专题5 类型2 “垂线段最短”的应用——定直线作垂直-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

类型2“垂线段最短”的应用- 考法①)“一动一定”单一线段最小值（动点在线上） 已知直线1上一动点P和1外一定，点A,在图中 问题 画出线段PA最小时点P的位置 定点A 定点A 图示 AP≥AP 动点P 动，点P P 连接直线外一点与直线上各，点的所有线段中， 总结 垂线段最短 考法2定距平行线上两动点最值 平行线m和n之间的距离为a,动，点M在m 问题 上，动点N在n上，求MN的最小值 动，点M m 图示 e 动，点N 总结 化动为定，找垂线段最短 考法3“豆随瓜动”单一线段最值（直线型瓜豆） ◆共线型 ,点M在直线m上运动，点N在AM上，AN= 问题 nAM(0<n<1),在图中画出，点N的运动轨迹 媒介A 媒介A 图示 豆N, 豆N 豆线n 瓜M+ 瓜线m 瓜M→ 瓜线m 以定点为媒，由瓜定豆，平行线分线段成比例 总结 定瓜线与豆线平行 ◆等线夹角型（全等） 已知点M在直线m上，将点M绕点A逆时针 问题 旋转得点N,试画出点N的运动轨迹 豆线n 媒介A 媒介A 定点0 图示 人 豆N 瓜M+ 瓜线m 瓜M+定点O 瓜线m 以定点为媒，同向旋转由瓜找豆（旋转手拉 总结 手)，对角互补定夹角 中考能力必备·数学 一战成名目 定直线作垂直 针对练习 1.[2024南充]如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，∠B=30°，BC=6,AD平分 ∠CAB交BC于点D,点E为边AB上 一点，则线段DE的最小值为 2.多解法[2025山东省卷]如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC =8.点P为边AC上异于A的一点， 以PA,PB为邻边作☐PAQB,则线段 PQ的最小值是 3.如图，在△ABC中，点D为BC上 动点，E为AD的中点，若BC=4,则 点D从B运动到C时，点E的运动 路径长为 专题 直 线型（三角 4.如图，在矩形ABCD中，点E为BC上 一定点，BC=2AB=4BE=4,点F为 四 射线BA上一动点，连接EF,将EF 形 绕点E顺时针旋转90°，点F落点为 点G,则CG的最小值为 值 E 37 一战成名目 ◆比例线段夹角型（相似） 5.多解法[2024泰安改编]如图，菱形 已知点M在直线m上，点N是平面内一点， ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上 问题 ∠MAW=a,AN=kAM(0<k<1),试画出点N的 的点，AE=4,BE=8,点F是BC上的 运动轨迹 一点，△EGF是以点G为直角顶点， 豆线n ∠EFG为30°角的直角三角形，连接 媒介A 媒介A 7定点0 AG.当点F在直线BC上运动时，线 图示 Q 豆N 段AG的最小值是 豆W 瓜M+ 瓜线m 瓜M→定点0瓜线m 以定，点为媒，同向旋转由瓜找豆（旋转手拉 总结 手)，对角互补定夹角 综合训练 1.[2023陕西]如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且ED=3,M,N分别是边AB, BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若PM+PW=4,则线段PC的长 为 D E 第1题图 第2题图 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF的中点，连接 PB,则PB的最小值是 3.多解法[2024连云港]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2.点P在边AC上，过点P作 五 PD⊥AB,垂足为D,过点D作DF⊥BC,垂足为F,连接PF,取PF的中点E.在点P从点A到点C 的运动过程中，点E所经过的路径长为 直 线型（三角 第3题图 第4题图 第5题图 四 形 4.