分 （3）解：该命题为假命题， 反例：为锐角．........6分 18． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ；........3分 （2）解：， ， ， ．........6分 19． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，内错角相等）．........2分 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理，．........4分 （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）．........6分 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 20． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴， ， ， ， ．........3分 （2）解：设边上的高为， ， ， ， ， ， 点到直线的距离为．........6分 21． 【详解】（1）解：∵是含有的直角三角板，是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴．........3分 （2）证明：∵是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分．........8分 22． 【详解】（1）解：， 故答案为：．........2分 （2）解；观察已知等式： ①，其中，结果； ②，其中，结果； ③，其中，结果； 由此可推出，第个等式中，左边第一项为，第二项为，右边为， 当时，第个等式为， 即， 故答案为：．........5分 （3）解：猜想第个等式为： ． 验证：利用完全平方公式展开，得到 所以， 猜想成立．.......8分 23． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，4；........2分 （2）解：设P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴于B． ∴， ∴，， ∴的面积为， ∴， ∴，解得， ∴点P的坐标为或；........5分 （3）解：过点E作， ∵、平分、， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．........8分 24． 【详解】解：探究一： （3） 所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5 2个整数之和 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 根据表格可得共有7种不同的结果， 故答案为：7； （4）由以上知，取两个整数最小值为，最大值为， 在最小值和最大值之间的数值都有可能，所以为， 故答案为：；........4分 探究二： （1）所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为（种）， 故答案为：； （2）所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为种， 故答案为：；........8分 探究三： 所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为种， 故答案为：； 归纳总结： 所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为种， 故答案为：； 问题解决： 所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为（种）， 故答案为：．........12分 25． 【详解】（1）证明：如图1， ，， ， ；........4分 （2）解：①过点作，如图 ， ， ∴，， 又∵， ∴， ， ． 故答案为：． ②结论：． 理由：过点作， ， ， ， ， ， 同理可证： ，， ． ， ∴．........8分 （3）解：如图3中，设，，，则， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：．........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 证明·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键． 【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 2．下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句； A、C、D均为几何真命题，是陈述句； B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假； ∴ B不是命题． 故选：B 3．下列命题不是基本事实的是（    ） A．两点之间线段最短 B．经过两点，有且只有一条直线 C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查基本事实（公理）与定理的区分．基本事实是无需证明而被公认的命题，而定理需通过推理证明．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，称为线段公理，属于基本事实，故不符合题意； B、经过两点，有且只有一条直线，是直线公理，属于基本事实，故不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是平行线的性质，需通过平行公理（如同位角相等）推导得出，属于定理，而非基本事实，故符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂直公理，属于基本事实，故不符合题意； 故选：C． 4．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 5．对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意，举一个例子，满足一个大于，一个不大于，且两个角的和大于即可． 本题考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，符合题意的是，，其余都不满足， 故选：C． 6．如图，在和中，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合等边对等角得，根据平行线的性质得，然后由等边对等角得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的作法和判定．根据平行线作法判断平行线的判定方法即可． 【详解】解：画直线的操作过程，依据的数学基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 8．下列命题：①的算术平方根是4．②有理数和数轴上的点一一对应；③两个无理数的和还是无理数；④全等三角形的角平分线相等；⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等；⑥有两条边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；其中是真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，算术平方根，全等三角形，实数，掌握相关知识点结合正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题进行判断是解题的关键． 根据相关知识点逐个判断命题真假，即可求解． 【详解】解：∵ ① ，4的算术平方根是，不是4，∴ 命题①为假； ∵ ② 数轴上的点与实数一一对应，除了有理数，还有无理数，∴命题 ②为假； ∵ ③ 反例：（有理数），∴ 命题③为假； ∵ ④ 全等三角形的对应角的平分线相等，原命题未指明“对应”，∴命题④为假 ∵ ⑤ 两角和一边对应相等，符合或全等判定，∴ 命题⑤为真； ∵ ⑥ 反例：两条边和第三边高相等，如图，两个三角形和中，,且第三边上的高相等，但两个三角形不全等，∴ 命题⑥假； 综上所述，真命题有⑤，共1个． 故选：B． 9．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题分为题设和结论两部分，把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论． 【详解】解：题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果...那么...”的形式是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 12．“一次函数，当时，y随x的增大而增大”是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查了一次函数的性质，判断命题的真假，掌握知识点是解题的关键． 根据直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解：根据一次函数的性质可得：一次函数，当时，y随x的增大而增大是一个真命题． 故答案为：真． 13．命题“如果，则，”，很显然是假命题，请您举一个反例： ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】此题考查了举反例．找到符合命题题设，但不符合结论的例子即可． 【详解】解：如，，满足，但，． 故答案为：，（答案不唯一） 14．如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成的角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过作，可得，进而根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识；由折叠可得，且的面积为，利用面积关系即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠知，，， ∴， ∴； ∵四边形的面积是6， ∴ ∴； ∵， ∴； 故答案为：4． 