专题6 类型4 曲线型瓜豆&类型5 定角定高与最大张角辅助圆&类型6 阿氏圆-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

一战成名目 类型4曲线型瓜豆 考法①共线型 针对练习” 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点M是⊙B上一点，点A是一定点，点N在AM 问题 AC=5,BC=12,D是以点A为圆心，3 上，AN=kAM(0<k<1),画出点N的轨迹 为半径的圆上一点，连接BD,M是BD 媒介A 媒介A 豆心C 的中点，则CM的最小值为() 作图 豆W 瓜心B 瓜M 瓜心B -瓜M 构造△ANC∽△AMB,得C是定，点，CN=kBM, A.3 B.4C.5 D.6 依据 得点N在以C为圆心，kBM长为半径的圆上 考法②等线夹角型（全等） 2.[2024宜宾]如图，在△ABC中，AB= 点M是⊙B上的动，点，点M绕，点A旋转a得 问题 ,点N,在图中画出点N的轨迹 3√2，AC=2,以BC为边作Rt△BCD, BC=BD,点D与点A在BC的两侧，则 媒介A 媒介A AD的最大值为 豆心C 专题六 作图 瓜M 瓜M 豆.N 豆N 瓜心B 瓜心B D 连接AB,将AB绕点A同向旋转a得AC,则 A.2+32 B.6+22 线型（圆）最值 依据 △AMB≌△ANC,得点N在以C为圆心，BM长 C.5 D.8 为半径的圆上 考法3比例线段夹角型（相似） ,点M是⊙B上的动，点，∠MAN=,AN=kAM,在 3.多解法[2024日照改编]如图，AB为 问题 ⊙0的直径，AB=12,C是⊙0上异 图中画出，点N的轨迹 于A,B的一点，连接AC,BC,过点A作 媒介A 媒介A 射线ADLAC,D为射线AD上一点，连 瓜M 收N 瓜M 接CD.若在点C运动过程中，始终有 作图 tan∠ADC=√3，连接OD,则OD的取值 瓜心B 瓜心B 范围是 连接AB,作∠BAC=∠MAN=,AC=MB,得 依据 △AMB∽△ANC,得NC=kMB,得点N在以C 为圆心，kBM长为半径的圆上 52 中考能力必备·数学 一战成名目 类型5定角定高与最大张角辅助圆 类型 图示与作图 思路说明 定角：∠BAC=a 作△ABC的外接圆O, 定高：AD⊥BC,AD=h 过程分析 最值图形 设半径为t,则ON= 定角 A rcosa,BC 2CN 定高 2rsina.r+ON =r 1 辅助圆 cosa)≥AN≥AD,从而 B 当A,0,D三点共线时r 本质：△ABC的外接圆半径最小 最小，BC最小 已知AB=a为定长 作△ABP的外接圆O,当 在KN上确定一点P ⊙O和直线KN相交时， 最大 使得∠APB最大 过程分析 最值图形 必然在⊙0内有一点P， 张角 使得∠AP'B>∠APB;当 辅助圆 ⊙0和直线KN相切时， B 、aB ∠APB最大 针对练习 1.一成名原创如图，在△ABC中，∠ABC=120°，BD⊥AC于点D,BD=3,则AC的最小值是() A.5 B.63 C.9√3 D.183 专题六 D B D 第1题图 第2题图 第3题图 线型 2.[2024扬州]如图，已知两条平行线11，l2,点A是11上的定点，AB⊥12于点B,点C,D分别是11，l2 上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时， sin∠BAH的值为 3.多解法[2024宜宾]如图，正方形ABCD的边长为1，M,N是边BC,CD上的动点.若∠MAN=45°， 则MN的最小值为 4.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在AD上，连接BP,CP,则sin∠BPC的最大值为 第4题图 第5题图 5.[2025陕西改编]如图，在△ABC中，AB=12,AC=BC=18,MN为△ABC的中位线，点0为MN上一 点.当∠B0C最大时，MO= 中考能力必备·数学 53 一战成名目 类型6阿氏圆 问题 图示 总结 ⊙0的半径为r,点A,B是圆 外两定点，P为圆上动点，且 构造相似，将kPB转 化为PC,两点之间 DB=k,在图中画出PA+kPB 线段最短定最值 最小时P点的位置 在OB上截取OC=kr,构造与△OBP相似 的△OPC,则PA+PB=PA+PC≥AC 针对练习 1.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点，点P是扇形EAF的EF上任意 一点，连接BP,CP,则2BP+CP的最小值是 E ≥B 第1题图 变式题图 变式[2025龙东地区]如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7,BC=9,点M是△ABC内部一点， 专题六 连接AM,BM,CM,若CM=3,则AM+BM的最小值为· 曲 2如图，菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，OB的半径为4，点P是OB上的-个动点，则PD-2PC 线型 的最大值为 )最值 B 第2题图 备用图 3.