专题5 类型1 “两点之间，线段最短”的应用-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

专题五直线型（三角形、四边形）最值 版 类型1“两点之间，线段最短”的应用 考法①直线异侧两定点+直线上一动点 针对练习' 1.[2024滨州改编]如图，四边形AOBC 点P是直线m上一动点，定，点A,B分别在m 四个顶点的坐标分别是A(-1,3), 问题 两侧，连接AP,BP,在图中画出AP+BP最小时 0(0,0),B(3,-1),C(5,4),在直线 点P的位置 OC上找一点P,使PA+PB的值最 1定点A 定点A 小，则P点坐标为 图示 P 动点P m m 定点B 定点B 总结 异侧两定，点，连线定位置 考法2利用轴对称转化— 将军饮马问题 ◆同侧两定点+定直线上动点 2.[2024成都]如图，在平面直角坐标系 x0y中，已知A(3,0),B(0,2),过点 ,点P是直线m上一动点，定点A,B均在m同 B作y轴的垂线1，P为直线1上一动 问题 侧，连接AP,BP,在图中画出AP+BP最小时点 点，连接PO,PA,则PO+PA的最小值 P的位置 为 定点A 定点B 定点A 定点B 图示 专题 动点P 定点B 总结 同侧两定点，对称化两边，连线定位置 直 ◆角内定点与角两边周长最值 3.[2024绥化]如图，已知∠A0B=50 定点A在∠MOW内，点P和点Q分别在ON, (三角 点P为∠AOB内部一点，点M为射 问题 OM上运动，在图中画出△AQP周长最小时点 线OA、点N为射线OB上的两个动 四 P,Q的位置 点，当△PMW的周长最小时，则 边 定，点A,M ∠MPW= M 最 动点Q, 定点A 定点A 图示 动点P 定，点A) 总结 分别两边作对称，连线与边交，点定位置 中考能力必备·数学 31 一战成名目 定点A,B在∠MON内，点P和点Q分别在 4.如图，点A在y轴上，G,B两点在x 问题 ON,OM上运动，在图中画出四边形ABPQ周 轴上，且G(-3,0),B(-2,0),HC与 长最小时点P,Q的位置 GB关于y轴对称，∠GAH=60°，P,Q 分别是AG,AH上的动点，则BP+PQ+ 么 定点A1M 动点Q 定点A 定点A CQ的最小值是 () 图示 定点B 定点B 动，点P 定点B 总结 分别两边作对称，连线与边交点定位置 G B O C H x 考法③利用平移转化—定长线段移动问题 A.6 B.7 C.8 D.9 ◆动线段（定长）与一定点线段和最值 长度为a的线段PQ在直线m上运动，点A是 问题 m上方一定点，在图中画出当AP+AQ最小时 5.如图，O为矩形ABCD对角线AC,BD 线段PQ的位置 的交点，AB=8,M,N是直线BC上的 动点，且MN=2,则OM+ON的最小 定点A 定点A 值是 图示 a m 动点P 动，点P动，点Q 动，点 B 总结 先找定点对称点化为异侧，再平移连线定位置 专题五 ◆动线段（定长）与异侧两定点线段和最值 6.如图，正方形ABCD的对角线上的两 长度为a的线段PQ在直线m上运动，点A,B 问题 是m两侧的定，点，在图中画出当AP+BQ最小 个动点M,N,满足AB=√2MW,点P 时线段PQ的位置 是BC的中点，连接AN,PM,若AB= 直线型（三角 6,则当AN+PM的值最小时，线段AN 定点A 定点A定，点A 的长度为 图示 定长动线段PQ P P a0 m 边形最 定点B 定点B 总结 平移一四点化三点，异侧连线定位置 A.4 B.25C.6 D.35 ◆动线段（定长）与同侧两定点线段和最值 长度为a的线段PQ在直线m上运动，点A,B 7.如图，在平面直角坐标系x0y中，四 问题 是m同侧的定，点，在图中画出当AP+BQ最小 边形OABC为矩形，B,D两点坐标分 时线段PQ的位置 别为B(-4,6),D(0,4),线段EF在 32 中考能力必备·数学 一战成名目 续表 边OA上移动，保持EF=3,当四边形 定点A 定点A定点A 定点A定，点A BDEF的周长最小时，点E的坐标 定点B 定点B 定点B 图示 为 B 总结 先对称再平移，异侧连线定位置 ◆平行线两侧两定点（造桥选址）】 A H 已知m∥n,m与n间的距离MN=a,点A,B是 问题 两个定点，在图中画出当AW+BM取最小值时 8.[人教八上P86问题2改编]如图，在河 MN的位置 的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千 定点A 定点A 米，A,B两村庄相距10千米，A,B两 Nn 图示 定，点AW 村庄到河岸的距离分别为1千米、3 M m MM m 千米，计划在河上修建一座桥MN垂 定，点B 定点B 直于两岸，点M为靠近A村庄的河 总结 平移定长得定点，连线交点定位置 岸上一点，则AM+BN的最小值为 千米 考法④构造全等三角形— 逆等线段最值 A M 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P,Q分 问题 别在AC,BC上，AP=CQ,在图中找出AQ+BP 取最小值时，点Q的位置 B 9.[2024兰州节选]如图，在△ABC中， AB=AC=4,∠BAC=90°，连接BN, 图示 CM,且AW=BM,则BN+CM的最小 专 值为 五 结合等线构造全等，两动点化为一直线两侧两 总结 直 定点，连线确定最小值 B4 考法⑤利用旋转转化—费马点(Y字型) 10.[2025广东广州模拟]如图，等腰 △CAB中，CA=CB=13,点P为三 (三角 点P是锐角△ABC内一点，连接AP,BP,CP, 问题 在图中画出当AP+BP+CP取得最小值时的等 角形内一点，连接PA,PB,PC.若 四 AB=10,则PA+PB+PC的最小值 边 价线段 为 最 图示 60o 总结 旋转60°，三线共线取最小 中考能力必备·数学 33 一战成名目 综合训练 1.[2025南充]如图，AB是⊙0的直径，AD⊥AB于点A,OD交⊙0于点C,AE⊥OD于点E,交⊙0于 点F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF的最小值是 () A.4 B.27 C.6 D.43 第1题图 第2题图 2.[2023南通]如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,则AD+BC的最小 值是 3.如图，正方形ABCD的边长为3，E,F是对角线BD上的两个动点，且EF=√2，连接CE,CF,则 △CEF周长的最小值为 D M E 第3题图 第4题图 4.[2024陕西西安模拟]如图，在矩形ABCD中，AB=60,点F,E分别在AD,BC上，AF=BE=80,FD= CE=40.半径为10的⊙0在线段EF上移动，并与EF交于点M(M在圆心0的下方，圆心0在 专 题五 EF上)，N为⊙0上任意一点，连接AN,CM,则AN+CM的最小值为 5.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E,F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且 直 EF=1,则DE+BF的最小值为 线型（三角 OR\ 边 第5题图 第6题图 第7题图 值 6[2024新疆如图，抛物线y了-4+6与y辅交于点A.与：轴交于点B,线段CD在抛物线的对 称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 7.[2025内江]如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=2√2，点D,E,F分别是边BC,AB,AC上 的动点，则△DEF周长的最小值是 34 中考能力必备·数学 一战成名目 8.[2024宜宾]如图，在□ABCD中，AB=2,AD=4,E,F分别是边CD,AD上的动点，且CE=DF当 AE+CF的值最小时，则CE= B 第8题图 变式题图 变式如图，在□ABCD中，AB=2,AD=4,∠B=60°，E,F分别是边CD,AD上的动点，且CE= DF.连接EF,则EF的最小值为 9.如图，在矩形ABCD中，AE=1,ED=2,DC=2,点F是DC的中点，G,H分别是BC,AB边上的动 点，则四边形EFGH周长的最小值为 E A D D B G B C 第9题图 第10题图 如图，在边长为8的菱形ABCD中，sinD=P为BC上方一点，且SaPc=S形w,则△ 周长的最小值为 11.[2024泸州]如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点，且满足 AB=BF,4F与DE交于点0，点M是DF的中点.G是边MB上的点，AG=2GB,则0M+FC的 最小值是 () 专题 第11题图 备用图 线型 A.4 B.5 C.8 D.10 12.如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+ (三角 MD+ME的最小值为 D 边形最值 E 第12题图 第13题图 13.