广东省2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学试题

★启用前注意保密 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一） 数学参考答案 一、单项选择题 题号 2 3 S 6 7 8 答案 B D D B C D 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABC 三、填空题 12.27 13.(x-1)2+(y-1)2=5 14.2 四、解答题 15.【详解】(1)方法一：因为C2=B立-B, …1分 且AD=2B元，A京=2B, …2分 所以D示=A京-AD=2B正-2BC=2(B-BC)=2C2! …3分 所以E元∥Di,…4分 又因为点C,D,E,F不在同一条直线上， 所以EC∥DF,… 5分 所以C,D,E,F四点共面 6分 方法二：如图1，因为A=2B配，A京=2B配， 所以AD∥BC,且AD=2BC,AF∥BE,且AF=2BE, …1分 延长AB,DC交于点P,延长AB,FE交于点P2,…2分 因为器片器影宁 …3分 所以点P,P2为同一点，记为点P,…4分 即FE与DC交于点P, 故直线FE与DC共面，…5分 所以C,D,E,F四点共面. …6分 数学模拟测试（一）参考答案第1页（共9页) 2 D B 图1 图2 (2)因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,FAC平面ABEF, FA⊥AB, 所以FA⊥平面ABCD,…7分 又因为AD LAB, 所以，如图2，以点A为坐标原点，AB,AD,AF所在的直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,0,1),C(2,1,0), A0=(0,2,0),D2=(2,-2,1),E元=(0,1，-1)， …8分 设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,1), n1·AD=0,2y1=0, 则 「y=0, 即 解得 1·D2=0,2x1-2y1+1=0,a=-2x1 取x1=1,则n1=(1,0,-2), …10分 设平面CDE的法向量为n2=(x2,y2,2), 则，2·DE=0,「2x2=22+20 即 解得 x2= 2, m,.E元=0,12-2=0 y2=22, 取z2=2,则2=(1,2,2)， …11分 n1·n2-11-4-5 所以os<1,n>|=m1,=53 …12分 所以平面ADE与平面CDE夹角的余弦值为5 …13分 16.【详解】(1)因为f(x)=e-a, 所以y=yf(x)=xe-ax, y=e-a+xe,…3分 数学模拟测试（一）参考答案第2页（共9页) 因为x=0是函数y=f(x)的极值点， 所以y'|x0=1-a=0,解得a=1. …5分 当a=1时，y'=e-1+xe=(x+1)e-1, 方法一：当x>0时， 因为x+1>1,e>1, 所以(x+1)e>1,即y'>0,函数y=(x)单调递增；…6分 当x<0时， 因为x+1<1,0<e<1, 所以(x+1)e<1,即y'<0,函数y=f(x)单调递减； …7分 综上所述，x=0是函数y=f(x)的极小值点，符合题意。故a=1.…8分 方法二：令p(x)=(x+1)e-1,p'(x)=(x+2)e, 当x<-2时，p'(x)<0,当x>-2时，p'(x)>0, 故p(x)在(-o0,-2)上单调递减，在(-2，+o)上单调递增，…6分 易知，当x≤-1时，p(x)=(x+1)e-1<0 又因为p(0)=0,且p(x)在(-1，+0)上单调递增 所以-1<x<0时，p(x)<0,x>0时，p(x)>0,…7分 故当x<0时，p(x)<0,即y'<0,函数y=f(x)单调递减，当x>0时，p(x)> 0,即y'>0,函数y=f(x)单调递增，故x=0是函数y=f(x)的极小值点，符合 题意。故a=1.…8分 (2)由(1)得x)=e-1,所以g()==x)=-(e- xf(x）x(ex-1) 2,x≠0， 由(1)可知，x=0是函数y=xf(x)的极小值点， 所以对任意的x≠0，y=f(x)>0,…10分 即证x-(e-1)>-x(e-1),化简得(x-1)(e-1)+x>0, 令h(x)=(x-1)(e-1)+x,h'(x)=xe,…12分 当xe(-o,0)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当xe(0,+oo)时，h'(x)>0, h(x）单调递增，…13分 所以h(x)>h(0）=0.……14分 综上所述，g)=二e-3-1在(-，0)U(0,+o上恒成立.…15分 x(e-1) I7.【详解】(I)m=smA+cos Atan B sin A+cos A sin cos B sin Acos B+cos Asin B sin C+cos Ctan B sin C+cos C sin B sin Ccos B+cos Csin B cos B 数学模拟测试（一）参考答案第3页（共9页) sin(A+B)sin C sin(B+C)sin A' …4分 因为A,B,C成等差数列， 所以2B=A+C, 又因为A+B+C=T, 所以B=行， …5分 又因为A≤B, 所以0<A≤行6分 因为A+B+C=π， 所以s血C=sin(m-4-B)=sin(4+B)=in4+号引， 所以m=sinC sn4+) 2 c0s A 1 3 1 一=2+ …8分 sin A sin A sin A 2 tan A' 当tanA取最大值时，m取得最小值， 因为0<4≤号， 所以(amA)m=lam号=5， 故当A=写时，m取得最小值1.