专题5 类型4 “三角形三边关系”的应用-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

2.25【解析】如解图，过点N作NG⊥BC于点G,连接 AN,AG,过点A作AH⊥BC于点H,·四边形ABCD是菱 形，∠ABC=60,∠DaC=30NG=之BN,MN垂直 平分AE,EN=AN,2EN+BN=2(EN+2BN)=2(AN+ NG)≥2AG≥2AH,.2EN+BN的最小值为2AH的长， ∠ABC=60°，AB=2,.AH=AB·sin60°=√3，.2EW+BN的 最小值为23. 第2题解图 3.解：.y=x2-x-2=(x- 129 24 “抛物线的对称轴为直线x=2, 1 抛物线的顶点坐标为2，子) ,19 :将抛物线顶点向下平移？个单位长度得到点M, M(7-3). 如解图，连接AM,BM,过点A作AH⊥BM于点H,交抛物线 对称轴直线x=弓于点P,设直线x=2交x轴于点心 P/R M 第3题解图 在y=x2-x-2中，令y=0,得0=x2-x-2, 解得x=-1或x=2, .点B(2,0), AB=3,BN=2-1=3 2 ,MW=3, wv-√： 2 3 BN2√5 .∴.sin∠BMW= BM 35 5 2 P'H√5 小PM5PH= M. 5 P4+5 M=PA+P'H=AH 由重线段最短可知，当P与严重合时，PA汽PN最小，最 中考能力 一战成名目 小值为AH的长度」 SBM= )4BMN=2BM·AH ·AH=AB.MW3x365 BM355 :P1气N的最小值为 5 类型4“三角形三边关系”的应用 针对练习 1.1+√3【解析】如解图，取AB中点D,连接OD,DC, OC≤0D+CD,当O,D,C三点共线时，等号成立，'△ABC 是边长为2的等边三角形，D为AB的中点，.BD=1,BC= 2,CD⊥AB,CD=√BC-BD=3,:△AOB为直角三角 D为斜边4B的中点，·0D=)AB=1,0D+CD √3，即0C的最大值为1+√3. N 参考答案与重 0 A M 第1题解图 2.6【解析】如解图，作点A关于CD的对称点A',连接A'B 解 并延长交直线CD于点P,则点P就是使IPA-PB1的值最 大的点，此时1PA-PB1=A'B,连接A'C,△ABC为等腰直 角三角形，AC=BC=6,.∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB= 90°，∠BCD=15°，.∠ACD=75°，点A与A'关于CD 对称，∴.CD⊥AA',AC=A'C,∠ACD=∠A'CD=75°，.·AC= BC,.A'C=BC,.·∠BCD=15°，.∠A'CB=60°，∴.△A'BC 131 是等边三角形，.A'B=BC=6,.IPA-PB1的最大值为6 A 第2题解图 综合训练 1(,》【解折]红解图.设发为版的中点，当0,6.C 三点共线时，OC最大，过点C作CF⊥x轴于点F,则 ∠C0=60,此时0E=BE=AB=号4B=1,由勾股定理得 CE=2CE.0G-1+23. ∠ECB=30°，∠BEC=60°，.∠AE0=60°，.△A0E为等边 三角形，.∠A0E=60°，.∠C0B=90°-60°=30°，.CF= 备·数学 131 一战成名目 20C=1 1 ×3=子，由勾股定理得0F=0C-0F: 多i=c+=子k=VFF=万 √ 2心点C的坐标是(353 0D≤5+√3，即0D的最大值为3+√3. 2,2 Y个 第1题解图 第3题解图 2.1【解析】如解图，作点E关于AC的对称点E”,连接 4.解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得： QE,则QE”=QE,平移PQ使点Q与点E重合，得到 a-b+3=0, P'E',连接BP,PP',则四边形PP'E'Q为平行四边 (9a+3b+3=0." 代 形，.PQ∥P'E',P'E'=PQ,QE=PP,.BP-EQ=BP 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; PP≤BP',当B,P',P三点共线时，BP-PP取最大值，为 (2)在直线I上存在一点P,使PA-PD有最大值，理由 BP的长，.BP'=√5，四边形ABCD是正方形，OD= 如下： 4,.OA=0D=0B=4,∠B0A=90°，E是0D的中 如解图，连接AC并延长交直线L于点P',连接P'D,在直线 点，.OE'=0E=2,.BE'=0B-0E=2,PE'∥AC, I上取点P,连接CP,AP,DP. 