专题6 类型1 显圆中的点圆最值-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

专题六曲线型（圆）最值 版 类型1显圆中的点圆最值 模型特征：平面内一定点A与半径为r(定值)的圆上一动点P之间距离的最值 基本思路：有圆找圆心，“两点”化“三点”，三点共线取最值 类型 定点在圆外（最常考） 定点在圆上 定点在圆内 动点P 动点P 动点P 图形 定点A 定点A 0 0 定，点A 动点P 动点P 动点P 作图 定点A∠ 最大P2 定点A 最大P2 最小P 最小P 定点A 最大P (最小P)》 解法 基本方法：“一箭穿心”找最值，“近”定最小“远”最大 提炼 基本依据：三角形三边关系，三，点共线，圆中最长弦是直径 最大值 AP,=OA+r AP,=0A+r=2r AP,=0A+r 最小值 AP,=OA-r AP1=0 AP,=r-AO 专题六 拓展—一夹角问题 问题 图形 作图 推理与依据 线型 作0Q⊥AP于Q,则 点A是⊙0外一 圆 点，点P在⊙O OQ≤r,sin∠PA0= 上，当∠PAO最 0 00≤0A,当00s A 大时，确定点P 时∠PAO最大，此时 的位置 AP和⊙0相切 综合训练 1.在平面直角坐标系中，点A(-4,0),点B(0,2),以AB为直径作⊙M. (1)如图①，C是⊙M内一点，坐标为(-2,2)，点D在圆上，则CD的最小值为 D 第1题图① 第1题图② (2)如图②，C是⊙M上一点，坐标为(-2，√5+1)，点D在圆上，则CD的最大值为 中考能力必备·数学 43 一战成名目 2.[2024南通改编]如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,⊙A与BC相切于点D.⊙A上有一动点P, 连接CP,BP.CP的最小值为 ;当CP的长最大时，BP的长为 P D D 第2题图 备用图 3.如图，点0为AB的中点，分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点0为圆心，分别以 OA,OC长为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任意一点（不与点A,B重合），连接OP 并延长交大半圆于点E,连接CP.若OC=2OA=2,则当∠C最大时，扇形EOD的面积为 (结果保留π) O B 第3题图 第4题图 4.[2024河南]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B 作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 最小值为 专题六 5.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB,且PA,PB 与x轴分别交于A,B两点（点A在点B左侧），若点A、点B关于原点对称，当线段AB最短时，求 点A的坐标 线型（圆）最值 D 0 B 第5题图 44 中考能力必备·数学一战成名目 ×3子由勾殷定理得0：v0C-0。 20cs1 1 之，DF=DC+CF=7,DE=√EF+DP=3, 2心点C的坐标是(353 0D≤5+√3，即0D的最大值为3+√3. 2,2 Y个 第1题解图 第3题解图 2.1【解析】如解图，作点E关于AC的对称点E',连接 4.解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得： QE',则QE=QE,平移PQ使点Q与点E重合，得到 a-b+3=0, P'E',连接BP,PP',则四边形PP'E'Q为平行四边 (9a+3b+3=0. 代2 形，.PQ∥P'E',P'E=PQ,QE=PP,.BP-EQ=BP ∴抛物线的解析式为y=-x2+2+3; PP≤BP',当B,P',P三点共线时，BP-PP取最大值，为 (2)在直线I上存在一点P,使PA-PD有最大值，理由 BP'的长，.BP'=√5，四边形ABCD是正方形，OD= 如下： 4,.OA=0D=0B=4,∠B0A=90°，E是0D的中 如解图，连接AC并延长交直线1于点P',连接P'D,在直线 点，.OE=0E=2,.BE'=0B-0E=2,P'E'∥AC, I上取点P,连接CP,AP,DP. 参考答 ∠BE'P=∠BOA=90°，在R△BE'P'中，P'E= VBP2-BE2=1,..PQ=P'E'=1. 难 析 第4题解图 第2题解图 在y=-x2+2x+3中，令x=0,得y=3, 3.3+√13【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC= 点C(0,3), 30°，BC=2,.AC=23,:△BCD为等边三角形，.CD= ·点C关于直线l的对称点为点D, BC=2,∠BCD=60°，如解图，取AC的中点E,连接OE .PC=PD. 132 DE,.在△OED中，根据三角形三边关系可得，OD≤OE+ .PA-PD=PA-PC≤AC,当P与P'重合，即A,C,P三点共 ED,即当O,E,D三点共线时，等号成立.