专题02 平行线的基本模型问题6大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题02 平行线的基本模型问题6大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、猪蹄模型 1 题型二、铅笔模型 2 题型三、锯齿模型 3 题型四、骨折模型 5 题型五、三角尺模型 6 题型六、平行线模型问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、猪蹄模型 1．在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，分别平分．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，作，推出，同理可得，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 4．阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务．   “猪蹄模型”巧解复杂题目 观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形抽象地称为“猪蹄模型”．猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，，E为之间的一点，连接，可以得到． 证明：如图2，过点E作． ，（依据1）， （依据2），， ． 拓展应用：如图3，，平分，将线段沿方向平移至．若，平分，求的大小． 任务： (1)材料中的依据1是指：________________，依据2是指：________________． (2)根据材料提供的方法，直接写出拓展应用的结果． 【答案】(1)若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等． (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理作出辅助线是解本题的关键． （1）根据平行公理好平行线的性质解答即可； （2）过点H作，根据第（1）问的思路解得即可． 【详解】（1）材料中的依据1是指：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行； 依据2是指：两直线平行，内错角相等 （2）过点H作    ∴ ∴ 题型二、铅笔模型 5．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 6．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 7．综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 【答案】（）；两直线平行，同旁内角互补；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）根据平行公理求出，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出 ，，再根据角的和差求解即可； （）根据平行公理求出，根据“两直线平行， 内错角相等”求出，，再根据角的和差求解即可； （）结合（）结论及角平分线定义求解即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理和角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式性质）， ∴， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补； （）如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （），理由如下： 由（）得，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 8．【图形感知】 如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用平行线的性质即可得证； （2）由（1）得到，再结合邻补角的定义即可得到结论； （3）结论：．利用上面结论以及角平分线的定义证明即可． （4）设，，得，，继而得到，，由（1）知： ，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由：由（1）知：， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （3）与的数量关系：． 证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即； （4）解：设，， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角相等，角的和差等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用（1）中的结论解决问题． 题型三、锯齿模型 9．如图，已知，，分别为，的角平分线，，则下列说法：①；②；③平分；④．正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选：B． 10．如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义及方程思想，过点E作，过点F作，根据平行公理的推论得出，再利用平行线的性质，推导出内错角相等，结合角平分线定义，设未知数表示角度，表达和，结合已知条件列出方程，最后化简方程求解β，进而求． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 则，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 12．根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律． 题型四、骨折模型 13．如图，已知，，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质． 结合已知条件根据平行线的性质、三角形外角的性质、等式性质即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，延长交于点S，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 14．如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则____________． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角相等，过点作交于点，推出，推出，进而求出，由平行线的性质结合对顶角相等推出，再根据平行线的性质推出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ． ． ， ． ， ， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 15．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 16．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． 题型五、三角尺模型 17．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分．理由见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时， 或； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， ； ④如图4，当时， ． 综上所述，当三角板的边与三角板的某条边平行时，的度数为或或或． 18．【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)15 (2)①  ② (3)30，75，120 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据三角板和平行线的性质得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①在中，， ， ， ； ②． 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值是； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上，在旋转的过程中，当或 75 或 120 时，三角板的边与三角板的一条边平行． 19．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 20．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． （1）过点作，则，则，再由等量代换求解； （2）过点作，则，那么，再由，等量代换即可求解； （3）分“”、“”、“”三种情况，根据平行线的性质分别求出即可． 【详解】解：（1）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴数量关系为：； （2）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数量关系为：； （3）①当时， ∵，即， ∵， ∴， 又∵点C在的延长线上 ∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 题型六、平行线模型问题综合 21．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 22．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【答案】（1）不能；（2）①秒或秒；②；（3）秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）由三角板的特征可得，一副三角板中，两块三角板的角度分别为和，由均为的倍数，得到用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数，即可解答； （2）①根据时，，再分在上方和下方两种情况讨论即可；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：当三角板在三角板左侧时，当三角板在三角板右侧时，再结合平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）一副三角板中，两块三角板的角度分别为和， ∵均为的倍数， ∴用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数， ∵不是整数倍， ∴用一副三角板不能拼出的角， 故答案为：不能； （2）①∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 当在上方时，如图（2）， 则，即， 解得； 当在下方时，如图（3）， 则，即， 解得； 综上，当秒或秒时，； 故答案为：秒或秒； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）如图（4），当三角板在三角板左侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 如图（5），当三角板在三角板右侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 综上，当时，的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 24．【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，根据平行线的判定与性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴不一定正确，故①不符合题意； 如图，延长与的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不能得到，不能得到，故③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不能得到，故④不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 由题意可得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；由题意可得，利用邻补角即可求；过点作，可得，从而得，可求得再利用平行线的性质即可求得；利用角的计算可求得，，即可得出答案． 【详解】解：由题意， ∴， ∴，故正确； 由题意得， ∴，故正确； 过点作，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故正确， 综上所述，正确， 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键． 过点F作，由得，，即可解答． 【详解】解：过点F作，如图 ∴， ∵，的平分线与的平分线交于点E ∴，，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选B． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 6．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到． 【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ， ， 又， ， 即， 故选：A． 7．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，，点在上，点在上，则________． 【答案】/540度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分别过点、作、，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，分别过点、作、， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知，，则__________． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过B作，过C作，易得；由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过B作，过C作，即,, ∵， ∴． ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，    ∵， ∴，， 又∵是和的角平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知，交于点，，，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 由平行线的性质推出，由三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故答案为： 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 12．（24-25七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则_____； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 _____． 【答案】 【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系： （1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解； （2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，作， ，， ， ，， ， 故答案为：60； （2）如图，作交于点K， ， ， ， ， ， 同（1）可得， ， 即， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题】 （1）如图1，，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （2）将图1变为图2、图3（其中不变），请你直接写出相应的结论： 图2：________；图3：________； 【应用】 （3）如图4，运用上面的结论解决问题：，BE平分，DE平分，，求的度数． 【答案】（1）（2）；；（3） 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键． （1）过点作，根据得出，再由平行线的性质即可得出结论； （2）图2：过点作，故可得出，根据平行线的性质即可得出结论；图中，分别过点、、作，，，则，由此可得出结论； （3）过点，分别作，．根据，可知，；再根据，，得出，，由平分，平分可得出结论． 【详解】解：（1）． 理由：过点作， ， ， ，， ． （2）图：过点作， ， ， ，， ； 图：分别过点、、作，，， 则， 同（）可得，①，②， ①②得，． 故答案为：；． （3）如图所示，过点，分别作，． ，， ，； 又， ，， ，， ． 平分，平分， ，， ∴ 14．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，，点为之间的任意一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，分别是，的平分线，若． ①请用含的式子表示； ②若平分平分，得到平分平分，可得，依次平分下去，则________．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①   ② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解题的关键： （1）过作，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论； （2）过作，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论； （3）①根据角平分线的定义得出，由（1）得，由（2）得，得出，进而可得出答案； ②由（1）和①知：，，，即可得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：（1）证明：如图，过作， ， ， ，， ， 即 （2）证明：如图，过作， ， ， ，， ， 即； （3）①分别是的平分线， ， 由（1）得， 由（2）得， ， 则， ， ， ； ②由（1）和①知：， ． 故答案为： ． 15．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，已知，点在上，点在上，点在之间，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，交的延长线于点， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作的平行线，则，由平行线的性质可得，求出的度数即可得到答案； （2）①过点作，则，由平行线的性质可得，则可得到，由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，据此可得答案； ②如图，过点F作，则，证明，得到，则可得到，据此可得；由（2）①可得，则，由平角的定义得到，据此求出即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作的平行线， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点F作， ∴， ， ， ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 由（2）①可得， ∴ ∵， ∴ ． 16．（24-25七年级下·北京·月考）【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______； 【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______； （3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质以及角度关系的计算，熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键， （1）利用平行线的性质得，再利用角度间的关系计算即可得到答案； （2）过点作，根据平行线的性质得到，再由，通过计算即可得到； （3）过点作，由于平分，根据角平分线的性质可得，设，由于平分，则，在（1）的条件下：，从而推出，再次利用平行线的性质和角度间关系的计算即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图①所示： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【应用】（2）过点作，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3），理由如下： 过点作，如图④所示： 平分， ， 平分， 设，则， 在（1）的条件下： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行公理的推论可得，进而得到，，从而求解； （2）过点作，进而证明，根据（1）可得，从而得到的度数，进而求解； （3）根据题意，作，，，得到，进而得到，从而求解； 【详解】（1）解：过点作， ， ， 则，， ， ， 故； 故答案为： （2）解：根据题意，作图如下： 过点作， ， ， 根据（1）可得； ， ； （3）解：根据题意，作，， ，，，， ， ， ， ， 则； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线的基本模型问题6大题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、猪蹄模型 1 题型二、铅笔模型 2 题型三、锯齿模型 3 题型四、骨折模型 5 题型五、三角尺模型 6 题型六、平行线模型问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、猪蹄模型 1．在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，分别平分．若，则__________． 3．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 4．阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务．   “猪蹄模型”巧解复杂题目 观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形抽象地称为“猪蹄模型”．猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，，E为之间的一点，连接，可以得到． 证明：如图2，过点E作． ，（依据1）， （依据2），， ． 拓展应用：如图3，，平分，将线段沿方向平移至．若，平分，求的大小． 任务： (1)材料中的依据1是指：________________，依据2是指：________________． (2)根据材料提供的方法，直接写出拓展应用的结果． 题型二、铅笔模型 5．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 6．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 7．综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 8．【图形感知】 如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 题型三、锯齿模型 9．如图，已知，，分别为，的角平分线，，则下列说法：①；②；③平分；④．正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 11．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 12．根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 题型四、骨折模型 13．如图，已知，，，，则为（    ） A． B． C． D． 14．如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则____________． 15．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 16．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型五、三角尺模型 17．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 18．【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 19．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 20．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 题型六、平行线模型问题综合 21．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 22．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 23．七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 24．【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 3．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，，点在上，点在上，则________． 8．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知，，则__________． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为__________． 10．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知，交于点，，，那么__________度． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则_____． 12．（24-25七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则_____； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 _____． 13．（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题】 （1）如图1，，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （2）将图1变为图2、图3（其中不变），请你直接写出相应的结论： 图2：________；图3：________； 【应用】 （3）如图4，运用上面的结论解决问题：，BE平分，DE平分，，求的度数． 14．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，，点为之间的任意一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，分别是，的平分线，若． ①请用含的式子表示； ②若平分平分，得到平分平分，可得，依次平分下去，则________．（用含的式子表示） 15．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，已知，点在上，点在上，点在之间，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，交的延长线于点， ①若，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 16．（24-25七年级下·北京·月考）【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______； 【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______； （3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数． 17．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $