4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第四章 三角恒等变换 4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 32999 1.能利用Cα±β公式、诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式． 2.掌握两角和与差的正弦、正切公式，并能利用公式进行求值、计算． 学 习 目 标 32999 问题1：比较 sin (α + β) 与 cos (α + β) 在形式上有什么异同？如何利用诱导公式将 α + β 的正弦和余弦建立联系？ 角相同，三角函数名不同； 问 题 探 究 32999 问题2：根据 ，利用两角和的余弦公式推导两角和的正弦公式？ （Sα + β） 用– β 代替 β sin(α – β) = sin αcos(–β) + cos αsin(–β) = sin αcos β – cos αsin β （Sα – β） 问 题 探 究 32999 注意：① 公式中角的顺序；② 公式中三角符号的顺序；③ 公式中的运算符号. 两角和与差正弦公式 Sα - β：sin (α − β) = sin α·cos β − cos α·sin β Sα + β：sin (α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β 记忆方法：异名积，同号连 知 识 梳 理 32999 例1：求 的值. 解： = = = = sin 30°= . 典 型 例 题 32999 例2：已知 0 < α < < β < π，sin α = ，sin (α + β) = ，求 sin β 的值． 解：∵0 < α < < β < π，∴ < α + β < ， 又 sin α = ，sin (α + β) = ，∴cos α = ，cos(α + β) = - ， ∴ sin β = sin (α + β - α) = sin (α + β) cos α - cos (α + β) sin α = × - ()× = . 典 型 例 题 32999 给值求值(角)的方法： ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 知 识 梳 理 32999 问题3：根据前面所学知识，写出 α＋β、α－β 的正切公式. 思考：公式中的 α、β 是任意角吗？ 不是，α、β、α±β 均不为 问 题 探 究 32999 和 (差) 公式之间的关系： 【和角公式】S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)； 【差角公式】：S(α – β)、C(α – β)、T(α – β) . 知 识 梳 理 32999 例3：求下列各式的值. (1) tan 15°；(2) ；(3) tan 23°+ tan 37°+ tan 23°tan 37°. 解：(1) tan 15°= tan (45°-30°) = = = 2 - ； (2) = = = tan(30°-75°) = -tan 45°= -1； (3)∵tan(23°+37°) = tan 60°= = ， ∴tan 23°+tan 37°= (1-tan 23°tan 37°)， ∴原式 = (1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°= . 典 型 例 题 32999 练一练：(1) tan 17°+ tan 28°+ tan 17°tan 28°； (2) tan 17°tan 43°+ tan 17°tan 30°+ tan 43°tan 30°. 解：(1)原式 = tan(17°+ 28°)(1 - tan 17°tan 28°) + tan 17°tan 28° = tan 45°·(1 - tan 17°tan 28°) + tan 17°tan 28°= 1； (2)原式 = tan 17°tan 43°+ tan 30°·(tan 17°+ tan 43°) = tan 17°tan 43°+ tan 30°·tan(17°+ 43°)(1 - tan 17°tan 43°) = tan 17°tan 43°+ tan 30°·tan 60°·(1 - tan 17°tan 43°) = tan 17°tan 43°+ 1 - tan 17°tan 43°= 1. 当 堂 检 测 32999 回顾：根据今天所学，写出所有和（差）角公式. 1.两角和与差的正弦公式： Sα＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； Sα－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 2.两角和与差的正切公式： 课 堂 总 结 32999 $