…9分 (2)因为a,b,c成等比数列， 所以b2=ac, …………………t…………………*…*… 10分 由(1)知m=sinC sin A' b 因为ABC 所以m=simC=二>0， …11分 sin Aa 将b=ac代入|a-c|<b<a+c并化简得(a-c)2<ac<(a+c)2, 同除以ac,得g-2+<1<:+2+￡，即1-2+m<1<1+2+m, a a m m m2-3m+1<0, 所以 …12分 m2+m+1>0, 数学模拟测试（一）参考答案第4页（共9页) 解得3,5<m<3+5 2， 13分 2 又因为A≤B, 所以a≤b,即a≤√ac,解得C≥l, ………………………… 14分 a 故m的取值范围为1,3之 …15分 18.【详解】不妨设点M在第一象限，点N在第四象限， (1)离心率e=C=2,① ……… …1分 当=e时，y=±所以N=2=6，即=3,2 …2分 又因为c2=a2+b2, …3分 a=1, 解得b=√5， …4分 lc=2, 所以双曲线C的标准方程为x2- 31. …5分 (2)由(1)得F,(2,0), 当直线MW斜率为0时，直线MW与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合 条件； ………6分 当直线MW斜率不为0时，设直线MN为x=y+2,M(x1,y1),N(x2,y2), x=ly +2, 联立 化简得(32-1)y2+12y+9=0, -12t 9 +232-斤，yh32- …7分 32-1≠0， 由题意得 =36r+36>0,解得0≤<分 …8分 9 bh3-1<0, |F.NF,=+F.x·V+F.l=-(1+e),=-9+2- 32-1 -3+ 12 1-32 …10分 数学模拟测试（一）参考答案第5页（共9页) 因为0≤r<分， 12 所以0<1-30≤1，故，37≥12， 所以-3+39， 所以MF2|·|NF2的最小值为9. 11分 (3)如图3，设⊙P与边MW切于点E, 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， 2IME=IMFI+MNI -INFI=MF+MF2I+ INF,-NF=(2+MF,)+MF2-(NF- NF2)=2+MF2+MF2-2=2MF2, 所以点F2与点E重合，即OP与边MN切于点F, …13分 设⊙P与边F,M切于点G, 所以|GF,|=|MFI-|MG=|MF,I-|MF2|=2, 图3 在直角三角形PGF,中，|PF2=|PG2+|GF,2=|PF212+GF2=|PF22+4, 设点P(,yo),点Q(x,), 则(x0+2)2+y6=(x0-2)2+6+4, 解得x=立， 1 所以点P在直线x=乃上， …14分 过点Q(,⅓)作直线x=的垂线，交直线x=?于点刀， Q_(x-2)+(-2)2+3(-1) 其中Q 2x3-2 .…15分 1 -2 X3-2 设点Q关于x=)的对称点为点D, 所以|QF2|=2|QT=QD. 因为点Q与点D,点A与点E,分别关于直线x=对称， 所以DA=IQF2|=|QDl,IPA|=PF2|且PQ|=|PD|,所以点A,D,Q均在 ⊙P上，且∠APD=∠DPQ=∠QP℉2，…16分 数学模拟测试（一）参考答案第6页（共9页) 所以∠APQ=2∠F,PQ. …17分 19.【详解】(1)设事件A,表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件B,表示“乙社区的 参赛选手都是女生”，事件A2表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件B2表示 “乙社区的参赛选手都是男生”， 则P(A)=P(A2)= C;3 C3 5 …1分 所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况：都是男生或者都是女生，即 A:B UA2B2. …2分 因为A,∩A2=⑦， 所以AB,∩AB2=☑，即事件AB,与AB2互斥， 易知事件A1与B,相互独立，事件A2与B2相互独立，…3分 所以所求事件的率P=PAB,UAA,)=P(A,)P(B)+PA,)P(R,)=写× 3 1513 5×14=40 …5分 (2)()方法一：因为甲社区中男生和女生都认识，因此An(m)=(C)2·A%= (n!)2 …6分 [(n-m)！]2·m! 当2≤m≤n-1时，An-1(m)=(C”-1)2·A然= [(n-1)]2 [(n-m-1)！]2·m! An-1(m-1)=(C)2·A0= [(n-1)!]2 [(n-m)!]2·(m-1)！ …7分 n2 观察结构，运算得An（m)=一 [(n-1)！]2 (n-m)2m[(n-m-1)!]2·(m-1)! [(n-1)]21 [(n-1)1]2 A(m）=n-m-1),m1m‘T(n-m-1)·(m-1)1 [(n-1)!]2 「(n-1)]2 Am-1)=n-m:(m-）1(n-m2‘[(n-m-)j2:(m-1) …8分 因为1+(2n-m）· 1 m 2≥=n-m）+（2n-m）·m=”-2mm+m+2nm (n-m)'m （n-m)m …9分 (n-m)'m [(n-1)]2 两边同时乘以(n-m-,m- 得An(m)=An-(m)+(2n-m)An-1(m-1). ……10分 数学模拟测试（一）参考答案第7页（共9页) 方法二：因为甲社区中男生和女生都认识，因此A,（m)=(Cm)2·A%= (n!)2 [(n-m)！]