4.1 同角三角函数的基本关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第四章 三角恒等变换 4.1 同角三角函数的基本关系 32999 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系. 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值. 学 习 目 标 32999 sin2α + cos2α = 1 问题1：当角 α 取 0°，30°，45°，60°时，分别计算：sin2α + cos2α，，tan α 的值，观察计算结果，说说你有什么发现？ tan α = 问 题 探 究 32999 问题2：回答下列问题，并给出相应证明. （1）sin2α + cos2α = 1是否对任意角都成立? （2） = tan α (α ≠ kπ + ，k∈Z)时是否都成立? （1）（2）都成立，证明如下； 证明：如图，设点 P (x，y) 是角 α 的终边与单位圆的交点. 过 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M，则 △OMP 是直角三角形，且 OP = 1. 已知：sin α = y1，cos α = x1，△OMP 是直角三角形，则根据勾股定理： OM 2 + MP 2 = 1，即 x12 + y12 = 1，∴ sin2α + cos2α = 1； 又 tan α = ，∴ tan α = . x y O A (1，0) α P 1 M 问 题 探 究 32999 同角三角函数的基本关系 平方关系: sin2α + cos2α = 1 （当 α 的终边与坐标轴重合时，同样成立） 商数关系: tan α = （根据定义，当 ≠ kπ + ( k∈Z ) 才成立） 总结：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切. 知 识 梳 理 32999 解：因为，所以 是第三、四象限角. 当 α 是第三象限角时：，； 当 α 是第四象限角时：，. 例1：已知 ，求角 α 的余弦和正切． 典 型 例 题 32999 变式：已知 ，求角 α 的正弦和余弦． 典 型 例 题 32999 解：（1）由 sin α + cos α = - 得 (sin α + cos α)2 = ， sin2α + 2sinα·cos α + cos2α = ，则 sinα·cos α = - . （2）因为 tan α = 2，所以 ① = = - ；② = = = . 例2：（1）已知 sin α + cos α = - ，0 < α < π，求 sin α·cos α 的值； （2）已知 tan α = 2，求值：① ； ② 2sin2α - sin αcos α + cos2α. 典 型 例 题 32999 解：∵sin α·tan α < 0，∴ cos α < 0. 原式 = + = + = + = = . 例3：若sin α·tan α < 0，化简：. 典 型 例 题 32999 典 型 例 题 32999 恒等式证明 1.常用思路：① 从一边证到另一边，化繁为简；② 左右开弓，即证明左边、右边都等于同一个式子或数；③ 比较法 (作差法，作比法)； 2.常用技巧：① 巧用“1”的代换；② 化切为弦；③ 多项式运算技巧的应用 (分解因式). 知 识 梳 理 32999 2.若 α 是三角形的一个内角，且sin α + cos α = ，则这个三角形是(　　)　　　　　　　　　　　　 A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 C D 当 堂 检 测 32999 3.(多选) 如果 α 是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A. tanα = - B. cos α = - C. sinα = D. tan α = 4.若 sin α + 3cos α = 0，则 的值为____________. BC 当 堂 检 测 32999 根据今天所学，回答下列问题： （1）说一说同角三角函数的基本关系? （2）上述同角三角函数的基本关系有哪些基本变形？ 平方关系：sin2 α + cos2 α = 1； 变形：sin2 α = 1 - cos2 α，cos2 α = 1- sin2 α； 商数关系： 课 堂 总 结 32999 当α = 0°时， sin20°+cos20° = 1， = 0， tan 0° = 0； 当α = 30°时，sin230°+cos230° = 1， ， tan 30° = ； 当α = 45°时，sin245°+cos245° = 1， = 1， tan 45° = 1； 当α = 60°时，sin260°+cos260° = 1， ， tan 60° = 解：∵tan α = > 0，∴ α 为第一或第三象限的角. 当 α 是第一象限角时：解得 同理，当 α 为第三象限角时，sin α = ，cos α =. 例4：求证：. 证法1：因为左边 = = = = = = 右边，所以原式成立. 证法2：左边 = ，右边 = = ，所以左边=右边，原式成立. 1.化简的结果是(　　) A. cos B. sin C. -cos D. -sin $