如图，E为□ABCD外一点，且满足∠EDC=90°，DE=DC=4,AD=√3，∠DAB=60°.若点M,N分 别在线段AB,CD上，连接MN,当MN∥BC时，连接EM,EN,则EM+EN的最小值为 中考能力必备·数学 35 一战成名目 14.多解法[2025连云港]如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段AC上的动点，四边形 DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 第14题图 备用图 15.[2024甘南州节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)交x轴于A,C两点， 交y轴于点B,50A=0B=OC. (1)求抛物线的表达式： (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M,使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标. 2 第15题图 备用图 专题五 直线型（三角形、四边形）最值 36 中考能力必备·数学BC,∠ACF=∠CBN=90°，.△ACF≌△CBN,.CF= BNAC=2CH,an∠Car=CE-C-)设GF=,则 AE AC2 AC=BC=2x,AE=2CE,由勾股定理得AE2+CE=AC2,即 5*AB=4 (2CE)+CE=(2x),CE-2 5.'∠BCW= 4 ∠CMF..tan∠BCN三，同理可得EP=5x,CP=S .BP=BC-CP= *BE=EP+BP2/10.AE 6 5x,BE 45 =√2. 2√10 5 -1M PF B 第4题解图① 第4题解图② 多解法。 解法二：过点B作BF⊥ED交ED的延长线于点F,如解 图②，：AE⊥CD,BF1ED,.∠AEC=∠CFB=90°，AE∥ BF,∠ACE+∠CAE=90°，.·△ABC为等腰直角三角形，且 ∠ACB=90°，.AC=BC,∠ACE+∠BCF=90°，∴.∠BCF= I∠CAE=∠BCF, ∠CAE,在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB, AC=CB, △ACE≌△CBF(AAS),.CE=BF,AE=CF,:AE∥ BF,.△ADE△BDF,∴.BF:AE=DB:AD=1:2,设BF= x,AE=2x,..CE=BF=x,CF=AE=2x,..EF=CF-CE= 2x-x=x,在RL△BEF中，由勾股定理，得BE= Vm崇合产反 5.B【解析】如解图，过点F分别作FH⊥BG于点H,FK⊥ BC于点K,.BF平分∠CBG,∠KBH=90°，∴.四边形BHFK 是正方形，·DE⊥EF,∠EHF=90°，.∠DEA+∠FEH= 90°，∠EFH+∠FEH=90,.∠DEA=∠EFH,.∠A= ∠EHF=90°△DAE∽△EHF,E=:正方形AB CD的边长为3，BE=2AE,.AE=1,BE=2,设FH=a,则 专题五直线型（三 类型1“两点之间，线段最短”的应用 针对练习 1(08 (9,9)【解析】如解图，连接AB交0C于点P',两点 之间线段最短，：.PA+PB的最小值就是线段AB的长，此时 点P'位置即为P点坐标.设直线OC的解析式为y=x(k≠ 中考能力以 一战成名目 3=,解得a=1,即FH=BH=1.FK上 BH=a,2a a DC CB,DC⊥CB,.DC∥KF,.△DCW△FKW,. FK BC=3,BK=1,CK=2,设CN=b,则NK=2-6, CN 是解得6=即CN=号∠A=人5BN,∠4n 3b ∠BE△40E△B品品子解得 BM= MN=BC-CN-BM=3-32-5 2 236 B HG 第5题解图 6.90【解析】如解图，延长BE至点M,使FM=AF,连接 AM,CM,取FM的中点N,连接CW,易得△ABD≌ △BCE,∠AFE=∠BAF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=6O°，. 考答 △AFM是等边三角形，.∠FAM=60°，AF=AM=FM,. ∠BAC=∠FAM=∠AMF=60°，∴.∠BAC-∠CAD=∠FAM- 写 ∠CAD,即∠BAF=∠CAM,.:AB=AC,AF=AM,.△ABF≌ 重 △ACM,.∠AFB=∠AMC=180°-60°=120°，.∠CME= 难 ∠AMC-∠AMF=120°-60°=60°，.