专题6 类型3 辅助圆（隐圆）最值问题-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

一战成名目 2.B【解析】如解图，连接OE、OD,DE为⊙0的切 线，.OE⊥DE,.∠OED=90°，DE=√OD-OE= √OD-1,当OD最小时，DE最小，当0D⊥AB时，OD最 短，在Rt△ABC中，：∠ACB=90°，AC=8,AB=10,BC= √102-8=6，.B0=5.∠BD0=∠BCA,∠0BD= ∠6c△B00△aC,20即0高解药 0D=4,.DE的最小值为√4-1=√15 V=- B D LFE H A 第2题解图 第3题解图 3n:7》 【解析】如解图，连接AM,AN,设直线y=x 考答 1分别交x轴，y轴于点L,H,:PM与⊙A相切于点M,PN 与⊙A相切于点N,⊙A的圆心为(0,2)，半径为5， PM⊥AM,PM=PN,AM=AN=√3，∴.∠AMP=90°，∴.PM= 难 √PA2-(5)2=√PA-3,.当AP的值最小时，则PM的值 最小，点P、点A都在线段MN的垂直平分线上，.PA垂 析 直平分W..Smwwww=S6am+S6m心之PA·kN= 2 EPM+2X5PN=5PM,PA·MN=25PM,当PM 最小时，PA·MW的值最小.直线y=x-1中，当x=0时， y=-1,当y=0时，x=1,.L(1,0),H(0,-1),∴.0L=0H= 134 1,取点E(2,0),连接AE交直线y=x-1于点1，则0E= OA=2,.AH=OA+OH=3,.∠HOL=∠AOE=90°，. ∠OHL=∠0LH=∠ILE=∠OEA=∠OAE=45°，.∠AMH= ∠EH=90°，A1=HⅢ，E1=LL,:AH=√A+Hr=2A1=3,Al= 32 HL,点P在直线L上心PA≥A,一当点 重合时，PA的值最小，此时PM的值最小，PA·MN的值最 小州-：望m 2-3-6 W2 PA·MN 23x6 =32,.PA·MN的最小值为32，作F1x轴于点 R,L=2-1=1.F=F=BF=之L=子0F=I+3 三.即P2 类型3辅助圆（隐圆）最值问题 考法1利用圆定义一定点定长辅助圆 1B【解析】如解图，AB=AC=AD,.点B,C,D在以点A 为圆心，以AB长为半径的圆上，∠CAD=2∠CBD,∠BAC= 134 中考能力义 2∠BDC.∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，.∠CAD= 2∠BAC=88°. D 第1题解图 22n+ 【解析】如解图，作AC的中点Q.连接PQ,作以Q 为圆心，PQ长为半径的圆.P是CD的中点，Q是AC的 中点P0是△ACD的中位线P0=4D=子线段 AD绕点A旋转时，点P在以Q为圆心，PQ长为半径的圆 上移动，∴.当BP经过点Q时BP的值最大，连接BQ并延 长交⊙Q于点P',点P'即为所求，此时BP的最大值为BP 的长8C=2,m∠4C=之4C=4.A0=C0 2..·BQ=BC+CQ=8,.BQ=2√2（负数已舍去）..BP 的最大值为22+2 1 D C B E(FMH 第2题解图 第3题解图 A号【解析]如解图，连接AB,BE,过点B作B'HLBC宇 点H,点B关于直线AE的对称点为B,,点B在以A为 圆心，AB长为半径的圆上移动，BE=B'E,∠AEB= ∠AEB',∠ABE=∠AB'E=90°，当DF⊥AB时，BF有最大 值，∴.∠ABF=∠AB'E=90°，点E与点F重合，AD∥ BC,∴.∠DAE=∠AEB=∠AEB',.DE=AD=10,∴.CE= √DE-CD=6,BE=4=B'E,B'H⊥BC,DC⊥BC, B'H/CD,△EB'H~△EDC,EE-BH4 ED=DC 10 m-台当n银大时点公到C的离是号 4.83【解析】：OM是AC的垂直平分线，.∠A= ∠OCA,:C0平分∠ACB,:∠OCA=∠OCB,.∠AC0= ∠BC0=∠A,∠B=90°，.∠AC0=∠BC0=∠A=30°，在 △8C,A8=6:4C=0=45Aw=25 OM=AM·tan30°=2，如解图①，过点M作MH⊥A'C'于点 H,过点O作OW⊥A'C于点N,连接MW,:在△AOC旋转 的过程中，对应边AC=A'C'=43,对应高0M=0W=2,在 备·数学 Rt△MHW中，MH<MN,在△OMN中，MWN<OM+ON,∴.MH< MN<OM+ON,如解图②，当N,H重合时，MH取最大值，此 时最大值为0N+0N=4,Sc=子CM=85,即 △A'MC面积最大值是8√5. M N(H) C 图① 图② 第4题解图 6 【解析】：正方形纸片ABCD的边长为4，AB=BE. AE=BE=2AB=2,由折叠的性质可知，A,E=AE=2,当 点N在线段MD上运动时，点A,在以E为圆心，半径为2 的圆弧上运动.