专题6 类型2 显圆中的线圆最值-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

一战成名目 类型2显圆中的线圆最值 考法①圆上动点到定直线距离最值问题 模型特征：半径为r(定值)的圆上一动点P与定直线m间距离的最值 模型构建（记圆心0到定直线m的距离为d,⊙0半径为r) 类型 图形 作图（及依据） 依据与总结 最大值 最小值 最大P 动，点P 动点P 动点P 线圆 0 +0 相离 最小P 0 m m 依据1：垂线 PQ≤PM≤OM+OP=OM+ PQ≥OQ-OP≥0M-0P,= 段最短 OP=d+r d-r 依据2：三边 最大值 最小值 关系及三点 动，点D 最大P, 动，点P 共线 动，点P 线圆 总结：过圆 相切 心作定直线 Q最小P,(M0m 的垂线与圆 题六 PQ最大=P1M=2r PQt小=P2M=0 相交，近垂 足取最小， △ABP面积最大 四边形APBQ面积最大 远垂足取 动，点P最大P 动，点P最大P 线型 最大 动，点P 线圆 (圆)最值 相交 Bm B m A Bm 动点Q最大Q' 动点Q 当PT与P,M重合时取 PQ为直径且PQ⊥AB(即 最大 PQ与P,Q'重合)时取最大 针对练习 1.一成名原创如图，∠ABC=60°，点O在射线BC上，OB=4,以O为圆心在BC的上方作半径为1 的半圆，点M,N分别是射线BA,半圆O上的动点，连接MN,则MN的最小值为 第1题图 备用图 中考能力必备·数学 45 一战成名目 2.一成名原副如图，AB是⊙0的弦，C是⊙0上一动点，连接AC,BC,若⊙0的半径为5，AB=8, 则点C到AB距离的最大值为 ,△ABC面积的最大值为 0. B 第2题图 备用图 3.如图，在Rt△ABC中，AB=4,BC=2,∠ABC=90°，半径为1的⊙0在斜边AC上滚动，点D是⊙0 上一点，求四边形ABCD面积的最大值， D 0. 第3题图 专题六 线型（圆）最值 考法②经过圆内一点（不是圆心）弦的最值问题 问题 图形 理论基础 结论 作OD⊥MN于D, ,点A是半径 连接OM,则MN= MN的最小值 为r的⊙0 MN的最大值 2MD,MD2 OM- 最小M 内一定点， 动，点M 0D2=r2-0D2, 0A=a,动，点 定 0≤0D2≤0A, D(定，点4A) 最大定点A 最大 M,N均在 ⊙0上，且 .当0D=a时， 动点N MN取最小值：当 最小N MW经过 OD=0时MN取 MN=2P-d MN大=2r 点A 最大值 46 中考能力必备·数学 一战成名目 针对练习 1.[北师九下P106第17题改编]如图，⊙0的半径为10，若0P=8,则经过点P的弦长可能是() A.10 B.6 C.19 D.22 0 P M B 第1题图 第2题图 2.成名原剑如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一动点，连接AC,BC,M,N分别是AB,BC的中点， 连接MN. (1)若MW取得最大值，则点O在线段 上； (2)若AB=8,∠ACB=45°，则MN的最大值为 考法③切线长问题 问题 图形 作图 推理与依据 ,点P是半径为r的⊙O 推理：P02=002-0P2=002- 上一动点，过，点P作⊙0 0 r2,则0Q最小时PQ最小，即 的切线交直线m于Q,点 动点P 动点P 最小P OQ⊥m时PQ最小； O到m的距离为d(d> 专题六 依据：勾股定理转化； r),求PQ的最小值 最小Q交m 垂线段最短 针对练习 1.[2024凉山州]如图，⊙M的圆心为M(4,0),半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作 型 ⊙M的切线，切点为Q,则PQ的最小值为 圆 y1/y=x+4 最值 D 0 0 第1题图 第2题图 2.[2025广东茂名模拟]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=10,点0为BC上的点，⊙0的半 径OC=1,点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE(点E为切点)，则线段DE的最 小值为 () A.32-1 B.