2·m! …6分 An(m)表示甲社区从n个女孩和n个男孩选出m队，考虑甲社区中的女生X和男 生Y,可以分成以下四种情况： ①女生X和男生Y都没被选上，此时剩下n-1个男生和n-1个女生，从中选出 m队，共有An-1(m)种选法； …7分 ②女生X选上了，男生Y没被选上，第一步，从除女生X和男生Y外的n-1个男 生和n-1个女生中选出m-1队，共有An-1（m-1)种选法；第二步，男生还剩下 n-m+1人，排除男生Y,选一个男生和女生X组队，共有n-m种选法，因此② 共有(n-m)An-1(m-1)种选法； ③女生X没选上，男生Y选上了，情况与②类似，共有(n-m)An-1(m-1)种选 法； …8分 ④女生X和男生Y都被选上，若女生X和男生Y组队，此时剩下n-1个男生和 n-1个女生，从中选出m-1队，共有An-,(m-1)种选法，若女生X不和男生Y 组队，可以把她的搭档和男生Y互换，此时可以等价看作女生X和男生Y组队， 他们对应的搭档组队，共有(m-1)An-1(m-1)种，因此④共有m4n-1（m-1)种选 法； …9分 综上所述，An(m)=An-1(m)+2(n-m)An-1(m-1)+mMn-1（m-1)=An-1(m)+ (2n-m)An-1（m-1).…10分 (ii)下面考虑Bn(m)的递推关系式， 当2≤m≤n-1时，考虑乙社区中的女生gn,有以下两种情况： ①当女生gn被选中时，其余m-1队共有Bn-1(m-1)种不同选法，gn可在余下 (2n-1)-(m-1)=2n-m个男生中任选一人，有2n-m种选法，因此由乘法计 数原理可知，共有(2n-m)Bn-1(m-1)种选法； ②当女生gn没被选中时，此时从g1,g2,…,gm-1选出m个女生，从b1,b2,…, b2m-3选出m个男生组队，共有Bn-1(m)种选法； 所以，当2≤m≤n-1时，Bn(m)=Bn-1(m)+(2n-m)Bn-1(m-1),…12分 当m=n时，由前述分析得Bn(n)=nB。-1(n-1),…13分 由(i)可知A.(m)满足相同的递推公式.(m）=A(m)+(2n-m)A4(m-1) [A,(n)=nA-1(n-1), 因为A.(1)=m2,B,(1）=1+3+…+(2n-1)=1+2n-D=m2=A,(1), 2 数学模拟测试（一）参考答案第8页（共9页) A2(2)=2=B2(2), 所以An（m)和Bn（m)有相同的递推关系和初始值，…14分 所以对任意n∈N*和m=1,2,…,n,均有An(m)=Bn(m).…15分 所以An(m)=(C)2·A%, 设乙社区中各选m个男生和m个女生，男、女组成m队，共有2(m)种情况， 则2(m）=C·C2n-1·A …16分 因此满足组队要求的概率P= B,(m）_A,(m）。(C)2·Ag=C= 2(m)-2(m)-C·C-1·Ag n!(2n-1-m)！ (n-m)！(2n-1)! 17分 数学模拟测试（一）参考答案第9页（共9页)★启用前注意保密 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一) 数学 本试卷共5页，19题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自已所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场 号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的 “条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目 选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答 案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑， 1.已知集合A={2,a},B={-2,b},若A=B,则a+b= A.-2 B.0 C.2 D.4 2.在(1-x)4+（1-x)5的展开式中，含x2的项的系数是 A.-4 B.4 C.-16 D.16 3.已知i为虚数单位，复数z=(cos75°+isin75)(cos15°+isin15),则lz= A.1 B.√2 C.2 D.√6 4.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=√5x的图象上，则 这个正三角形的边长为 A.√5 B.3 C.25 D.6 5.已知数据x1,x2,3的平均数为1，方差为2，则数据x1,x2,x1,2x1-1,2x2-1, 2x3-1的方差为 A.4 B.5 C.6 D.7 数学模拟测试（一)第1页（共5页) 架 扫描全能王创建 6.已知右图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构 成)、九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中 任选互不相同的三个点A,B,C,则AB·AC的最大值为 A.12 B.13 C.15 D.18 7、如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，P为正方形 D BCC,B,的中心，Q为棱DD1的中点，过点A,P,Q的平面 将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为 A.16 B.18 c. D.24 8.已知曲线C:(x2-y)·32-y=81,则曲线C上的点到原点距离的最小值为 A.0 B.2 C.22 D.