如解图，当点N与点D重合时，A,D=AD= 4,DA,⊥AE,此时DA,取最大值，过点A,作AB的垂线，交 AB于点P,交CD于点G,则四边形APGD为矩形，由一线 三垂直得△DG4,∽△4，PE,6-C-4-号=2，设 A P PE AE 2 PE=x,AP=y,则CA1=2x,DG=2y,· 2x+y=4,解得 (2+x=2y, 6 5 .DG=2y y=,即当DA,取最大值时，A,到直线 8 AD的距离为 16 D(N) M B 第5题解图 6.解：如解图，将△PDC绕点P逆时针旋转， .点D在以点P为圆心，PD长为半径的圆上运动。 D 第6题解图 A为⊙P外一个定点， .当AD与⊙P相切时，∠DAP最大， 此时PD⊥AD,.AD=AP2-PD, ·四边形ABCD是矩形，.∠EAD=∠ADF=90, .EF⊥AB,.∠AEF=90°， 中考能力 一战成名目 .四边形AEFD为矩形，.AE=DF. .·PE=8,PF=5 .AD2=AP2-PD2=PE2+AE2-PF2-DP=82-52=39, .AD=39 考法2利用“圆周角定理”—定角定弦辅助圆 1.42-4【解析】：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC= 90°，AB=4,∴.∠BCA=∠BAC=45°，AB=BC=4,AC= 46-9-反A0=竖c得= AB 4 2 AB 又LEC1=∠DAB=45P,△CAE∽△AB ∠CAE=∠ABD,∴.∠BFE=∠BAF+∠ABD=∠BAF+ ∠CAE=∠BAC=45°，.∠AFB=180°-∠BFE=180°-45°= 135.如解图，以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰 Rt△OAB,作△OAB的外接圆⊙O,过点O作OK⊥AB于 K,OK的延长线交⊙0于H,连接AH,BH,则点F在AB上 运动，：AB为定值，.当点F与点H重合时，点F到AB的 距离最大，此时△ABF的面积最大，最大值为△ABH的面 积根据等腰直角三角形的性质得AK=成=了极=2， ∠A0H=45°，.AK=0K=2,.0A=0H=22,.KH=0H- 考 0k=2万-25m=74B.kM=×4x(22-2=4n 案与 4,即△ABF面积的最大值为42-4. 题解 B E 第1题解图 2.A【解析】如解图，在BE的上方作△OEB,使得OE= 135 OB,∠E0B=120°，连接0D,过点0分别作0Q⊥BE于点 Q,OJLAD于点人∠BPE=)∠E0B,一点P的运动轨 迹是以O为圆心，OE长为半径的⊙0在矩形ABCD内的部 分，∴当点P落在线段OD上时，PD的值最小，四边形 ABCD是矩形，.∠A=90°，AB=3√5，AE:EB=1:2, BE=2W3,.OE=OB,∠EOB=120°，OQ⊥EB,∴.EQ=BQ= √3，∠E0Q=∠B0Q=60°，.0Q=1,0E=2,0J⊥AD, 0Q⊥AB,∠A=∠A0=∠AQ0=90°，.四边形AQ0J是 矩形，.AJ=0Q=1,J0=AQ=25,AD=5,.DJ=AD- AJ=4,.0D=√D+0了=√42+(23)2=27，PD小= 0D-0P=27-2. 第2题解图 备·数学 135 一战成名司 323m 【解析】如解图，.·在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对 3 角线AC=6cm,连接BD交AC于J,∠DAC=30°= ∠DCA,AJ=CJ=3cm,.DJ=BJ=AJ·tan30°= √3(cm),AD=AB=BD=2DJ=23(cm),设运动时间为t,则 AM=1,CN=31 AM=L CN=31 AM CN A025'C4=6, AD CA △ADM△CAN,.∠ADM=∠CAN,.∠APM=∠DAP+ ∠ADM=∠DAP+∠CAN=30°，.∠APD=180°-30°= 150°，作等边三角形AD0,以0为圆心，0D为半径作圆，在 圆上取点K,连接AK,DK,.OA=OD=AD=23cm, ∠A00=60,∠AKD=7×60=30∠AKD+∠APD- 180°，.P在⊙0上，且在弧AD上，.