青海西宁市大通县朔山中学2025-2026学年高三下学期3月学情导航数学试卷

大通县朔山中学2025~2026学年度高三学情导航卷 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则AUB= A.{5,8》 B.{4,5,6,8} C.{3,5,7,8} D.{3,4,5,6,7,8} 2.(2-i)-(2+3i)+4i= A.0 B.6i C.4-8i D.4+8i 3.已知sina=- ，则cos2a c n 4若球的体积是，则此球的表面积是 A.12π B.16π D 64x 3 5.若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为 A.√2 B.2 C.7 D.22 6.二项式(x-是)】 的展开式中常数项为 A.10 B.-10 C.5 D.-5 【高三学情导航卷·数学第1页（共4页）】 26-T-477C 7.在等差数列{an}中，a3十a6=a十1，a4=5,则{amn}的前25项和为 A.1150 B.575 C.550 D.275 8.设函数f(x)=(x十a)x2在区间(1,2)上单调递减，则a的最大值是 A.-3 B.-2 c D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)的图象如图所示，则 A.f(x)在区间（一1,0）上单调递减 6 B.f(x)在区间(0,4)上单调递增 5 C.f(x)在区间(0,4)上单调递减 4 D.f(x)在区间(4,5)上单调递增 3 10.已知f.x)=2sin(x-于)则 A.f(x)的最大值为1 -1O 12 B.曲线y=f(x)关于点（开，0）对称 C.f(x)在(-平，牙)上单调递增 D.f(x)在（一2π，2π）上有5个零点 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P是C上的动点，A(2,4),则 A.过点A与C仅有1个公共点的直线有3条 B.满足PA⊥AF的点P仅有2个 C.满足PA⊥PF的点P仅有3个 D.满足到点A距离与到1距离之和为√17的点P有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校高三年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随 机抽样的方法，抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为 13.已知单位向量a,b满足引2a-3b1=√/19，则a·b= 14.一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机 摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E(X) 【高三学情导航卷·数学第2页（共4页）】 26-T-477C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b-c2=4,△ABC的面积为√5. (1)求C: (2)若a十b=6,求△ABC外接圆的半径. 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}的首项a1=1,且满足a+1=2an十1. (1)求证：{aw+1}是等比数列； (2)求数列{a,}的通项公式及前10项的和. 17.(本小题满分15分)》 如图，在直三棱柱ABC-A1BC中，AC⊥BC,AC-BC-1,AA1=2,AE-EC,CF=FB. (1)证明：EF∥平面ABC: (2)求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值. 【高三学情导航卷·数学第3页（共4页）】 26-T-477C 18.(本小题满分17分)》 已知椭圆C:后+芳=1(a>6>0)的离心率为号，长轴长为4 (1)求C的方程； (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为√2， 求AB. 19.(本小题满分17分)》 设函数f(x)=ax十e-1,a∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线经过点(2,1)，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若存在正实数t,使得对Hx∈(0，t),都有|f(x)>3x,求a的取值范围. 【高三学情导航卷·数学第4页（共4页）】 26-T-477C大通县朔山中学2025~2026学年度高三学情导航卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.DAUB={4,5,6,8}U{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.故选D. 2.A(2-i)-(2+3i)+4i=(2-2+0)+(-1-3+4)i=0.故选A. 3C由sma=-号，得cos2a=1-2sima=1-2爱-务故选C 4B设球的半径为R,则由已知得号及-警，解得R=2.放球的表面积S=4R=16x故选B 5.D设双曲线的实轴长，虚轴长，焦距分别为2a,2b,2c,由题知b=√7a,于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2,则 c=22a,即e==22.故选D 6.D二项式(x-）展开式的通项为T+1=Cx-(-是）广'=(-1)Cx,令5-5r=0,解得r=1,所 以二项式(x-是） 的展开式中常数项为一C=一5.故选D. 7.B设等差数列{am}的公差为d,由a3十a6=a?+1,a4=5,得2a1+7d=a1+6d十1，a1+3d=5,解得a1= -1,d=2,所以{a的前25项和为25×(-1)+25X(?5-1D×2=575.故选B. 2 8A因为函数x在区间1,2》上是减函数，所以f)=(3x+2a)≤0，即3+2a≤0，所以a≤-号，因 为x∈(1,2)时，-3<-多<-号，所以≤-3放选A 9.AD由图可知函数f(x)在区间(0,2)和(4,5)上单调递增，在区间（一1,0）和(2,4)上单调递减.故 选AD. 10.C()的最大值为2，（平）=0，f)的图象关于点（平，0）对称，所以A错误，B正确；当一平<x< 平时，-受<x-至<0，f()在(-平，平）上单调递增，C正确：f(x)在(-2,2x)上的零点为-压 49 还，斧，至，共4个，D错误故选C 11.AB对于A,由题意知点A在抛物线C外，过点A与C的对称轴平行的直线与C有1个公共点，过点A可 作两条直线与C相切，故过A与C仅有一个公共点的直线有3条，故A正确；对于B,直线AF的斜率为4， 【高三学情导航卷·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-477℃ 因为PALAF,所以直线PA的斜率为-子，过点A斜率为一子的直线与C仅有2个交点，故点P仅有 2个，故B正确；对于C,易求|AF|=√I7,以AF为直径作圆，该圆与C有2个交点，点P仅有2个，故C 错误，对于D,由抛物线定义知点P到点A距离与到l距离之和为|PA|+|PF|≥|AF|=√I7,当P,A, F共线且点P在线段AF上时取等号，故点P仅有1个，故D错误.故选AB. 1249抽取的男生人数为学0×10=40 13.-2 由单位向量a,b满足2a-361=V,得4-12a·b什9=19，a·b=-号 X的取值为1,23,4，PX=1D=音=2，P(X=2)=音×号=0P(X=3)=音×号×是-0， 14.4 PX=40=号×号×子×号=0，所以EX0=2×1+是×2+易X3+易×4=子. 15.解：(1)由余弦定理得a2十b一2=2abc0sC=4,..…2分 由面积公式得7mC二厅，两式作比，得四C-气，用1mC=尽， 4 …5分 由Ce(0,x),得C=受 6分 (2代人C=音，有5=合alsin C--bab=4, 8分 而c2=a2+b2一4=(a+b)2-2ab-4=36-8-4=24,得到c=2√6， 11分 记△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理得R= 26 2sinC√3 =2/2. 13分 16.(1)证明：因为aa+1=2am十1，所以a+1+1=2(an+1), 2分 又a1=1,所以a1十1=2,0n十1≠0，……………4分 所以士=2，所以{a.十1)是首项为2，公比为2的等比数列. an+1 7分 (2)解：由(1)得am十1=2X2m-1=2n,即an=2-1,… 11分 设数列{an}的前n项和为Sn, 所以50=41十4十十a0=2+2十+2n-10=2号0）-10=2036.…15分 1-2 17.（1)证明：如图，连接BC1,…2分 【高三学情导航卷·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-477C 因为CF=FB,四边形BCCB1为矩形，所以CF=BF,… 3分 因为AE=EC,所以EF∥AB,… 5分 因为ABC平面ABC,EF寸平面ABC,所以EF∥平面ABC…6分 (2)解：因为CA,CB,CC1两两垂直，故以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线 分别为x,y,之轴建立如图所示空间直角坐标系，…7分 则C0,0,0),A1,0,0),B01,0),C(0,0,2),E(分，0,1)，F(,号，1， C2=(分，0,1)，C市=(0，号10，Ad=(-1,0,2》.…8分 设平面CEF的一个法向量为m=(x,y,), C市·m=2x+=0, 则 取x=2,得y=2,之=-1，则m=(2,2,-1),…13分 C萨，m=7y十=0， 所以|cos〈AC,m1= ，放直线AC与平面CEF所成角的正弦值为45 _45 15 …15分 2a=4, a=2, 18.解：(1)由题知 2’ 解得影b=2,…3分 a2=b2+c2, c=√/2， 所以C的方程为号+苦 y =1.……4分 (2)由题知直线l的斜率不为0，设l:x=t(y十2)(1≠0)，A(,y),B(2y2), x=(y+2), 联立 消去x得（十2）y2十4t2y十41-4=0，…… 6分 +芝-1， 故△=(4)2-4(t2+2)(42一4)=4(8-4)>0，即-√2<t<√2，且t≠0， 且1十=一 7中2y4g干2 …9分 故S△B= 号×12Xn-w=·0+为)2-4为=2,6证=2，… 2+2 11分 解得1=土6 3 13分 【高三学情导航卷·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-477C ×V32-16X 2 所以1AB到=中F-=√什号×m+为)-4为-√月 号+2 =√5.…17分 19.解：(1)因为f(x）=a.x十e2-1,所以f(x)=a十e,…1分 f(0)=0,f(0)=a十1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线为y=(a十1)x,…2分 又切线过点(2,1)，所以2(a+1)=1,所以a=- 2 ……3分 (2)f(x)的定义域为R,f'(x)=a十e, 当a≥0时，(x)>0,f(x)在R上单调递增；…4分 当a<0时，由f(x)=0,得x=ln(-a):由f(x)>0,得x>ln(-a);由f(x)<0,得x<ln(-a), 所以f(x)在（一∞，ln（一a))上单调递减，在(1n(一a),十∞）上单调递增.…6分 (3)当a≥0时，f(x)在R上单调递增，由f(0)=0知x∈(0，t)时，f(x)>0,…7分 当a<0时，由(2)知当ln(-a)≤0，即-1≤a<0时，f(x)>0对x∈(0，t)成立，…8分 所以a≥-1时，存在正实数t,使得对Vx∈(0，t),f(x)>0,从而lf(x)川>3x化为(a-3)x+e一1>0； …9分 当ln(-a)>0,即a<-1时，由(2)知f(x)在(0，n(-a)上单调递减，Vx∈(0，ln(-a)),f(x)<0, f(x)>3x化为-a.x-e2+1>3x即e2+(a十3)x-1<0,…10分 ①a≥-1时，令g(x)=(a-3)x+e-1,则g(0)=0,g'(x)=(a-3)+e, 当a≥3时，g'(x)>0,g(x)在R单调递增，存在正实数t,使得对Hx∈(0，t),g(x)>0,…11分 当a<3时，由g'(x)=0得x=ln(3-a),由g'(x)>0得x>n(3-a),g'(x)<0得x<ln(3-a),所以 g(x)的单调递增区间为(ln(3一a),十o∞)，单调递减区间为（一∞，n(3一a),要存在正实数t,使得对 x∈(0，t),g(x)>0,则1n(3-a)≤0，所以2≤a<3;…13分 ②当a<-1时，令h(x)=e+(a+3)x-1,h(0)=0,h'(x)=e2+a+3,要存在正实数t,使得对Hx∈ (0,t),h(x)<0,则存在正实数t,h(x)在(0，t)上单调递减，h(x)≤0对x∈(0，t)成立，…14分 当a+3≥0时，h'(x)>0,当a+3<0时，由h'(x)≤0得x≤ln(-3-a),从而ln(-3-a)>0, 所以a-4.……16分 综合①②知，a的取值范围为（一∞，一4）U[2,十∞).…17分 【高三学情导航卷·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-477C大通县朔山中学2025~2026学年度高三学情导航卷 数学答题卡 条形码粘贴处 1.答题前，考生先将自己的学校、班级，姓名、准考 准 考 证 的 证号填写清楚。 注 2.选择题使用2B铅笔填涂：如需改动.用橡皮擦干 : 意净后，再选择其他答案标号：非选择题使用黑色 事 碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序 [0][0[0][0][0][0][0][0[0 项 在各题日的答题区域内作答，超出答题区或书写 [1][1[1」1[1J[1][1][1 的答案无效：在草稿纸，试卷上答题无效」 [2][2][2][2][21[2][2][2 3.保持卡面清清，不折叠、不破损 [31 [3][31[3][3][3][3] 3 [4][4][4][4[4][4[4][4 填 正确填涂：■ [5 [5][5][5 [5][5 Is] 涂 错误填涂：白X的p [6] [6161 [6] [6][6 [6 [6 6 [7 [7J[7][7] [71 [7 缺考 1 例 8][8][81[8][81[81[8] 标记 [91[91[9][9][9][9191[9 [9 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 6[A]B][C][D] I1[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] I0[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 了LLb-L-97（迎乙并)连1熊素·景啡台割素三皇 苦易阳海☒兴谢到项狂联吊爵‘易W4海☒酷易刚目号平基 (:￡I巧/平)SL 苦易阳海☒兴谢到印环狂瑞吊群‘品助4海☒酷品阳目号尹皇 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效刻 高三学情导航卷·数学第2页（共2页）26-T-477C ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！