成原创如图，AB为⊙O的直径，过点A作AC⊥AB,使得AC=AB,连接BC交⊙O于点D,延 长BA至，点N,使得AC=3AN,连接CN,点P为AD上一个动点，连接PN,PC.若AB=6,则PC+ √5PW的最小值为 D D 第3题图 备用图 54 中考能力必备·数学类型4曲线型瓜豆 1.C【解析】如解图，取AB的中点O,连接OM,AD,CO,.M 是m的中点，0W是△4D的中位线，0W=子4D, 3 .AD=3,∴.OM= 之M点在以0为圆心，亏为半径的圆 上，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,.AB=13,.C0= 2,:C0-0M≤CM,CM的最小值为133 1 225 第1题解图 第2题解图 2.D【解析】如解图，将BA绕点B顺时针旋转90°得BA',连 接A'D,则△ABC≌△A'BD(SAS),·.A'D=AC=2,A'B= AB=3√2，.AA'=√2AB=6,由题意得，点C在以A为圆 心，AC长为半径的圆上运动，点D在以A'为圆心，A'D长为 半径的圆上运动，.当A,A',D共线时，AD最大，此时AD三 A4'+A'D=6+2=8. 3.25≤0D≤6√5【解析】解法一：如解图①，过点A作 AG⊥AB,连接OG,且∠AOG=30°，连接DG,OC. m∠A0=6,40LhC6-5.∠A0G=0,4c 4885062c40=∠6=0 ∠CAD-∠CAG=∠GAB-∠CAG,.∠DAG=∠CAB, △4GD△A0C,0%-A6=BAB=2,0A=0C 6,.DG=2√3，.点D在以点G为圆心，2√3为半径的圆 上.0A=6,∠GA0=90°，∠A0G=30°，.0G=45,.0D 的最小值为OG-DG=2√3，OD的最大值为OG+DG= 63,.23≤0D≤63. 第3题解图① 多解法。 解法二：如解图②，过点A作射线AF⊥AB,作射线OF满 足∠A0F=60°，射线AF与OF交于点F,连接OC,CF,在 Rt△AOF中，AF=OA·tan60°=√3OA,,:tan∠ADC= AC=AD,AD=O AC AF =V3,·∠DAC=∠OAF= 90°，∴.∠DAC+∠CAO=∠OAF+∠CAO,即∠DA0= ∠CAF,∴.△CAF∽△DAO,∴ 004D5,即fC=50m. FC AC 中考能力义 一战成名目 在R1△A0F中，0A=6,AF=30A=65,.0F= √OA+AF=12,又：OF-0C≤CF≤0F+0C,.6≤CF≤ 18,.23≤0D≤65. 第3题解图② 类型5定角定高与最大张角辅助圆 1.B【解析】如解图，作△ABC的外接圆⊙0，连接OA, 0B,0C,过点0作OH⊥AC于点H,∠ABC=120°， ∠A0C=2(180°-∠ABC)=120°，∴.∠A0H=60°，设⊙0的 半径为，则0H=乞，4C=2A=5,又：0B≥0H+ BD,r≥2+3，解得r≥6，AC=5r≥6,5AC的最小 值为63. 参考答案与重 B D 第1题解图 第2题解图 题解 1 2. 【解析】如解图，连接BC,AD,.·AC∥BD,AC=BD,.四 边形ACBD是平行四边形，AB=B=B,:A为定 点，且AB⊥L2,.AE为定值，：BH⊥CD,.∠BHE= 90°，.点H在以BE为直径的⊙0上运动，此时OE= 137 1 8了0A,当AH与⊙0相切时∠BAH最大 3 sin∠BAh=OH、1 0A3 3.22-2【解析】解法一：如解图①，延长CD到点G,使 DG=BM,连接AG.四边形ABCD为正方形，.AB=AD, ∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∴.∠ADG=∠ADC=90°，. ∠ABM=∠ADG,又.·BM=DG,.△ABM≌△ADG,. ∠BAM=∠DAG,AM=AG,∠MAW=45°，.∠BAM+ ∠DAN=45°，..∠DAG+∠DAN=45°，即∠GAN=45°，在 AG=AM. △GAN和△MAW中，∠GAN=∠MAW,.△GAN≌△MAW AN=AN, (SAS),∴GN=MN.要求MW的最小值，即求GW的最小 值，作△AGN的外接圆⊙0，连接OA,ON,OG,过点0作 OE⊥GN于点E,则∠GOW=2∠GAN=90°，∴.OE= 2CN.GN=20G=20A.OE+0AAD=1.2GN+ 备·数学 137 一战成名 2CN≥1GN≥22-2，即MW的最小值为2V2-2 D G 第3题解图① 第3题解图② 多解法 解法二：如解图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得 △ABG,则G、B、M三点共线.由旋转可得∠DAN= ∠BAG,AN=AG.∠MAN=45°，.∠DAN+∠BAM= 45°，..∠MAG=∠MAB+∠BAG=45°=∠MAN,.