专题5 类型3 “AB+kBC”型——胡不归-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

一战成名 值已舍去)，GF=25.AG=2,AC=4,.CG= √AG+AC=2V5,.GF=CG,.△CGF是等腰直角三角 形，：△GCF∽△ACE,.△ACE是等腰直角三角形， AE=AC=4. 图① 图② 第4题解图 5.1【解析】如解图，延长BC到点F,使FC=BC,连接 AF,FE,.·∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4,.FC=BC= 2AB=2,∠ABF=60,FB=AB,△ABF是等边三角 形，.∠AFB=60°，△BDE是等边三角形，.EB=DB, ∠DBE=60°，.∠FBE=∠ABD=60°-∠DBF,在△FBE和 FB=AB, △ABD中 ∠FBE=∠ABD,.△FBE≌△ABD,.∠BFE= 参考答案与 EB=DB. ∠BAD=30°，∴.∠AFE=90°，.点E在经过点F且与AF垂 直的射线FE上运动，过点C作CH⊥FE交射线FE于点 H,则∠CH=90,CB≥CH=之C=1GE的最小值 难 为1. 析 第5题解图 类型3“AB+kBC”型—胡不归 130 针对练习 1.√2【解析】如解图，连接AP,过点A作AP'⊥BC于点 P',.AO+PQ≥AP≥AP',∴.AQ+PQ的最小值即为AP'的 长.AB=2,∠ABC=45°Ap- AB=√2，即AQ+PQ的 2 最小值为2. D PP C 第1题解图 第2题解图 2.B【解析】如解图，延长AC到点M,使CM=AC=3,连接 BM,DM,ME,过点M作ME'⊥AB于点E',由条件可知BC 是AM的垂直平分线，∴.AD=DM,.AD+DE=MD+DE≥ ME≥ME',当ME'⊥AB时取等号.∠ACB=90°，AC= 3,BC=4.AB =5.SAAm =2 AM.BC =2AB 130 中考能力 1 ME',2×6x4=2X5xME,解得ME'=4.8.AD+DE的 最小值是4.8. 3.4√5【解析】如解图，过点A作AT⊥BC于点T,过点M作 MH⊥BC于点H.·四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， 1 六∠DBC=2∠ABC=30,:MH⊥BC,∠BHM=90, MH=BM,AM+LBM=AM+MH≥AT,当AT⊥BC时 2 2 取等号，AT1BC,.∠ATB=90°，.AT=AB·sin60°= 454M+号BN≥45，AM+BM的最小值为45. aD M B 第3题解图 4.42【解析】如解图，过点A作射线AE,使得∠DAE= 30,过点P作PH1AB于点，连接BM,则PH=号PA, 1 PA+2PB=2(PB+2PA)=2(PB+PH),过点B作BF LAE 于点F,则PB+PH≥BH≥BF,即所求最小值为2BF的长 由题知∠BAD=15°，∠BAF=∠BAD+∠DAE=45°，： AB=4,.BF=22,.2BF=42,即PA+2PB的最小值为 42. 第4题解图 综合训练 185【解析】如解图，作点B关于AD的对称点，连接 5 B'A,BE,BF,则BE=BE,B',A,B三点共线，过点B'作 B'G⊥BD于点G,交AD于点H,则BE+EF=B'E+EF≥ B'F≥B'G,即当B',E,F三点共线，且B'F⊥BD时，BE+EF 的值最小，此时点E在点H处，点F在点G位置.·AB= 2,AD=4,.BB'=4,BD=25,∠BB'G+∠B'BG =∠B'BG+∠BDA=90°，∴.∠BB'G=∠BDA,∠B'GB= ∠DAB=90°，5△B'BG△DBA,DE=6,即4= 25 B'C,解得BG-85 4 二，即BE+EE的最小值为85身 B队 H 第1题解图 公备·数学 2.25【解析】如解图，过点N作NG⊥BC于点G,连接 AN,AG,过点A作AH⊥BC于点H,·四边形ABCD是菱 形，∠ABC=60,∠DaC=30NG=之BN,MN垂直 平分AE,EN=AN,2EN+BN=2(EN+2BN)=2(AN+ NG)≥2AG≥2AH,.2EN+BN的最小值为2AH的长， ∠ABC=60°，AB=2,.AH=AB·sin60°=√3，.2EW+BN的 最小值为23. 第2题解图 3.解：.y=x2-x-2=(x- 129 24 “抛物线的对称轴为直线x=2, 1 抛物线的顶点坐标为2，子) ,19 :将抛物线顶点向下平移？个单位长度得到点M, M(7-3). 如解图，连接AM,BM,过点A作AH⊥BM于点H,交抛物线 对称轴直线x=弓于点P,设直线x=2交x轴于点心 P/R M 第3题解图 在y=x2-x-2中，令y=0,得0=x2-x-2, 解得x=-1或x=2, .点B(2,0), AB=3,BN=2-1=3 2 ,MW=3, wv-√： 2 3 BN2√5 .