专题4 模型5 十字模型（含弦图模型）-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

一战成名目 模型5十字模型（含弦图模型） 1.正方形中的十字及其衍生图 基本图 进阶图1（构图方法不唯一） 进阶图2（构图方法不唯一）】 D F 辅助线 Q辅助线 G G E B B B △ABE≌△BCF △FME≌△BCP △FME≌△PNQ 基本图 进阶图1（构图方法不唯一） 进阶图2（构图方法不唯一） D D Q AE AB EF FM AB EF FM AB BD AD BD ADAD PO PN AD 2.等腰直角三角形中垂直十字问题一可转化为正方形思考 专题四 图示 结论 DCM BE (证明思路：补成正方形后△CFM AM AB ∽△ABM,△ABE≌△BCF); 考常考 ②当BE=CE时，OC平分∠EOM 注：此种情况结论较多，学生可以自行探讨 3.正方形十字的衍生图—弦图 类型 内弦 外弦 D D D 图示 四边形MNPQ是正方形； 四边形EFGH,AMNP,CQWT是正方形； 结论 AM=MN+CN BE+BF=AB;BM=CQ,CN平分∠DCQ 中考能力必备·数学 29 一战成名目 针对练习 1.[2024甘南州改编]如图，在矩形ABCD中，∠DBC=30°，点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE ⊥BD,则SE的值为 BD H BL E 第1题图 第2题图 第3题图 2.多解法[2024南充改编]如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵 爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.在正方形ABCD中，AB=10.若 Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则FG的长为 3.[2024泸州改编]如图，已知正方形ABCD的边长是7，点E,F分别在BC,CD上，BE=CF=2,BF与 AE相交于点G,点H为AF的中点，连接GH,则GH的长为 () A.26 B.53 2 (. D.29 2 4.多解法如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且AD=2DB,连接CD,过点A作 A4极1Cn于点R.连接R,则的值是 () 题四 考常考 第4题图 备用图 模型 A.√2 C.5 D.2 5.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE,过点E作DE的垂线交正 方形外角∠CBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于点N,则MN的长为() B.5 6 C.1 D.1 B4 B D 第5题图 第6题图 6.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，BD=CE,AD交BE于点F,连接CF.当CD= 2BD时，∠AFC= 30 中考能力必备·数学一战成名司 R△ECD'中，EC2+CD2=D'E2,CD'=3,CE=4,.D'E= 5,.DE=D'E=5. D C(B 第4题解图① 第4题解图② (2)证明：如解图②，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得 到△ADG, 则BE=DG,AE=AG,∠ADC=∠ABE=∠ADG=90, ∠BAE=∠DAG, .C,D,G三点共线， ·△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半， .EF=BE+DF=DG+DF=FG, 又AE=AG,AF=AF, .△AEF≌△AGF, .∠EAF=∠GAF=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE 又.∠EAF+∠FAD+∠BAE=∠BAD=90, ∴.∠EAF=45°： 考答案与 (3)解：EF2=2BE+2DF2.【解法提示】解法一：如解图 ③，延长FE交AB延长线于M点，延长EF交AD延长线于 N点，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△AGH,连接 HM,HE.过点H作HO⊥BC,交CB延长线于点O,.DF= 难 GH,AD=AG,∠BEM=∠CEF=45°，∠MBC=90°， 解 △BEM是等腰直角三角形，.BE=BM,∠AME=45°，同理 可证△DFW是等腰直角三角形，∴.DF=DW,∠AME=∠N= 45,∠BAD=90°，.AM=AN.AG=AD,.GM=DN= DF.由(2)易得△AEH≌△AEF,则AH=AF,EH=EF,在 Rt△H0E中，由勾股定理得OE2+OH=EH,即(OB+BE)2+ BG2=EH,即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH,又.EF= EH,DF=CH=GM,BE=BM,..(GH+BE)2+(BE-GH)2= 122 EF2,2(CH2+BE2)=EF2,2(DF2+BE2)=EF2,..EF2= 2BE2+2DF2 第4题解图③ 第4题解图④ 多解法。 解法二：如解图④，作△AEF的外接圆⊙0，连接OA, OE,OE,则∠EOF=2∠EAF=90°，OA=OE=OE= 2EF,∠0EF=L0FE=45°，又：∠CEF=45, ∠CE0=90°，.四边形CEOF为正方形，延长E0交AD于 点G,则四边形ABEG和四边形DFOG为矩形，.AG= BE,0G=DF,∠AG0=90°，在R1△AG0中，0A2=AG2+ 0G()F=BeF,年B=2BE42nN 122 中考能力 模型5十字模型（含弦图模型） 1 3 。【解析】如解图，设DB与CE交于点G,四边形AB CD是矩形，.∠A=∠EDC=∠BCD=90°，·∠DBC= 30°，.