在此过程中，点P的 运动路径长为60m×2323m cm 180 3 K 参考答案与重难题解 B 第3题解图 4.2√13+4【解析】如解图，过点C向上作线段CE⊥BC,使 得CE=8,在射线CA1上取一点D,连接AD,DE,.∠ACD= 90°，：△ACD面积为24，AC×CD×7=24,AC×CD= 48,.·BC=6,.BC×CE=6×8=48,即AC×CD=BC× 136 CE CD CE,∴. CA=CB CE L BC.BCE=LACD=90 ∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE,.∠ACB=∠ECD,: CE CA CD CB△CED∽△CAB,.∠EDC=LABC=90,:CE= 8,即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，记CE的中 点为0，即⊙0的半径0D=4,连接0B,并延长与⊙0交于 一点，即为D1,此时BD,为BD的最大值，故BO= √BC+0C2=2√13，∴.BD,=B0+0D,=2√13+4 第4题解图 考法3常见“四点共圆”模型 1.65【解析】∠ABC+∠APC=180°，点A,B,C,P四点 共圆，如解图，取AC的中点O,以点0为圆心，04长为半 136 中考能力必 径画圆，∠ABP=25°，.∠ACP=25°，∠APC= 90°，∴.∠PAC=65. B、 C 第1题解图 第2题解图 2.125【解析】如解图，连接BD,取BD的中点V,连接 CN,AW,AD=AB=6,∠BAD=60°，.△ABD是等边三角 形D=6,之S=AB=93心要使四边形ABCD 的面积最大，只需△BCD的面积最大.·∠BAD+∠BCD= 180°，.A,B,C,D四点共圆，.当CW⊥BD时，△BCD面 积最大，此时BW=DW=3,∠BCD=180°-60°=120°，CW⊥ DLCN=0,N-0=万，此时S :CW=33,一四边形ABCD面积的最大值 35=125. 又N 【解析】：CQ⊥CP,.∠PCQ=∠ACB=90°，∠CPB= ∠A,△CP0△C4B,PC=Cg.PC=C AC-CB4 ,.C0= 3 2PC,一当PC有最大值时，CQ有最大值，∠CPB ∠A,∴.A,C,B,P四点共圆，若PC有最大值，则PC应为直 径，如解图，∠ACB=90°，.AB是圆的直径，.PC=AB= VAC+BC=5,C0的最大值为3x5=5 4 Γ4 B D 第3题解图 第4题解图 4.2√26【解析】如解图，设AD,BC交于点F,过C作CE⊥ AD于点E,.∠ACB=90°，AD⊥BD,.A,B,C,D在以AB 为直径的圆上，：AC=BC,∠ACB=90°，·∠ABC= 45°，AC=AC,.∠ADC=∠ABC=45°，CD=42, CE=ED=4,AD⊥BD,CE⊥AD,∴.BD∥CE,.△BDF ac得80n时m专 3 P号在△CEF和△BDF中.C:VE+EF C=G+r-4厘，2 2√13 3 3 2=2√13，AC=BC, ∠ACB=90°，.AB=2√26. 备·数学一战成名目 类型3辅助圆（隐圆）最值问题 考法①利用圆定义一定点定长辅助圆 类型 定距成圆 等距成圆 旋转成圆 折叠成圆 已知AP=r,画出点 OA=OB=OC= AP绕，点A旋转 将△ABD沿AD折叠 图形 P的轨迹 与描述 A 作图 B 圆心：0点 圆心：A点 圆心：A点 圆心：A,点 说明 半径：r 半径：r 半径：r 半径：AB A,B,C在⊙0上 专 针对练习 1.如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 () A.68 B.88° C.90° D.112 B 线型 (圆)最值 第1题图 第2题图 2.[2024龙东地区]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC= 2,BC=2,AD=1,线段AD绕点A 旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 3.[2023抚顺]如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接 AE,作点B关于直线AE的对称点B',连接DB'并延长交BC于点F.当BF最大时，点B到BC 的距离是 B BL EP而 EF M 第3题图 备用图 48 中考能力必备·数学 一战成名目 4.