∠AFM=∠CME,. 解 CM CE CM/AF,△AEF∽△CEM,AF=AECD=2BD,BD= 析 、CM CECE BDBD1 CE,BC=AC,AFA花FAC-CEBC-BDCD2,即 AF=2CM,.FM=2CM,点N是FM的中点，.FM= 2MN,.CM=MN,又：∠CMW=60°，.△CMN是等边三角 123 形，.∠MCW=∠MNC=60°，CW=MW,.CN=FY, ∠NFC=∠NCF=30°，.∠AFC=∠AFM+∠NFC=60°+ 30°=90°. D 第6题解图 角形、四边形)最值 0),直线AB的解析式为y=ax+b(a≠0)，点C(5,4)在直 线0C上，点A(-1,3),B(3,-1)在直线AB上，.4=5k, -+b=3,解得k=5,6=2’直线0C的解析武为y归 (3a+b=-1, 备·数学 123 一战成名 5,直线AB的解析式为y=-x+2,联立 5,解得 y=-x+2, 10 9 8 .点P的坐标为(g9 ,108 y= 9· 第1题解图 第2题解图 2.5【解析】如解图，作点A关于直线1的对称点A',连接 AA',PA',OA'交直线1于点P',P0+PA=P0+PA'≥OA',当 点P与点P'重合时等号成立，即PO+PA取最小值， A(3,0),B(0,2),∴A'(3,4),.0A=3,A4'=4,在 考答 Rt△0A4'中，OA'=√OA+AAF=5,P0+PA的最小值 为5. 3.80°【解析】如解图，作点P关于OA的对称点E,连接 EO,EM,.EM=MP,∠MPO=∠MEO,∠EOM=∠POM,作 难 点P关于OB的对称点F,连接WF,OF,.PN=FW ∠OPW=∠OFN,∠PON=∠OW,.∴.PM+PN+MN=EM+ NF+MW≥EF,.当E,M,W,F四点共线时，△PMW周长最 析 小，又：∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠POW+∠NOF ∠AOB=∠MOP+∠PON,.∠EOF=2∠AOB,又.∠AOB= 50°，·.∠E0F=100°，在△E0F中，∠OEM+∠ON=180° 100=80°，.∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,∴.∠MPO+ ∠OPN=80°，即∠MPW=80°. 124 B'P GMBO CH 第3题解图 第4题解图 4.B【解析】如解图，分别作B,C关于AG和AH对称的点 B',C,连接BB',CC,BC',记BC分别交AG,AH于点 P,Q,则此时BP+PQ+CQ的值最小，为B'C的长，易得 B'C∥x轴，·HC与GB关于Y轴对称，.GO=HO,BO= C0,AG=AH,B',C关于y轴对称，.∠GAH=60°，.△AGH 为等边三角形，.∠AG0=60°，B'C∥x轴，B,B关于AG 对称，.∠BPG=∠B'PG=∠PGB=60°，.△BPG为等边三 角形，过点P作PM⊥G0于点M,设PQ交y轴于点N.G (-3,0),B(-2,0),.BG=1,B0=2,∴PB=PB=BG=1, a=G-分Bp4PN=BP+MB+B0=1+ C'Q+QN,.BP+PQ+CQ的最小值为7. 5.2√7【解析】如解图，作点0关于BC的对称点P,连接 124 中考能力母 PM,将MP沿着MW的方向平移MW长的距离，得到NQ,连 接PQ,则四边形MNQP是平行四边形，.MW=PQ=2, PM=NQ=M0,.0M+0N=QW+0N,当0，N,Q三点在同一 直线上时，OM+OW的最小值等于OQ的长，连接P0,交BC 于点E,由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP,又矩形 ABCD中，OB=OC,.E是BC的中点，.∴.OE是△ABC的中 位线50E=)AB=4,0P=2x4=8,又PQ/MN,园 PQ10P,.在Rt△0PQ中，0Q=√0p2+PQ=√82+2 =2√17，.0M+0W的最小值是2√17. 户Q B 第5题解图 第6题解图 6.B【解析】如解图，过点P作PE∥BD交CD于点E,连接 AE交BD于点N,P是BC的中点，.E为CD的中 点PE=之BD,:在正方形ABCD中，AB=BD,AB= 2 MN.:.MN=)BD,PE=MN,四边形PEM是平看 四边形，∴EN=PM,易得此时AW+PM的值最小，且为AE 的长，在R1△ADE中，AE=√AD+DE=35,:AB∥ CD.a△ABNAEDN..2.即35-2.