√15 C.15-1 D.4 3.在平面直角坐标系中，⊙A的圆心为(0,2)，半径为√5，点P在函数y=x-1的图象上，过点P作 ⊙A的切线，切点分别为M,N,则PA·MW的最小值为 此时点P的坐标为 中考能力必备·数学 47120°，.S前形0D 120m×224 360 3 T E A O B D 第3题解图 4.22+1,22-1【解析】.·CD=1,且CD是绕点C在平面 内旋转，.点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运 动，CA=CB=3,.AB=√2AC=32,在Rt△ABE中， COsL BAE=AE B当cos∠BAE最大时，AB最大，当 cos∠BAE最小时，AE最小.如解图①，当AE与⊙C相切于 点D,且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，连接 CE,LADC=∠CDE=90°，.AD=√AC2-CD= 22,AC=AC,.∠CEA=∠CBA=45°，.DE=CD=1,此 时AE=22+1,即AE的最大值为22+1；如解图②，当AE 与⊙C相切于点D,且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE 最小，同理可得AD=22,DE=1,此时AE=22-1,即AE 的最小值为2√2-1. 图① 图② 第4题解图 5.解：如解图，连接OP,OM,交⊙M于点P' 点M的坐标为(3,4)， .0M=√32+4=5， .'PA⊥PB,.∠APB=90 .点A和点P关于原点对称。 0 B .A0=B0,.AB=2P0, 第5题解图 若要使AB短，则OP需取得最小值， 当点P位于P'位置时，OP取得最小值 .0M=5,MP'=2,.0P'=3,.0A=3, ..点A的坐标为(-3,0). 类型2显圆中的线圆最值 考法1圆上动点到定直线距离最值问题 1.25-1【解析】如解图，过点0作 OM⊥BA于点M,交半圆O于点 N,此时MW最小，MN的最小值为 OM-ON=0B.sinB-ON=23-1. 2.8,32【解析】如解图，过点0作 第1题解图 OD⊥AB于点D,延长D0交⊙0于点C1,连接OA,AC1, BCA0=之B=4,在R△A0D中，0D=A0-A0- 3,.C,D=8,点C到AB距离的最大值为8，△ABC面积 中考能力 一战成名目 的最大值为)AB·CD=1x8x8=32 2 C D 第2题解图 3.解：如解图，在Rt△ABC中 E 第3题解图 ·AB=4,BC=2,∠ABC=90°， 1 ÷Sac=2AB:BC=4,AC=√AB+BC=25, Sg边形BCD=S△ABc+S△ACD=4+SAACD, .当△ACD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大 ·⊙O在斜边AC上滚动，点D是⊙O上一点， .当过点D的直径DE⊥AC时，DE最大，即△ACD的面积 最大，此时DE=2, 1 Saa大=2AC.DE=2,5, 参考答案与重 ∴.四边形ABCD面积的最大值为4+25. 考法2经过圆内一点（不是圆心）弦的最值问题 L.C【解析】如解图，过点P作CE⊥OP交⊙0于点C,E,连 解 接0C,由勾股定理得，CP=√OC2-OP=6,则CE=2CP= 析 12,.过点P的最短的弦长为12，⊙0的半径为10， .⊙0的直径为20，即过点P的最长的弦长为20，.12≤ 过点P的弦长≤20. 0 133 E 第1题解图 2.(1)AC:(2)42 考法3切线长问题 12万【解析】如解图，连接MP、MQ,:PQ是⊙M的切 线，.MQ⊥PQ,.PQ=√PM2-MQ=√PM-4,当PM最 小时，PQ最小，当PM⊥AB时，PM最小，直线y=x+4与x 轴的交点A的坐标为(-4,0)，与y轴的交点B的坐标为 (0,4),.0A=OB=4,..∠BA0=45°，AM=8,当PM⊥AB 时，PM=AM·sin∠BMO=8xY2 =4√2，.P0的最小值为 √(42)2-4=27. y↑y=x+4 A O M 第1题解图 备·数学 133 一战成名目 2.B【解析】如解图，连接OE、OD,DE为⊙0的切 线，.OE⊥DE,.