∠CDG=60°，BD=2CD,CE⊥BD,.∠DGC= CD 23 CE 90°，.∠DCE=30°，..CE= c0s300- 3 CD.BD 2 3C0 2cD=3 B 第1题解图 10/13 2. 【解析】解法一：Rt△ABG的面积是正方形EF 13 GH面积的3倍，2BG·AG=3FG.BG=AF=AG- FG之AG-FG)·AG=3FG,整理，得6FG+FG·AC 46=06(径+名-1=0.餐得瓷号（负值已合 AG'AG 去)，设FG=x,则AG=3x,BG=AF=2x,在Rt△ABG中， AG+6G=AB,即(3x)+(2x)=10,解得x-10下（负值 13 已舍去)，fG=103 13 多解法。 解法二：设FG=x,则SE方形C=x2+3x2·4=10,解得x= 13°（负值已舍去）. 10/13 3.C【解析】四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC= (AB=BC. ∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，了∠ABE=∠BCF, BE=CF. △ABE≌△BCF(SAS),∴.∠AEB=∠BFC,·.∠CBF+ ∠AEB=90°，.∠AGF=∠BGE=90°，点H为AF的中 1 点，CH=AE,:正方形ABCD的边长是7，BE=CF= 2,.AD=DC=7,DF=5,.AF=√AD+DF=√74，.GH= - 2 4.A【解析】解法一：如解图①，分别过点A,B作AC,BC的 垂线，两线交于点M,延长AE交BC于点F,延长CD交BM 于点N,过点E作EP⊥BC于点P.:∠ACB=∠CBM= o△CD△sN0长02AC 2BN..·∠ACB=90°，.∠ACE+∠BCN=90°，.·∠AEC= 90°，∴.∠ACE+∠EAC=90°，.∠EAC=∠BCN,又.AC= 备·数学 BC,∠ACF=∠CBN=90°，.△ACF≌△CBN,.CF= BNAC=2CH,an∠Car=CE-C-)设GF=,则 AE AC2 AC=BC=2x,AE=2CE,由勾股定理得AE2+CE=AC2,即 5*AB=4 (2CE)+CE=(2x),CE-2 5.'∠BCW= 4 ∠CMF..tan∠BCN三，同理可得EP=5x,CP=S .BP=BC-CP= *BE=EP+BP2/10.AE 6 5x,BE 45 =√2. 2√10 5 -1M PF B 第4题解图① 第4题解图② 多解法。 解法二：过点B作BF⊥ED交ED的延长线于点F,如解 图②，：AE⊥CD,BF1ED,.∠AEC=∠CFB=90°，AE∥ BF,∠ACE+∠CAE=90°，.·△ABC为等腰直角三角形，且 ∠ACB=90°，.AC=BC,∠ACE+∠BCF=90°，∴.∠BCF= I∠CAE=∠BCF, ∠CAE,在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB, AC=CB, △ACE≌△CBF(AAS),.CE=BF,AE=CF,:AE∥ BF,.△ADE△BDF,∴.BF:AE=DB:AD=1:2,设BF= x,AE=2x,..CE=BF=x,CF=AE=2x,..EF=CF-CE= 2x-x=x,在RL△BEF中，由勾股定理，得BE= Vm崇合产反 5.B【解析】如解图，过点F分别作FH⊥BG于点H,FK⊥ BC于点K,.BF平分∠CBG,∠KBH=90°，∴.四边形BHFK 是正方形，·DE⊥EF,∠EHF=90°，.∠DEA+∠FEH= 90°，∠EFH+∠FEH=90,.∠DEA=∠EFH,.∠A= ∠EHF=90°△DAE∽△EHF,E=:正方形AB CD的边长为3，BE=2AE,.AE=1,BE=2,设FH=a,则 专题五直线型（三 类型1“两点之间，线段最短”的应用 针对练习 1(08 (9,9)【解析】如解图，连接AB交0C于点P',两点 之间线段最短，：.PA+PB的最小值就是线段AB的长，此时 点P'位置即为P点坐标.设直线OC的解析式为y=x(k≠ 中考能力以 一战成名目 3=,解得a=1,即FH=BH=1.FK上 BH=a,2a a DC CB,DC⊥CB,.DC∥KF,.△DCW△FKW,. FK BC=3,BK=1,CK=2,设CN=b,则NK=2-6, CN 是解得6=即CN=号∠A=人5BN,∠4n 3b ∠BE△40E△B品品子解得 BM= MN=BC-CN-BM=3-32-5 2 236 B HG 第5题解图 6.90【解析】如解图，延长BE至点M,使FM=AF,连接 AM,CM,取FM的中点N,连接CW,易得△ABD≌ △BCE,∠AFE=∠BAF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=6O°，. 考答 △AFM是等边三角形，.∠FAM=60°，AF=AM=FM,. ∠BAC=∠FAM=∠AMF=60°，∴.∠BAC-∠CAD=∠FAM- 写 ∠CAD,即∠BAF=∠CAM,.:AB=AC,AF=AM,.△ABF≌ 重 △ACM,.∠AFB=∠AMC=180°-60°=120°，.∠CME= 难 ∠AMC-∠AMF=120°-60°=60°，.∠AFM=∠CME,. 解 CM CE CM/AF,△AEF∽△CEM,AF=AECD=2BD,BD= 析 、CM CECE BDBD1 CE,BC=AC,AFA花FAC-CEBC-BDCD2,即 AF=2CM,.FM=2CM,点N是FM的中点，.FM= 2MN,.CM=MN,又：∠CMW=60°，.△CMN是等边三角 123 形，.∠MCW=∠MNC=60°，CW=MW,.CN=FY, ∠NFC=∠NCF=30°，.∠AFC=∠AFM+∠NFC=60°+ 30°=90°. D 第6题解图 角形、四边形)最值 0),直线AB的解析式为y=ax+b(a≠0)，点C(5,4)在直 线0C上，点A(-1,3),B(3,-1)在直线AB上，.4=5k, -+b=3,解得k=5,6=2’直线0C的解析武为y归 (3a+b=-1, 备·数学 123