解得 EN EN=√5，∴.AN=25. 7.(号，0）【解折1如解图，在C上我取M=3,作点D关 于x轴的对称点D',连接DH交AO于点E,.BH=EF= 3,四边形OABC为矩形，.BC∥AO,.四边形BHEF是平 行四边形，BF=EH,D(0,4),点D与点D'关于x轴对 称，.DE=D'E,点D'坐标为(0，-4)，四边形BDEF的周长 为EF+BF+BD+DE=EH+ED'+BD+EF,:EF和BD是定 值，当EH+DE最小时，四边形BDEF的周长最小，当 点E,H,D'共线时，EH+D'E有最小值，B(-4,6), .H(-1,6),设直线D'H的解析式为y=x+b(k≠0)，则 仁6解行公仁0直线出的解有式为了 -10-4,当y=0时=号B( 20 D' 第7题解图 8.2√JI3【解析】如解图，连接AB,作BB'垂直于河岸，使 备·数学 BB'等于河宽，连接AB',与靠近A的河岸交于点M,作MW 垂直于另一条河岸，则MWBB且MN=BB,则四边形MN BB'为平行四边形，故MB'=BN.过点A作AC⊥BB'交BB 的延长线于点C,:AM+BN=AM+B'M≥AB',.AM+BW的 最小值为AB的长.AB=10千米，BC=1+3+4=8(千 米)，.在Rt△ABC中，AC=√AB-BC=6(千米)，在 Rt△AB'C中，BC=BC-BB'=4(千米)，.AB'= √AC+B'C=2√I3(千米)，.AM+BW的最小值为2√3 千米 G85s-- B 第8题解图 第9题解图 9.45【解析】如解图，过点A作∠BAG=45°，使AG=CB,连 接GM,GC,BG,GC交AB于点O,·AB=AC=4,∠BAC= 90°，.∠ABC=∠ACB=45°，.∠GAM=∠BCV=45°， AN=BM,.AM=CN,又.：AG=CB,∴.△GAM≌△BCN (SAS),∴.GM=BW,∴.BW+CM=GM+CM≥CG,∴.当G,M,C 三点共线时，BW+CM的值最小，最小值为CC的长，： ∠GAM=∠ABC=45°，.AG∥BC,又AG=CB,.四边形 GBCA是平行四边形，∴.G0=C0,B0=A0,AB=4,∴A0= 2,.0C=√0A+AC=25,.GC=4√5，即BW+CM的最小 值为45. 10.12+5√3【解析】如解图，将△ABP绕点A逆时针旋转 60得到△AMW,点B的对应点为M,点P的对应点为 N,连接PN,BM,过，点C作CH⊥AB于点H,连接MH,由旋 转的性质得AN=AP,AB=AM,MN=PB,∠PAN=∠BAM= 60°，.△APN和△ABM均为等边三角形，.PN=PA, AM=BM=AB=10,.PA+PB+PC=PN+MN+PC,在△ABC 中，CA=CB=13,AB=10,CH⊥AB于点H,.BH=AH= 号4B=5,∠C8=90,在△C8中，由勾股定理得 CH=√BC2-BH=√32-了=12，：△ABM是等边三角 形，BH=AH=5,.MH⊥AB,.∠MHB=90°，.∠CHB+ ∠MHB=180°，点C,H,M在同一条直线上，.CM=CH+ MH,在Rt△MBH中，由勾股定理得MH=√BMP-BH= √10-5=55，.CM=CH+MH=12+55,根据“两点之 间线段最短”得PN+MN+PC≥CM,.PA+PB+PC≥CM,即 PA+PB+PC≥12+5W3,..PA+PB+PC的最小值为12+ 53. 第10题解图 中考能力 一战成名目 综合训练 1.C【解析】如解图，连接OF,作点F关于AB的对称点 M,连接OM,PM,易证得△AOE≌△FOE,PM=PF,又：F 是BC的中点，.∠AOC=∠COF=∠FOB=∠BOM= 60°，.∠F0M=120°，..∠F0M+∠C0F=180°，..E,0,M 三点共线..PE+PF=PE+PM≥EM,当点P位于点O处 时，PE+PF的值最小，最小值为EM的长，.·∠AOC= 60°，AD⊥AB,∴.∠D=30°，.OD=20A,.:CD=4,∴.OD= 0C+4=20A=20C,即0C=4,0A=0M=4,:AF⊥0C, ∠A0C=60°，∴.OE=- OA=2,.PE+PF的最小值EM= 0E+0M=2+4=6. H M B 第1题解图 第2题解图 参考 2.2√13【解析】如解图，过点C作CE∥AD,使CE=AD,连接 BE,DE,则四边形ACED为平行四边形，.DE=AC=4,DE∥ 案与 AC,AC与BD互相垂直，.DE⊥BD,在Rt△BDE中， 重 难 BE=/BD+DE2=2√13，.·.AD+BC=CE+BC≥BE= 2√3，即AD+BC的最小值是2√3. 