∠OED=90°，DE=√OD-OE= √OD-1,当OD最小时，DE最小，当0D⊥AB时，OD最 短，在Rt△ABC中，：∠ACB=90°，AC=8,AB=10,BC= √102-8=6，.B0=5.∠BD0=∠BCA,∠0BD= ∠6c△B00△aC,20即0高解药 0D=4,.DE的最小值为√4-1=√15 V=- B D LFE H A 第2题解图 第3题解图 3n:7》 【解析】如解图，连接AM,AN,设直线y=x 考答 1分别交x轴，y轴于点L,H,:PM与⊙A相切于点M,PN 与⊙A相切于点N,⊙A的圆心为(0,2)，半径为5， PM⊥AM,PM=PN,AM=AN=√3，∴.∠AMP=90°，∴.PM= 难 √PA2-(5)2=√PA-3,.当AP的值最小时，则PM的值 最小，点P、点A都在线段MN的垂直平分线上，.PA垂 析 直平分W..Smwwww=S6am+S6m心之PA·kN= 2 EPM+2X5PN=5PM,PA·MN=25PM,当PM 最小时，PA·MW的值最小.直线y=x-1中，当x=0时， y=-1,当y=0时，x=1,.L(1,0),H(0,-1),∴.0L=0H= 134 1,取点E(2,0),连接AE交直线y=x-1于点1，则0E= OA=2,.AH=OA+OH=3,.∠HOL=∠AOE=90°，. ∠OHL=∠0LH=∠ILE=∠OEA=∠OAE=45°，.∠AMH= ∠EH=90°，A1=HⅢ，E1=LL,:AH=√A+Hr=2A1=3,Al= 32 HL,点P在直线L上心PA≥A,一当点 重合时，PA的值最小，此时PM的值最小，PA·MN的值最 小州-：望m 2-3-6 W2 PA·MN 23x6 =32,.PA·MN的最小值为32，作F1x轴于点 R,L=2-1=1.F=F=BF=之L=子0F=I+3 三.即P2 类型3辅助圆（隐圆）最值问题 考法1利用圆定义一定点定长辅助圆 1B【解析】如解图，AB=AC=AD,.点B,C,D在以点A 为圆心，以AB长为半径的圆上，∠CAD=2∠CBD,∠BAC= 134 中考能力义 2∠BDC.∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，.∠CAD= 2∠BAC=88°. D 第1题解图 22n+ 【解析】如解图，作AC的中点Q.连接PQ,作以Q 为圆心，PQ长为半径的圆.P是CD的中点，Q是AC的 中点P0是△ACD的中位线P0=4D=子线段 AD绕点A旋转时，点P在以Q为圆心，PQ长为半径的圆 上移动，∴.当BP经过点Q时BP的值最大，连接BQ并延 长交⊙Q于点P',点P'即为所求，此时BP的最大值为BP 的长8C=2,m∠4C=之4C=4.A0=C0 2..·BQ=BC+CQ=8,.BQ=2√2（负数已舍去）..BP 的最大值为22+2 1 D C B E(FMH 第2题解图 第3题解图 A号【解析]如解图，连接AB,BE,过点B作B'HLBC宇 点H,点B关于直线AE的对称点为B,,点B在以A为 圆心，AB长为半径的圆上移动，BE=B'E,∠AEB= ∠AEB',∠ABE=∠AB'E=90°，当DF⊥AB时，BF有最大 值，∴.∠ABF=∠AB'E=90°，点E与点F重合，AD∥ BC,∴.∠DAE=∠AEB=∠AEB',.DE=AD=10,∴.CE= √DE-CD=6,BE=4=B'E,B'H⊥BC,DC⊥BC, B'H/CD,△EB'H~△EDC,EE-BH4 ED=DC 10 m-台当n银大时点公到C的离是号 4.83【解析】：OM是AC的垂直平分线，.∠A= ∠OCA,:C0平分∠ACB,:∠OCA=∠OCB,.∠AC0= ∠BC0=∠A,∠B=90°，.∠AC0=∠BC0=∠A=30°，在 △8C,A8=6:4C=0=45Aw=25 OM=AM·tan30°=2，如解图①，过点M作MH⊥A'C'于点 H,过点O作OW⊥A'C于点N,连接MW,:在△AOC旋转 的过程中，对应边AC=A'C'=43,对应高0M=0W=2,在 备·数学