·AM= AM△AGM≌△AM+Sam=Saw=G AB=弓MN,要使MN最小，只寄S+Sam最小，即四边 参考答案与 形AMCW的面积最大.分别过A、C两点作AE⊥MW于点 E,CF⊥MN于点F,连接AC交MN于点Q,Sg形Awcw= Sm+5cw=4E:MN4CP.MN≤4C~AN,当且 题解 仅当E、Q、F为同一个点时，四边形AMCW的面积最大，此 时易得CM=CV,DN=BM=BG,.MG=2MB,设CM= CW=x,则MB=1-x,.MW=MG=2(1-x),.√2x=2(1- x),解得x=2-√万，MW的最小值为22-2. 45 【解析】如解图，作一个经过点B,C且和AD相切的 圆，切点为P',连接BP',CP',令CP与圆交于点G,连接 138 BG..·∠BGC=∠BPC+∠PBG,.·.∠BPC≤∠BGC= ∠BP'C,当P,G两点重合时取等号，此时∠BPC最大，点P 为AD的中点，即为点P',.BP'=CP',过点B作BH⊥CP 于点H.:四边形ABCD是边长为4的正方形，.AD=AB= 4,.AP'=2,在Rt△AP'B中，由勾股定理，得BP= VAB tAP225.S= CA,即×25BH=子×4×4，解得6m=8 85 .sin∠BP'C= BP 2行，放m∠0C的最大值为号 BH_5-4 第4题解图 138 中考能力 5.7【解析】如解图，作△BOC的外接圆⊙T,当且仅当⊙T 与MW相切时，∠BOC的值最大，∠BO'C=∠BFC= ∠BOC+∠OBF,故∠BO'C=∠BFC>∠BOC.连接CM,作 MK⊥BC于点K,O'L⊥BC于点L,连接O'T,LT,·⊙T与 MW相切于点O',.∠M0'T=90°，0'L⊥BC于点L,. ∠BL0'=90°，.MW∥BC,∴.∠M0'L=90°.故O',L,T三点 共线，.∠BLT=180°-∠BL0'=90°，则BC⊥LT,MK⊥ BC,.四边形MKLO'是矩形，.MO=KL..BL= 1 CAB=12,M是AB的中点，AC=BC,MB=) 6,CH上Am∠Ac-g做-影即g8Bk= BM BC 2,M0'=K=BL-BK=BC-BK=9-2=7,即M0=☑ 0 B色 第5题解图 类型6阿氏圆 1.√I7【解析】如解图，连接AP,·AB=AC=4,E,F分别是 AB,AC的中点，点P在扇形EAF的EF上，.AP=AE=AF= 2,在AB上取一点1，使得A=子P=1,连接Pm,c7 g北∠PAT=∠BMP,APIT△BA,Q PT AP 1 1 1 Bp2=BPCP=PT+CP. Rt△ACT中，∠CAT=90°，AT=1,AC=4,.CT= VT+C=万，：PC+T≥C,之PB+PC≥ B+CP的最小值为7. /7,2 第1题解图 变式5√2【解析】如解图，在BC上取点G,使CG=1,连 、接AG.MG,又BC=9,CM=3Sg=子，又∠McG= ∠MCB,.△MCG△BCM,. MG CG 1 BMCM=3 MG 3BMAM+3BM=AM+MG≥AG,AG=√AC+CC= 备·数学 52,.AM+BM≥52，即当M在AG上时，AM+BM取 最小值为52. 人 B G 变式题解图 2.2√37【解析】如解图，连接PB,在BC上取一点G,使得 BG=2,连接PG,DG,过点D作DH⊥BC交BC的延长线于 PB CB 点H.PB=4,BG=2,BC=8,BCBP”∠PBG PG PB 1 ∠CBP,.△PBG△CBP, CPCBF2,·PG= =PDPG≤c的最大值 即为DG的值，·四边形ABCD是菱形，.AB∥CD,AB= CD=BC=8,.∠DCH=∠ABC=60°，CG=BC-BG=6,在 Rt△CDH中，CH=CD·cos60°=4，DH=CD·sin60°= 43,..CH CG+CH=6+4=10,..DG=CH+DH= V10+(4B)=2V3PD2PC的最大值为2v57. -H 第2题解图 3.2√26【解析】如解图，连接0P,0C,在0C上截取0M使 中考能力义 一战成名目 得OP=√50M,连接MW,:AB=AC=6,AC=3AN,.AN= 2.0p=01=寸4a=30N=5,0N=25:4C1在 Rt△A0C中，0C=√OA+AC=3W5,在△0MP和△0PC 中.∠N0P=oc,8G-80=5,a0p △0pC, 0pP元=5Mp=5, OMMP√5 5 PC.PC+5PN= 5(5PG+PN)=5(PW+PN),当P,M,N三点共线时， PM+PW取得最小值，最小值为MW的长.过点W作NE⊥ 0c于点E,在△00N中，Sm=0N·AC=号N·0c= 2 之×5x6=EN×35=15.解特2y=25,在m△B0N 中，由勾股定理可得OE=√ON2-EW=√5，.EM=OE 0M=53525 5=S,在△EMN中，MN=VE+Er= 2√130 5 .PC+5PN=5(PM+PN)≥5MN=5× 2√/130 5 =2√26，.PC+5PW的最小值为2√26. 参考答案与重难题解 M D 第3题解图 139 必备·数学 139