解 3.√2+2√5【解析】如解图，连接AE,AC,以AE,EF为邻边作 平行四边形AEFG,则AG∥EF,AE=FG,EF=AG=√2， AC⊥BD,.∠GAC=90°，.·AB=CB,∠ABE=∠CBE,BE= BE,.△ABE≌△CBE(SAS),.CE=AE=GF,.CE+CF= GF+CF,.当G,F,C三点在同一直线上时，CF+FG的最小 125 值等于CG的长，在Rt△ACG中，CG=√AG+AC= √(2)2+(32)2=25，·.CF+CE≥25，又：EF= √2，.△CEF周长的最小值为√+25. D 第3题解图 第4题解图 4.120【解析】如解图，将点C向上平移10个单位长度得到 C',连接AC',易得当点A,O,C',N四点共线时，AN+CM的 值最小，为AC-I0,四边形ABCD为矩形，.AB=CD= 60,CC'=10,.DC=50,又AF=BE=80,FD=CE= 40,∴.AD=120,.AC'=√120+50=130，.AW+CM的最 小值为130-10=120. 5.√IO【解析】如解图，过点D作DM∥AC,使得DM=EF= 备·数学 125 一战成名目 1,连接BM交AC于点F,连接BD,.:DM=EF,DM∥ EF,.四边形DEFM是平行四边形，.DE=FM,.DE+ BF=FM+FB=BM,根据两点之间线段最短可知，此时DE+ FB的值最小，：四边形ABCD是菱形，AB=3,∠BAD= 60°，.AC⊥BD,AD=AB,.DM⊥BD,△ABD是等边三角 形，.∠BDM=90°，BD=AB=3.在Rt△BDM中，BM= √DM+BD=√+3=√I0,.DE+BF的最小值 为10. 第5题解图 6.(4,1)【解析】如解图，作A点关于对称轴的对称点A',A' 向下平移3个单位得到A”,连接A"B,交对称轴于点C,此 时10+BC的值最小，最小值为B的长，在y=之-+6 参考答案与 中，令x=0,则y=6点A(0,6),令y=0,则-4+6 0,解得x=2或x=6,:点B在抛物线对称轴左侧，.点B (2,0,抛物线的对称轴为直线x=千=4小(8， 2× 题解 6),∴A"(8,3),设直线A"B的解析式为y=+b,代入A”,B (8k+b=3, k=- 1 的坐标得 解得 2’.直线A"B的解析式为 (2k+b=0. b=-1, y=2-1,当x=4时，y=1…C(4,1). 126 D D 第6题解图 第7题解图 7.23【解析】如解图，作点D关于AB,AC的对称点N, M,连接AM,AW,EN,FM,MN,AD,.△DEF周长为DE+ EF+FD=NE+EF+FM≥MN,当N,E,F,M四点共线时取得 最小值，N,M是点D关于AB,AC的对称点，.∠NAE= ∠EAD,∠FAD=∠FAM,AN=AD=AM,又.：∠EAD+ ∠FAD=45°，∴.∠NAM=∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM= 90°，.△AMN是等腰直角三角形，.MWN=√2AN= √2AD,·.当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最 小，又∠B=60°，AB=22,AD=AB·sin60°=22× 2 =6,△DEF周长最小值为2AD=2x6=23. 【解析】如解图，延长BC至点H,使CH=CD,连接 126 中考能力 EH,四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC=4,AB= CD=2,CD∥AB,AD∥BC,.∠D=∠DCH,又CD=CH DF=CE,.∴.△CDF≌△HCE,.CF=EH,.AE+CF=AE+ EH,.当A,E,H三点共线时，AE+CF有最小值，CD∥ CH CE 2 CE B心△CEH△BAH.2+42CEs3 3 D C H 第8题解图 变式1【解析】如解图，过点E作EG∥DF,且EG= DF,连接DG,作射线CG..四边形EGDF是平行四边 形，∠DEG=∠ADC,.EF=DG,·四边形ABCD是平行四 边形，∠DEG=∠ADC=∠B=60°，CD=AB=2.CE= 1 DF,CE=EG,.∠ECG=∠EGC=7∠DEG=30°，要使EF 最小，则需DG最小，即当DG⊥CG时，DG最小，此时DG= 2CD=1:EF的最小值为1. 变式题解图 9.5+√5 思维构建) 观察图形可知，在四边形EFGH中，点E,F为定点，点G,H为 动点，本题符合两动点两定点四边形周长最值这一类型，只 需作点E关于AB的对称点E,点F关于BC的对称点F',求 出EF的长即可得到四边形EFGH周长的最小值. 