[2025宜宾改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=5.过点A作直线1∥BC,点E是直 值 线1上一动点，连接C,过点E作EFICE,连接CF使an∠BCF-分当BF最短时，则AB的长 度为 5.[2025浙江湖州模拟]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4,点D是直角边AC上的一个 动点，连接BD,以BD为边向外作等边△BDE,连接CE,在点D运动的过程中，线段CE的最小值 为 38 中考能力必备·数学一战成名目 为平行四边形，.DF=AE,.GF=GD+DF=EO+AE=AO= 2,GE'=GE +EH+E'H=3,..E'F=GF2+CE= √2+3=√3，即BE+BF的最小值为√3 B 图① 图② 第14题解图 多解法、 解法二（思路）：如解图②，连接CF,可证得四边形EBCF 是平行四边形，则CF=BE,则将问题转化为求BF+CF的 最小值，作点C关于直线DF的对称点C',BF+BE= BF+CF=BF+C'F≥BC',当且仅当B,F,C三点共线时取 等号，即此时BF+BE有最小值，最小值为BC的长 15.解：(1)令x=0,则y=-5,.B(0,-5),.0B=5, 参考答案与 50A=0B=0C,∴.0A=1,0C=5, 点A,C的坐标分别为(1,0)，（-5,0)， 设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x+5)=a(x2+4x-5), 将点B(0,-5)代入，得a=1, 故抛物线的表达式为y=x2+4x-5; (2)如解图，连接BC交抛物线的对称轴于点M,此时 题解 △ABM的周长最小， △ABM的最小周长为AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC. 由(1)得点C(-5,0),B(0,-5), .设直线BC的表达式为y=x+b (k≠0)， 代人得56+h=0 解得1， （b=-5, (b=-5 128 .直线BC的表达式为y=-x-5, 由抛物线的表达式知，其对称轴为直 第15题解图 线x=-2, 当x=-2时，y=-x-5=-3, .点M的坐标为(-2，-3). 类型2“垂线段最短”的应用—定直线作垂直 针对练习 12【解析】如解图，当DE⊥AB时，线段DE最小.：∠C= 90°，∠B=30°，.∴∠CAB=60°，.·AD平分∠CAB,.CD= DE,∠CAD= F2×60°=30.在R△ABC中，anB=4 C.. AC-3 ×6=25.在R△ACD中，lan∠CAD= AC.CD= 号×25：2DE2,即线段DE的最小值为 第1题解图 128 中考能力 2.4.8【解析】解法一：如解图①，过点B作BD⊥AC于点 D.·四边形PAQB为平行四边形，.AP∥QB,.线段PQ最 小值即为PQ⊥AC时的长度.：∠ABC=90°，AB=6,BC= 84G=Vmc=0:Se-4B.Bc=4C BD,BD=AB·BC AC 4.8,BQ与AC之间的距离为 4.8,即PQ最小值为4.8. 图① 图② 第2题解图 多解法。 解法二：如解图②，设PQ与AB交于点M,过M作MN1 AP于点N,.∠ANM=∠ABC=90°，∠MAN= ∠CAB,·.△AMN∽△ACB,.MN:CB=AM:AC, ∠ABC=90°，AB=6,BC=8,..AC=√/AB2+BC2=10,.四 边形PA0B是平行因边形，AM=B=3,P0 2PM,.MW:8=3:10,.MN=2.4,.PM≥MN,.P0≥ 2MN=4.8,..PQ的最小值是4.8. 3.2【解析】如解图，当点D从B运动到C时，点E从E,运 动到E2,E为AD的中点，.E1,E,分别为AB,AC的中 点，即EE,为△ABC的中位线，E,E,=7BC=2·点E 的运动路径长为2 D 第3题解图 4.1【解析】将△BEF绕点E顺时针旋转90得到△HEG,如 解图①，延长HG交CD于点N,.BE=HE=1,BF=HG ∠B=∠H=∠BEH=90°，.HG∥BC,∴.