√/22 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列四个函数中，以2π为最小正周期， 且在区间（受，上单调递减的是 A.y=-sinx B.y=1+cosx C.y=-tanx D.y=cos2 10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件A,B 存在如下关系：P(AB)=P)PBA),张同学每天的运动计划包括两种主要方 P(B) 式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为子，选择户外运 动的概率为子如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为 之：如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为子 则张同学 A第二天去室内健身的概率为} B.第二天去户外运动的概率为号 。若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为号 D。若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为是 数学模拟测试（一）第2页（共5页） 架 扫描全能王创建 11.在半径为定值的球O的表面上有四个不共面的点A,B,C,D,且AB为球O的直 径，已知∠AOC和∠COD的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体ABCD存 在的情况下，使得四面体ABCD体积有唯一值的条件可以是 A.AD的长 B.∠BCD的大小 C.CD与平面ABC所成角的大小 D.二面角C-AB-D的大小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上， 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=3,则S,= 13.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月 牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点 0和点C,月牙尖的坐标分别为A(-1,2),B(2,-1),则圆C 的标准方程为 14.如图，0为坐标原点，F,P,为椭圆C:￥+y=1的两个焦点，过F1,F,分别 作椭圆C的切线l的垂线，垂足分别为H1,H2.当OH1⊥OH2时，△OHH2的面积 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19 题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题 卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效 15.（本小题满分13分) 如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD= LFAB=90°，AD=2B元，A庐=2B2! (1)求证：C,D,E,F四点共面； (2)设AB=2,BC=BE=1,求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值， 数学模拟测试（一）第3页（共5页） 扫描全能王创建 16.(本小题满分15分) 设函数f(x)=e-a,已知x=0是函数y=f(x)的极值点. (1)求a的值； (2)设函数6)：产得，证明：g>-1 17.（本小题满分15分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A≤B,记m=s加A+Atan B sin C+cos Ctan B (1)若A,B,C成等差数列，求m的最小值； (2)若a,b,c成等比数列，求m的取值范围. 18.（本小题满分17分) 设双曲线C:等-(a,b>0的离心率为2，其左、右焦点分别是R,P,过 F2的直线l与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x轴垂直时，|MW|=6. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求MF2·NF2的最小值； (3)记△F,MW的内切圆⊙P与双曲线C的一个公共点为Q,双曲线C的左顶点为 A,证明：∠APQ=2∠F2PQ. 数学模拟测试（一）第4页（共5页) 器 6球 扫描全能王创建 19.（本小题满分17分) 甲社区有n个女生和n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有n个女生 B1,g2,…,gn和2n-1个男生b1,b2,…,b2m-1,其中女生g:(i=1,2,…,n) 认识男生b(G=1,2,…,2i-1),但不认识其他男生.现从甲社区和乙社区分别 选出m(m=1,2,…,n)队选手参加社区比赛，每队选手均为2人. (1)若n=3,m=1,求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； (2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区 选出的m队的不同的选法种数为A.(m)和Bn(m). (i)求An(m),并证明：当2≤m≤n-1时，An(m)=An-1(m)+(2n-m)An-1(m-1) 三者之间的递推公式，并说明理由； ()若乙社区将选出的m个男生和m个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果 满足参赛要求的概率. 数学模拟测试（一）第5页(（共5页） 器 扫描全能王创建