∴.sin∠BMW= BM 35 5 2 P'H√5 小PM5PH= M. 5 P4+5 M=PA+P'H=AH 由重线段最短可知，当P与严重合时，PA汽PN最小，最 中考能力 一战成名目 小值为AH的长度」 SBM= )4BMN=2BM·AH ·AH=AB.MW3x365 BM355 :P1气N的最小值为 5 类型4“三角形三边关系”的应用 针对练习 1.1+√3【解析】如解图，取AB中点D,连接OD,DC, OC≤0D+CD,当O,D,C三点共线时，等号成立，'△ABC 是边长为2的等边三角形，D为AB的中点，.BD=1,BC= 2,CD⊥AB,CD=√BC-BD=3,:△AOB为直角三角 D为斜边4B的中点，·0D=)AB=1,0D+CD √3，即0C的最大值为1+√3. N 参考答案与重 0 A M 第1题解图 2.6【解析】如解图，作点A关于CD的对称点A',连接A'B 解 并延长交直线CD于点P,则点P就是使IPA-PB1的值最 大的点，此时1PA-PB1=A'B,连接A'C,△ABC为等腰直 角三角形，AC=BC=6,.∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB= 90°，∠BCD=15°，.∠ACD=75°，点A与A'关于CD 对称，∴.CD⊥AA',AC=A'C,∠ACD=∠A'CD=75°，.·AC= BC,.A'C=BC,.·∠BCD=15°，.∠A'CB=60°，∴.△A'BC 131 是等边三角形，.A'B=BC=6,.IPA-PB1的最大值为6 A 第2题解图 综合训练 1(,》【解折]红解图.设发为版的中点，当0,6.C 三点共线时，OC最大，过点C作CF⊥x轴于点F,则 ∠C0=60,此时0E=BE=AB=号4B=1,由勾股定理得 CE=2CE.0G-1+23. ∠ECB=30°，∠BEC=60°，.∠AE0=60°，.△A0E为等边 三角形，.∠A0E=60°，.∠C0B=90°-60°=30°，.CF= 备·数学 131类型3“AB+BC”型 考法①k=1型 点M,N分别在OP,OQ上，A是∠POQ外一 问题 ,点，在图中画出AM+MN最小时，点M,N的位置 定点A 定，点A 图示 动点M 动点N 总结 连接AN,AM+MW≥AN,当AN⊥OQ时取等号 点A是ON上一定，点，点P,Q分别在ON,OM上 问题 运动，在图中画出AQ+PQ最小时点P,Q的位置 定点A' 动点Q 图示 0 0动点P定点AV 0 P'P定点AN 作点A关于OM的对称，点A',连接A'Q,A'P,AQ+ 总结 PQ=A'Q+PQ≥A'P≥A'P',当A'P⊥ON时取等号 考法2k≠1型 点D是AB上一点，sin∠BCD=k,点P是CD上 问题 的动点，求AP+PC(0<k<1)的最小值 图示 DA 动点P 作PQ⊥BC于Q,则PQ=kPC,AP+kPC=AP+ 总结 PQ≥AQ≥AQ',当AQ⊥BC时取等号 点P是直线m上一动，点，点A,B是两个定点， 问题 求PA+kPB(0<k<1)的最小值 图示 作直线BN使得sin∠PBN=k,点N和，点A在P 总结 的两侧，作PQ⊥BN于，点Q,则PQ=kPB,AP+ PB=AP+PQ≥AQ≥AQ',当AQ⊥BN时取等号 中考能力必备·数学 一战成名司 胡不归 针对练习 1.[2022娄底改编]如图，菱形ABCD的 边长为2，∠ABC=45°，点P,Q分别 是BC,BD上的动点，AQ+PQ的最小 值为 B P C 2.[2025江苏无锡模拟]如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4.若点 D,E分别为BC,AB上的动点，则AD +DE的最小值是 B A.4.2B.4.8C.5 D.4.5 3.如图，四边形ABCD是菱形，AB=8, 且∠ABC=60°，M为对角线BD(不含 B点)上任意一点，则AM+。BM的 专题 最小值为 直 B C 线型（三角 4.[2022鄂尔多斯]如图，在△ABC中，形 AB=AC=4,∠CAB=30°，AD⊥BC于 边 点D,P为线段AD上的一动点，连接 PB,PC,则PA+2PB的最小值为 值 39 一战成名目 综合训练 1.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，点F是对角线BD上的一个动点，连接BE, EF.若AB=2,AD=4,则BE+EF的最小值是 E 第1题图 第2题图 2.[2024凉山州改编]如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,E是BC边上一个动点，连接AE,AE 的垂直平分线MW交AE于点M,交BD于点N,连接EN.则2EN+BN的最小值为 3.[2024德阳改编]如图，抛物线y=x2-x-2与x轴交于点A(-1,0)和点B,将抛物线的顶点向下平 移子个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求P1 一PM的最小值， 第3题图 备用图 专题五 直线型（三角形、四边形）最值 40 中考能力必备·数学