点G在平行于 BC,且与BC的距离为1的射线HW上运动，如解图②，当G 运动到N,即CG⊥HG时，CG有最小值，·∠HEC=∠C= ∠EHN=90°，.四边形EHNC是矩形，.HE=CG=BE= 1,.CG的最小值为1. (G 图① 图② 第4题解图 5.25【解析】解法一：如解图①，过E作EM⊥BC于点 M,过点M作MH⊥AB于点H,连接MG,过点A作AP⊥ 备·数学 CM,交MG的延长线于点P,∠EMF+∠EGF=180°， E,M,F,G四点共圆，.∠EMG=∠EFG=30°，∠B= 60°，.∴∠BEM=30°=∠EMG,.MG∥AB,又.·∠MHA= ∠APG=90°，.∠HAP=90°，.四边形MHAP是矩形， MH=AP,.BE=8,∴.EM=BE·cos30°=4√3，∴.MH= EM=25=AP,AG≥AP=25,AG最小值是23. 1 D MF 第5题解图① 多解法， 解法二（思路）：如解图②，过点E作EH∥BC,过点A作 AH⊥AB交EH于点H,连接HF,先证△AEH∽△GEF,由 对应线段成比例再症△AEG一△HBP,得纪2，即 AG=HF,当HF⊥BC时，HP最小，此时AG最小 3 第5题解图② 综合训练 122【解析】如解图，过点P分别作PF⊥DC交CD于点 F,PG⊥BC交BC于点G,PH⊥AB交AB于点H,DE= CD=3,∠D=90°，∴.∠ECD=45°，∴.∠ECB=45°，易得四边 形CGPF是正方形，.PG=PF,PM≥PH,PW≥PG, PM+PN≥PH+PG=PH+PF=4,:PM+PN=4,.PM与PH 重合，PW与PG重合，易得四边形PHBG为正方形，.PH= PC=PF=2,..PC=22. 第1题解图 2.22【解析】如解图，根据题意可知，点P的运动轨迹是线 段P,P2,∴.当BP⊥PP2时，PB取得最小值，在矩形AB CD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，CP1=2,△CBE, △ADE,△BCP,均为等腰直角三角形，∴.∠ADE=∠CDE= ∠CPB=45°，∠DEC=90°，∴.∠DP2P1=90°，.∠DPP2= 45°，.∠PPB=90°，即BP,⊥PP2,.BP的最小值为BP 的长，在等腰直角△BCP,中，CP,=BC=2,.BP1=22, .PB的最小值是2√2 第2题解图 中考能力父 一战成名目 3 4【解析】解法一：如解图，连接CE并延长交DF于点 G,连接AG并延长交BC于点M,连接PG,则四边形PCFG 为矩形，：E为PF的中点，E为CG的中点，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，.∠BAC=60°，AC⊥BC, DF⊥BC,AC∥DF,PD⊥AB,.∠APD=∠PDF=90- ∠DAP=30,设AP=2,则PD=5x,PG= 2t,在 △APG中，aLPAG-=化=∠PAG为定值，即点G 在AM上运动，：E为CG的中点，.点E的运动路径为 △ACM的中位线，在R△ACM中，an∠PAC=5 4 C:C=2,CM=由勾股定理得AM CM 3 VcCr-四，：点5所经过的路径长为w 4 参考答案与重 FM 第3题解图 题解 多解法。 解法二：·P在AC上运动，运动路径为线段，E为PF中 点，.E的运动路径亦为线段，·当P与A重合时，CE= 1,当P与C重合时，CE=5点E所经过约毫径长为 129 4 4.4【解析】如解图①，在点A的右侧取一点G,使得AG= 4C=2,连接0c,6:直线1∥BC,∠ACB=90, ∠CAG=90°，EF1CE,lan∠ECF= 2 anL ECF-EF_ CE 1 EF AG 1 2CEAC2,:∠CEF=∠CAG=90,ACEF CF CG ,ㄥGCF= ACAG:C=CA ZECF ACC.CB=CA ∠ACE,.△GCF△ACE,.∠CGF=∠CAE=90°，.点F 在射线GF上运动，.当BF⊥GF时，BF最短（如解图 ②)，延长BF交直线l于点H,·BF⊥GF,∠CGF= 90°，.CG∥BF,又GH∥BC,.