[2024广西改编]如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点M,0,连 接CO,C0平分∠ACB,将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC',连接A'M,C'M,则△A'MC'面 积的最大值为 D B A M A 第4题图 第5题图 5.[2024德阳改编]如图，在一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4的正方形纸片AB CD,他在边AB和AD上分别取点E和点M,使AE=BE,AM=1,又在线段MD上任取一点N(点N 可与端点重合)，再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA,N,随后连接DA1,则当DA,取最大 值时，A,到直线AD的距离为· 6.[2024连云港改编]如图，在矩形ABCD中，点P为矩形内一点，连接PA,PB,PC,PD,过点P作 EF⊥AB,分别交AB,CD于点E,F.将△PDC绕点P逆时针旋转，发现旋转过程中∠DAP存在最 大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时，求AD的长. D 专题六 C 第6题图 线型（圆）最值 中考能力必备·数学 49 一战成名目 考法②利用“圆周角定理”—定角定弦辅助圆 特征 定长线段AB对的∠APB的度数为定值 锐角型 如60° 直角型 钝角型 如135° P 图形 3 135Q2 90a2 aa B 360°-2a P 圆心和动，点在定线的同侧 圆心和动点在定线的两侧 说明 定线是直径 圆心角等于定角的2倍 圆心角等于360°-2倍定角 “针对练习 1.[2024达州改编]如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4,点D,E分别在AC,BC边上 运动，连接AE,BD交于点F,且始终满足4D= 二CE,则△ABF面积的最大值是 专题六 E E 第1题图 第2题图 AE 1 2如图，在矩形ABCD中，MD=5,AB=35,点E在AB上，EB2,在矩形内找一点P,使得∠BPE= 曲 线型 60°，则线段PD的最小值为 () A.2√7-2 B.2√/13-4 C.4 D.23 最 3.[2025烟台]如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm.点M从点A出发，沿AC方向 以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以W3cm/s的速度向点D运 动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN,DM交于点P.在此过程中，点P的运动 路径长为 cm. B 第3题图 第4题图 4.[2025宜宾]如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,将射线CA绕，点C顺时针旋转90到CA1,在射 线CA1上取一点D,连接AD,使得△ACD面积为24，连接BD,则BD的最大值是 50 中考能力必备·数学 一战成名目 考法③常见“四点共圆”模型 类型 对角互补模型 90°对角互补 “对等角”模型 90“对等角” 四边形ABCD中， 四边形ABCD中， 定线：BC 定线：BC ∠A+∠C=180° ∠B=∠D=90 对等角：∠1=∠2 对等角：∠A=∠D=90 图形 D D D 与描述 A B 作图 B 点A,B,C,D均在 AC是直径，圆心 点A,B,C,D均在 BC是直径，圆心O是BC 说明 ⊙0上 O是AC的中点 ⊙0上 的中点 针对练习 1.如图，在Rt△ABC中，AB=BC,AB⊥BC.P是AC上方任意一点，满足∠APC=90°，连接BP,若 ∠ABP=25°，则∠PAC= o. 专 B B 第1题图 第2题图 线型（圆最值 2.如图，AB=AD=6,∠A=60°，点C在∠DAB内部，且∠A+∠C=180°，则四边形ABCD面积的最大 值为 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,点P为平面内BC左侧一点，且∠CPB=∠A, 过C作CQ⊥CP交PB的延长线于点Q,则CQ的最大值为 B C 第3题图 第4题图 4.如图，四边形ABDC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD⊥BD于点D.若BD=2,CD=4√2，则线段AB 的长为 中考能力必备·数学 51