【解析】如解图，作点F关于BC的对称点F',作点E关于 AB的对称点E',连接EF'交BA于点H,交BC于点 G,.FG=FG,EH=EH,.四边形EFGH的周长为EF+ FC+GH+HE=EF+F'G+GH+HE'≥EF+E'F',∴.当E',G, H,F四点共线时，四边形EFGH的周长有最小值，·AE= 1,ED=2,.AD=3,AE'=1,.DE'=4,DC=2,点F是DC 的中点，.CF=DF=1,.CF=1,.DF'=3,在Rt△DEF 中，E'F'=√DE2+DF7=√4+32=5，在Rt△DEF中， EF=√DE+DF产=√2+1下=√5，.四边形EFGH周长的 最小值为E'F'+EF=5+√5. E-- H 第9题解图 10.8+45【解析】如解图，过点C作CH⊥AD于点H,过点 P作PG⊥BC于点G,·四边形ABCD是边长为8的菱 备·数学 形，sinD=1 1 ..CH=CD sinD =8x4 Samc= 1 1 1 4SEa2×8PG=4×8×4,PG=2,即点P在到BC 4 的距离等于2且平行于BC的直线1上运动，作点B关于1 的对称点B,连接B'P,BC,则PB'=PB,BB'=2PG=4, △PBC的周长=BC+PB+PC=8+PB'+PC≥8+B'C,在 Rt△B'BC中，由勾股定理，得B'C=√B'B+BC= √4+8=45，.△PBC周长的最小值为8+45. B AH B GC 第10题解图 11.B【解析】.·四边形ABCD是正方形，.AD=AB=BC= CD=6,∠DAB=∠ABC=90°，又.AE=BF,∴.△ADE≌ △BAF,.∠ADE=∠BAF,.∠DOF=∠ADO+∠DAO= ∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，点M是DF的中点， OM=号DF,如解图，作点G关于BC的对称点H,连接 FFG..GDDF HF),.当H,D,F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时 0M+2FC有最小值，最小值为DH长的-半，：AG= 2GB,AB=6,.BH=BG=2,.AH=8,在Rt△ADH中，由勾 股定理得DH=√AD+AH=10.0M+2G的最小值 是5. E G B H 第11题解图 12.4+35 思维构建。 遇“求三条Y字型的线段和的最小值”时，想“费马 点”，利用旋转转化线段的位置，多为旋转60°.本题中将 △AMD逆时针旋转60°得到△AMD',连接MM',结合旋 转和等边三角形的性质将问题转化为求EM+MM+MD' 的最小值，当这三条线段在一条直线上且DE⊥BC时， EM+MM'+M'D'的值最小. 【解析】如解图①，将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到 △AM'D',连接MM',DD',由旋转的性质可知，MD= M'D',△ADD'和△AMM'均为等边三角形，.AM= MM'∴.MA+MD+ME=MM'+D'M'+ME,.当点D',M', M,E四点共线且D'E⊥BC时，MA+MD+ME取得最小 值，如解图②，设此时D'E交AD于点G,.·△ADD'为等边 三角形，D'E⊥BC,四边形ABCD为矩形，.AG=)AD= 中考能力义 一战成名目 2BC=3,AD'AD BC 6.EG AB 4,.GD' √(AD)2-AG=√6-3=3√3，D'E=EG+GD'=4+ 3√3，.MA+MD+ME的最小值为4+3√3. D D M' M E E 图① 图② 第12题解图 13.√9T【解析】如解图，作点E关于AB的对称点E',连接 ME',过点E'作EGMN,使EG=MN,连接GN,EG,易得 四边形MNGE'是平行四边形，则EM=E'M=NG,∴.EM+ EW=NG+EW≥EG,即EM+EW的最小值为EG的长.过点 G作GH⊥EE'于点H,设EE交AB于点F,:点E与E关 参 于AB对称，.EE'⊥AB,EF=E'F,.∠ADF=90°- 答 ∠DAB=30,DF=F 2EF=EF=ED+DF= 写 ,:四边形ABCD为平行四边形MN/BC,.E"G/MNM 11 重 难 AD,E'G=MN=AD=V3,.∠GE'H=∠ADF=30°，∴.HG= 解 80-B-8G=m=8f-B=4 析 EM=EF+FH=9在R△BGH中，EG=VEHG √91，即EM+EW的最小值为√91. 127 F 第13题解图 14.√13【解析】解法一：如解图①，过点B作MNAC,作点 E关于直线MN的对称点E',连接BE',由对称性得BE= BE,.BE+BF=BE+BF≥EF,当且仅当E',B,F三点共 线时，BE'+BF取得最小值EF,设AC与BD交于点O, EE交MW于点H,延长E'E交FD延长线于点G,在菱形 ABCD中，AC=4,BD=2,A0=2AC=2,B0=D0= D=1,AC⊥BD,易证得四边形E0BH,四边形D0EC 为矩形，.GD=E0,GE=D0=EH=OB=1,·四边形DAEF 备·数学 127 一战成名目 为平行四边形，.DF=AE,.GF=GD+DF=EO+AE=AO= 2,GE'=GE +EH+E'H=3,..E'F=GF2+CE= √2+3=√3，即BE+BF的最小值为√3 B 图① 图② 第14题解图 多解法、 解法二（思路）：如解图②，连接CF,可证得四边形EBCF 是平行四边形，则CF=BE,则将问题转化为求BF+CF的 最小值，作点C关于直线DF的对称点C',BF+BE= BF+CF=BF+C'F≥BC',当且仅当B,F,C三点共线时取 等号，即此时BF+BE有最小值，最小值为BC的长 15.解：(1)令x=0,则y=-5,.B(0,-5),.0B=5, 参考答案与 50A=0B=0C,∴.0A=1,0C=5, 点A,C的坐标分别为(1,0)，（-5,0)， 设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x+5)=a(x2+4x-5), 将点B(0,-5)代入，得a=1, 故抛物线的表达式为y=x2+4x-5; (2)如解图，连接BC交抛物线的对称轴于点M,此时 题解 △ABM的周长最小， △ABM的最小周长为AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC. 由(1)得点C(-5,0),B(0,-5), .设直线BC的表达式为y=x+b (k≠0)， 代人得56+h=0 解得1， （b=-5, (b=-5 128 .直线BC的表达式为y=-x-5, 由抛物线的表达式知，其对称轴为直 第15题解图 线x=-2, 当x=-2时，y=-x-5=-3, .点M的坐标为(-2，-3). 类型2“垂线段最短”的应用—定直线作垂直 针对练习 12【解析】如解图，当DE⊥AB时，线段DE最小.：∠C= 90°，∠B=30°，.∴∠CAB=60°，.·AD平分∠CAB,.CD= DE,∠CAD= F2×60°=30.在R△ABC中，anB=4 C.. AC-3 ×6=25.在R△ACD中，lan∠CAD= AC.CD= 号×25：2DE2,即线段DE的最小值为 第1题解图 128 中考能力 2.4.8【解析】解法一：如解图①，过点B作BD⊥AC于点 D.·四边形PAQB为平行四边形，.AP∥QB,.线段PQ最 小值即为PQ⊥AC时的长度.：∠ABC=90°，AB=6,BC= 84G=Vmc=0:Se-4B.Bc=4C BD,BD=AB·BC AC 4.8,BQ与AC之间的距离为 4.8,即PQ最小值为4.8. 图① 图② 第2题解图 多解法。 解法二：如解图②，设PQ与AB交于点M,过M作MN1 AP于点N,.∠ANM=∠ABC=90°，∠MAN= ∠CAB,·.△AMN∽△ACB,.MN:CB=AM:AC, ∠ABC=90°，AB=6,BC=8,..AC=√/AB2+BC2=10,.四 边形PA0B是平行因边形，AM=B=3,P0 2PM,.MW:8=3:10,.MN=2.4,.PM≥MN,.P0≥ 2MN=4.8,..PQ的最小值是4.8. 3.2【解析】如解图，当点D从B运动到C时，点E从E,运 动到E2,E为AD的中点，.E1,E,分别为AB,AC的中 点，即EE,为△ABC的中位线，E,E,=7BC=2·点E 的运动路径长为2 D 第3题解图 4.1【解析】将△BEF绕点E顺时针旋转90得到△HEG,如 解图①，延长HG交CD于点N,.BE=HE=1,BF=HG ∠B=∠H=∠BEH=90°，.HG∥BC,∴.点G在平行于 BC,且与BC的距离为1的射线HW上运动，如解图②，当G 运动到N,即CG⊥HG时，CG有最小值，·∠HEC=∠C= ∠EHN=90°，.四边形EHNC是矩形，.HE=CG=BE= 1,.CG的最小值为1. (G 图① 图② 第4题解图 5.25【解析】解法一：如解图①，过E作EM⊥BC于点 M,过点M作MH⊥AB于点H,连接MG,过点A作AP⊥ 备·数学