作EF⊥CD交DC 线时，等号成立， 1 的延长线于点F,则AE=CE=OE=2AC=万，∠FCE= A(-1,0),C(0,3), ∴.在Rt△AC0中，AC=√0A+0C=√+3=√10， 80°∠ACB-LBCD=30EF=)CE-3 .PA-PD的最大值为√0. 专题六 曲线型（圆）最值 类型1 显圆中的点圆最值 3.BP=VAPAB=3AT 1.(1)5-1;(2)25 5 2.8,34 55 【解析】如解图，连接AD,延长CA交⊙A于点 P",连接BP",AB=3,AC=4,BC=5,AC+AB2= BC2,.∠BAC=90°，⊙A与BC相切于点D,.AD⊥ B c5=4报·Ac=40·BcAn=aC 第2题解图 BC 4x3_12当点p与点P重合时，CP最小，最小值为4 5=5 34 π【解析】当∠C最大时，CP与小半圆相切，如解 号号当点P与点户项合时，6复大P-号B- 图，0C=20A=2,.0C=20P,CP与小半圆相切， ∠OPC=90°，.∴.∠OCP=30°，.∴.∠DOE=∠OPC+∠OCP= 132 中考能力必备·数学 一战成名目 120m×224 120°，.S第形80心= 的最大值为AB·C,D=1x8x8=32 360 2 E A D D 第3题解图 第2题解图 4.22+1,22-1【解析】CD=1,且CD是绕点C在平面3.解：如解图，在R△ABC中， 内旋转，.点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运 D 动，CA=CB=3,.AB=√2AC=3V2,在Rt△ABE中， Ds∠BAE-A6。当eos∠BAE最大时，AE最大，当 E 4 第3题解图 cos∠BAE最小时，AE最小.如解图①，当AE与⊙C相切于 .·AB=4,BC=2,∠ABC=90°， 点D,且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，连接 CE,∠ADC=∠CDE=90°，.AD=W√AC-CD= .S△ABc= 2AB BC-4.AC=AB+BC=25, 1 22,AC=AC,.∠CEA=∠CBA=45°，.DE=CD=1,此 S四边形ABCn=SAARC+SAACD=4+S AACD, 时AE=22+1,即AE的最大值为2√2+1；如解图②，当AE 当△ACD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大 与⊙C相切于点D,且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE :⊙0在斜边AC上滚动，点D是⊙0上一点， 最小，同理可得AD=2√2，DE=1,此时AE=2√2-1，即AE 当过点D的直径DE⊥AC时，DE最大，即△ACD的面积 参 最大，此时DE=2, 的最小值为2√2-1. 1 六Sa4at大=2AC,DE=2,5, 考答案与 .四边形ABCD面积的最大值为4+25. 难 考法2经过圆内一点（不是圆心）弦的最值问题 1C【解析】如解图，过点P作CE⊥OP交⊙0于点C,E,连 解 图① 图② 接0C,由勾股定理得，CP=√OC2-0P=6,则CE=2CP= 析 第4题解图 12,.过点P的最短的弦长为12，：⊙0的半径为10， 5.解：如解图，连接OP,OM,交⊙M于点P' .⊙0的直径为20，即过点P的最长的弦长为20,12≤ :点M的坐标为(3,4)， 过点P的弦长≤20. .0M=√32+4=5， ·PA⊥PB,.∠APB=90°， 133 0 :点A和点P关于原点对称， A 07 B .A0=B0,∴.AB=2P0, C 第5题解图 第1题解图 若要使AB最短，则OP需取得最小值， 当点P位于P'位置时，OP取得最小值 2.(1)AC:(2)42 .OM=5,MP'=2,.0P'=3,∴.0A=3, 考法3切线长问题 点A的坐标为(-3,0) 12万【解析】如解图，连接MP、MQ,·PQ是⊙M的切 类型2显圆中的线圆最值 线，∴.MQ⊥PQ,∴PQ=√PM-MQ=√PM-4,当PM最 考法1圆上动点到定直线距离最值问题 小时，PQ最小，当PM⊥AB时，PM最小，直线y=x+4与x 1.25-1【解析】如解图，过点0作 轴的交点A的坐标为(-4,0)，与y轴的交点B的坐标为 (0,4),.0A=0B=4,∴.∠BA0=45°，AM=8,当PM⊥AB OM⊥BA于点M,交半圆O于点 N,此时MW最小，MW的最小值为 时，PW=AM·s∠M0=8x 2 =42,.PQ的最小值为 OM-ON=0B.sinB-ON=23-1. 0 2.8,32【解析】如解图，过点0作第1题解图 √/(42)2-4=27 y↑y=x+4 OD⊥AB于点D,延长D0交⊙0于点C,连接OA,AC, BCA0=AB=4在i△A0D中，0=Va0-AD A O 3,C,D=8,.点C到AB距离的最大值为8，△ABC面积 第1题解图 中考能力必备·数学 133