参考答 ∠BE'P'=∠BOA=90°，在Rt△BEP'中，P'E'= 1 VBP2-BE2=1,..PQ=P'E'=1. 难 析 第4题解图 第2题解图 在y=-x2+2x+3中，令x=0,得y=3, 3.3+√3【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC= 点C(0,3), 30°，BC=2,.AC=25,:△BCD为等边三角形，.CD= ·点C关于直线l的对称点为点D, BC=2,∠BCD=60°，如解图，取AC的中点E,连接OE, .PC=PD. 132 DE,.在△OED中，根据三角形三边关系可得，OD≤OE+ .PA-PD=PA-PC≤AC,当P与P'重合，即A,C,P三点共 ED,即当O,E,D三点共线时，等号成立.作EF⊥CD交DC 线时，等号成立， 1 的延长线于点F,则AE=CE=0E=2AC=万，∠FCE= A(-1,0),C(0,3), ∴.在Rt△AC0中，AC=√0A+0C=√+3=√10， 80°-∠ACB-LBCD=30°，·EF=)CE=V3 .cF-5cE- 2 .PA-PD的最大值为√O. 专题六 曲线型（圆）最值 类型1 显圆中的点圆最值 3..BP=VAPAB=3AT 1.(1)5-1;(2)2W5 5 2.8,34 55 【解析】如解图，连接AD,延长CA交⊙A于点 P",连接BP",AB=3,AC=4,BC=5,AC2+AB2= BC2,.∠BAC=90°，⊙A与BC相切于点D,.AD⊥ B BC Saue= F2AB·AC= F2AD·BC,AD=AC·AB BC 第2题解图 43_12当点P与点P重合时，CP最小，最小值为4 5=5 π【解析】当∠C最大时，CP与小半圆相切，如解 34 号号当点P与点户项合时，6复大AP-号B 图，0C=20A=2,.0C=20P,CP与小半圆相切， ∠OPC=90°，∴.∠OCP=30°，.∴.∠DOE=∠OPC+∠OCP= 132 中考能力必备·数学一战成名目 类型4“三角形三边关系”的应用 考法①“滑梯”模型 针对练习 1.[2023凉山州]如图，边长为2的等边 ∠MON=90°，A,B分别在OM,ON上移动，且 三角形ABC的两个顶点A,B分别在 问题 AB=2a,作等腰△ABC,使AC=BC,∠CAB=a, 两条射线OM,ON上滑动，若OM⊥ 求OC的最大值，用含a与a的代数式表示 ON,则OC的最大值是 图示 I为AB的中点，由三角形三边关系得OC≤O+ M 总结 IC=a+atano 考法②两点一线线段差最大 2.如图，已知△ABC为等腰直角三角 形，AC=BC=6,∠BCD=15°，P为直 点A,B在直线m两侧，动，点P在m上，在图中 问题 线CD上的动点，则IPA-PBI的最大 画出|PA-PBI取最大值时点P的位置 值为 定点A 定点A 定点B 图示 动，点P p m 定点B 定点B 总结 异侧对称化同侧，连线交点定位置 综合训练 专题 1.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=√3，两顶点A,B分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴 上滑动，点C在第一象限，连接OC,则当OC最大时，点C的坐标是 直 线型（三角 第1题图 第2题图 第3题图 形 2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OD=4,E是OD的中点，PQ是对角线AC 最 上的一条动线段，若BP-EQ的最大值为√5，则PQ的长为 3.[2025自贡]如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C,A分别在x轴，y轴正半轴上， ∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2.以BC为边作等边△BCD,连接OD,则OD的最大值为 中考能力必备·数学 41 一战成名目 4.[2024西藏节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线1 (1)求抛物线的解析式； (2)设点C关于直线l的对称点为点D,在直线I上是否存在一点P,使PA-PD有最大值？若存 在，求出PA-PD的最大值：若不存在，请说明理由 第4题图 备用图 专题五 直线型（三角形、四边形）最值 42 中考能力必备·数学