16．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 【答案】(1)假命题，反例见解析； (2)真命题． (3)假命题，反例见解析． 【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例． （1）根据绝对值的性质，即可解答； （2）根据能被5整除的数的特征即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：，但是． （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：为锐角． 18．如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质： （1）由两直线平行，内错角相等，可得，，等量代换可得； （2）由邻补角的定义可得，再由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 19．如图，科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，已知：，平分，平分．试说明：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ______（    ） 平分（已知）， ______．（   ） 同理______． （    ）， ______（    ）， ． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线定义等知识，先由平行线性质得到，再由角平分线定义得到，最后由平行线的判定与性质即可得到答案．熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理，． （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 20．如图，点分别在上，，垂足为O．已知． (1)求证：； (2)若，求点F到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． （1）根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据余角的性质得出，根据平行线的判定得出． （2）设边上的高为，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式得出，求出h的值即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴， ， ， ， ． （2）解：设边上的高为， ， ， ， ， ， 点到直线的距离为． 21．动手操作可提升思维能力．如图，将含30°的直角三角板和含45°的直角三角板按不同的方式摆放，可解决下列几何问题． (1)如图1，将三角板直角顶点A与顶点E重合，若，求的度数． (2)如图2，含45°角的三角板的顶点B放在三角板的边上，若，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等和两直线平行同旁内角互补，两种直角三角板的特殊度数，角平分线定义； （1）由得出，再利用，，即可得出的度数； （2）由得，又因为，所以，再利用得出，所以平分. 【详解】（1）解：∵是含有的直角三角板，是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵是含有的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 22．观察下列关于自然数的等式： ①；②；③；… 根据上述规律解决下列问题： (1)第4个等式：________； (2)写出第个等式：________； (3)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2) (3)，验证见详解 【分析】本题考查了规律探究以及完全平方公式的应用．找到数字规律是解题的关键． （1）按照前面等式的规律或直接计算即可； （2）观察已知等式，找到等式的规律，然后写出第个等式即可； （3）观察已知等式，找到等式的规律，利用完全平方公式展开后即可验证． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解；观察已知等式： ①，其中，结果； ②，其中，结果； ③，其中，结果； 由此可推出，第个等式中，左边第一项为，第二项为，右边为， 当时，第个等式为， 即， 故答案为：． （3）解：猜想第个等式为： ． 验证：利用完全平方公式展开，得到 所以， 猜想成立． 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B． (1)　　　，　　　（直接写出答案）； (2)点P在x轴上，若三角形和三角形的面积相等，求出P点的坐标； (3)如图2，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数． 【答案】(1)，4 (2)或 (3) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，平行线的性质，角平分线的定义．解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合的思想． （1）根据非负数的性质得，，解得，即可； （2）设P的坐标为，根据三角形的面积公式计算列式计算即可； （3）过点E作，根据角平分线的定义、平行线的性质证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，4； （2）解：设P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴于B． ∴， ∴，， ∴的面积为， ∴， ∴，解得， ∴点P的坐标为或； （3）解：过点E作， ∵、平分、， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究： 探究一： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4 2个整数之和 3 4 5 6 7 如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． （4）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果． 探究二： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果． 探究三： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不同的结果． 归纳结论： 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有________种不同的结果． 问题解决： 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有________种不同的优惠金额． 【答案】探究一：（3）7；（4）探究二：（1）4；（2）探究三： 归纳结论：问题解决： 【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键． 探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果； （4）结合（3）即可得到结果； 探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果； （2）结合以上（1），总结规律，即可得结果； 探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果； 归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果； 问题解决：根据以上结论即可得到答案． 【详解】解：探究一： （3） 所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5 2个整数之和 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 根据表格可得共有7种不同的结果， 故答案为：7； （4）由以上知，取两个整数最小值为，最大值为， 在最小值和最大值之间的数值都有可能，所以为， 故答案为：； 探究二： （1）所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为（种）， 故答案为：； （2）所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为种， 故答案为：； 探究三： 所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为种， 故答案为：； 归纳总结： 所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为种， 故答案为：； 问题解决： 所出现情况的和的最小值为，最大值为， 则共可以出现情况为（种）， 故答案为：． 25．已知：如图1直线，被直线所截， (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，、分别在直线，上，连接、 ① 度 ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，则 度 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．正确作出辅助线是解题的关键． （1）首先证明，即可证得； （2）①作，由平行线的性质得到，，又，结合图形即可求解； ②作，由平行线的性质得到，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，， ， ； （2）解：①过点作，如图 ， ， ∴，， 又∵， ∴， ， ． 故答案为：． ②结论：． 理由：过点作， ， ， ， ， ， 同理可证： ，， ． ， ∴． （3）解：如图3中，设，，，则， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $