18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用课件-2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第18章 勾股定理及其逆定理 18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 沪科版·八年级下册 学习目标 1 2 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 2 情境导入 在军事和航海上经常要确定方向和位置，常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！ 探究新知 例 2 已知：在△ABC中，三边长分别为 a = n2 – 1，b = 2n，c = n2 + 1（n > 1）. 求证：△ABC 为直角三角形. 证明 ∵ a2 + b2 = (n2 – 1)2 + (2n)2 = n4 – 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2 = c2 ∴△ABC 为直角三角形. 应用勾股定理的逆定理 练一练 1. 一个三角形三边长的比是 ，判断这个三角形的形状. 【教材P60练习 T1】 解：设这个三角形的三边长分别为 ∴这个三角形是直角三角形. ∵ 练一练 2. 在△ABC 中，三边长 a，b，c 满足 (a + c)(a – c) = b2，判断△ABC 的形状，并说明理由. 【教材P60练习 T2】 解：△ABC 是直角三角形，理由如下： ∵ (a + c)(a – c) = b2，即 a2 – c2 = b2， ∴ c2 + b2 = a2， ∴这个三角形是直角三角形. ?° 例 3 如图，营地 A 与哨所 B 相距 10 km，东侧有条南北走向的河流 PQ. 哨兵先从营地 A 骑马沿南偏东 34°的方向走 6 km 到达河边 C 处让马饮水，再走 8 km 到达哨所 B 处执勤，最后返回营地 A. 你知道哨兵在 C 处是沿哪个方向到达哨所 B 吗？ A C Q P D 北 东 34° B 【思考】1. 已知哪些条件？ 2. 需要解决的问题是什么？ 10 km 6 km 8 km 34° 也就是求∠BCQ 的度数. ?° A C Q P D 北 东 34° B 10 km 6 km 8 km 34° 解 由题意，得 AB = 10 km，AC = 6 km，BC = 8 km. ∵ 62 + 82 = 102， ∴ AC2 + BC2 = AB2. ∴∠ACB = 90°. 又∵ AD//PQ， ∴∠ACP =∠DAC = 34°. ∴∠BCQ = 180°– 90°– 34°= 56°. 答：哨兵在 C 处是沿南偏西 56°的方向到达哨所 B 处. 1. 如图，正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的，点 E，F 均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接 AE，AF，求 ∠EAF 的度数. 练一练 A B D C E F 解：如图，连接 EF， A B D C E F 则 ∵ ∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF = 90°. 又∵ AE = EF，∴∠EAF =∠EFA = 45°. 练一练 2. 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时 离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16 n mile， “海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 解：根据题意，得 PQ = 16 × 1.5 = 24 n mile， PR = 12×1.5 = 18 n mile， QR = 30 n mile. 因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2， 所以∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 随堂练习 1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 解：由图知：AB = 12 km，BC = 5 km，AC = 13 km. ∵AB2 + BC2 = 122 + 52 = 169， AC2 = 132 = 169， ∴AB2 + BC2 = AC2， ∴△ABC 为直角三角形，且 ∠B = 90°. 又∵A 地在 B 地的正东方向， ∴ C 地在 B 地的正北方向. 2. 高师傅有 5 根长度分别为 a = 6，b = 8，c = 10，d = 24，e = 26 （单位：dm）的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架. 请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合. 解：a2 = 36，b2 = 64，c2 = 100，d2 = 576，e2 = 676， ∵a2 + b2 = c2，c2 + d2 = e2， ∴有可能的钢条组合有 2 种，长度分别为 6，8，10 和 10，24，26（单位：dm）. 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由. 解：∵ AC⊥BC，∴∠ACB = 90°. 在Rt△ABC 中， AC2 = AB2 – BC2 = 52 – 32 = 16，∴AC = 4. 在△ACD 中， ∴△ACD 是直角三角形，即 AC⊥AD. ∵ 4. 如图，已知 AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积. 解：∵AB = 3，BC = 4，∠B = 90°，由勾股定理，得 AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25，∴ AC = 5 . 又∵CD = 12，AD = 13，∴ AC2 + CD2 = AD2. ∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD = 90°. ∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD 课堂小结 勾股定理的逆定理的应用 判断一个三角形是不是直角三角形 判断前进方向 计算不规则四边形面积 $