四边形BCGH是平行四边 形，.GH=BC=5.∠CAG=90°，∠CGF=90°，.∠CGA+ ∠ACG=∠CGA+∠FGH,.∠ACG=∠FGH,又.·∠GFH= 2c46-90△4cc△faH46E设r x,则FG=2x,在Rt△GFH中，x2+(2x)2=5,解得x=√5（负 备·数学 129 一战成名 值已舍去)，GF=25.AG=2,AC=4,.CG= √AG+AC=2V5,.GF=CG,.△CGF是等腰直角三角 形，：△GCF∽△ACE,.△ACE是等腰直角三角形， AE=AC=4. 图① 图② 第4题解图 5.1【解析】如解图，延长BC到点F,使FC=BC,连接 AF,FE,.·∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4,.FC=BC= 2AB=2,∠ABF=60,FB=AB,△ABF是等边三角 形，.∠AFB=60°，△BDE是等边三角形，.EB=DB, ∠DBE=60°，.∠FBE=∠ABD=60°-∠DBF,在△FBE和 FB=AB, △ABD中 ∠FBE=∠ABD,.△FBE≌△ABD,.∠BFE= 参考答案与 EB=DB. ∠BAD=30°，∴.∠AFE=90°，.点E在经过点F且与AF垂 直的射线FE上运动，过点C作CH⊥FE交射线FE于点 H,则∠CH=90,CB≥CH=之C=1GE的最小值 难 为1. 析 第5题解图 类型3“AB+kBC”型—胡不归 130 针对练习 1.√2【解析】如解图，连接AP,过点A作AP'⊥BC于点 P',.AO+PQ≥AP≥AP',∴.AQ+PQ的最小值即为AP'的 长.AB=2,∠ABC=45°Ap- AB=√2，即AQ+PQ的 2 最小值为2. D PP C 第1题解图 第2题解图 2.B【解析】如解图，延长AC到点M,使CM=AC=3,连接 BM,DM,ME,过点M作ME'⊥AB于点E',由条件可知BC 是AM的垂直平分线，∴.AD=DM,.AD+DE=MD+DE≥ ME≥ME',当ME'⊥AB时取等号.∠ACB=90°，AC= 3,BC=4.AB =5.SAAm =2 AM.BC =2AB 130 中考能力 1 ME',2×6x4=2X5xME,解得ME'=4.8.AD+DE的 最小值是4.8. 3.4√5【解析】如解图，过点A作AT⊥BC于点T,过点M作 MH⊥BC于点H.·四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， 1 六∠DBC=2∠ABC=30,:MH⊥BC,∠BHM=90, MH=BM,AM+LBM=AM+MH≥AT,当AT⊥BC时 2 2 取等号，AT1BC,.∠ATB=90°，.AT=AB·sin60°= 454M+号BN≥45，AM+BM的最小值为45. aD M B 第3题解图 4.42【解析】如解图，过点A作射线AE,使得∠DAE= 30,过点P作PH1AB于点，连接BM,则PH=号PA, 1 PA+2PB=2(PB+2PA)=2(PB+PH),过点B作BF LAE 于点F,则PB+PH≥BH≥BF,即所求最小值为2BF的长 由题知∠BAD=15°，∠BAF=∠BAD+∠DAE=45°，： AB=4,.BF=22,.2BF=42,即PA+2PB的最小值为 42. 第4题解图 综合训练 185【解析】如解图，作点B关于AD的对称点，连接 5 B'A,BE,BF,则BE=BE,B',A,B三点共线，过点B'作 B'G⊥BD于点G,交AD于点H,则BE+EF=B'E+EF≥ B'F≥B'G,即当B',E,F三点共线，且B'F⊥BD时，BE+EF 的值最小，此时点E在点H处，点F在点G位置.·AB= 2,AD=4,.BB'=4,BD=25,∠BB'G+∠B'BG =∠B'BG+∠BDA=90°，∴.∠BB'G=∠BDA,∠B'GB= ∠DAB=90°，5△B'BG△DBA,DE=6,即4= 25 B'C,解得BG-85 4 二，即BE+EE的最小值为85身 B队 H 第1题解图 公备·数学