专题4 模型3 对角互补模型-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

一战成名目 ∴.AB=AC,AD=DE=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∴.∠BAD=∠CAE .·.△ABD≌△ACE .BD=CE, .AE=DE=BE-BD=BE-CE: (2)如解图，连接AF,BD,过点A作AG⊥DE于点G F是BC的中点，△ABC和△ADE是等边三角形， .AF⊥BC,.∠AFB=∠AGD=90°，∠ABF=∠ADG=60°， .△ABF∽△ADG, AB AD ∠BAF=∠DAG, AF AG' .·.∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF, .∴.∠BAD=∠FAG .△ABD△AFG, 第5题解图 ∴.∠ADB=∠AGF=90°， 由(1)得BD=CE CE=DE=AD. .AD=BD. .△ABD为等腰直角三角形， 参考答案 .∴.∠BAD=45°. 模型3对角互补模型 1.A【解析】如解图，连接BD,CD,BC是⊙O的直 重 径，∠BAC=∠BDC=90°，∴.∠ACD+∠ABD=180°，∴：AD 平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.BD=DC,.BD=CD,将 △ADC绕点D逆时针旋转90得到△A'DB,则A,B,A'三点 析 共线，.AB+AC=AB+A'B=AA',由旋转可知∠A'DB= ∠ADC,A'D=AD,.·.∠A'DA=∠A'DB+∠BDA=∠ADC+ ∠BDA=∠BDC=90°，.在等腰直角△A'DA中，sinA'= sin45=4D=2,4_4B+AC=2 120 A'∠-- D 第1题解图 2.A【解析】如解图，过点O作OW⊥AD,0M⊥CD,连接OD. 记OF交AD于点H,OE交CD于点G,:四边形ABCD是 菱形，点0是AC的中点，∠B=120°，.D0平分∠ADC, ∠ADC=∠B=120°，.0M=ON,∠0DC=∠0DA=60°， ∠ADC+∠H0G=180°，∴.∠NH0+∠DG0=180°，：∠DG0+ ∠MG0=180°，.∠NH0=∠MG0.在Rt△ONH和 ∠NHO=∠MG0, Rt△OMG中， ∠ONH=∠OMG,∴.Rt△ONH≌ ON=OM Rt△OMG,·.SAOH=S△OwG,.S四边形HoGD=S四边形owD三 2560∠00C=60,CD=AB=20D=CD=1, 0M=0C=30D=3,DM=00= 2,0M=3DM= 120 中考能力义 o-25=2x宁了号-车明影郁分 5 的面积为S形oP-Sa边形H0cw-36 *mx(3)25T5 0 4=24 第2题解图 3.3【解析】如解图，过点P分别作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC 于点R..∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，.四边形 PQBR是矩形，.∠QPR=90°=∠MPW,.∠QPE+∠MPR= ∠MPR+∠RPF=90°，.∠QPE=∠RPF,∴△PQE PQ=PE=2.PQ=2PR=280LABC △PRF,PRPF 90°，AB=3,BC=4,.AC=5,PQ∥BC,.△AQP △ABC,.AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5.设PQ= 4x,AO=3x,AP=5x,BO=2x,.AB=BO+AO=3,..2x+3x= 3 3x=方4P=5=3 第3题解图 4.解：(1)25； (2)35或122125 2或5或1 7 【解法提示】：四边形BCDE是 “对补邻等”四边形，∠DCB=90°，∴.∠DEB=∠DCB=90. 当BE=BC=3时，如解图①，BD=BD,.Rt△BED≌ Rt△BCD(HL),.DE=DC,此时BD是“等补线”.·在 Rt△ABC中，AC=4,BC=3,∠ACB=90°，AB=5. ∠AED=∠ACB,∠DAE=∠BAC,△ADE∽△ABC,= 能时-解得能=子 4 在R△BDE中，由勾股定 理得0-V0丽-√49-5当c0=68=3 时，如解图②，此时CE是“等补线”，过点C作C0⊥AB于 点O,易证得△ADE∽△AC0△ABC,:AD=AC-CD= 5,C0=12 1DE=子AB= A0=台0=号 5 C0C6=2C0122当6=BE时，知解图③.此时EC 是“等补线”，过点C作CN⊥AB于点N,设DE=BE=x,则 E=5-x,易证得△ADE一△ACN∽△ABC,:.=C于 44=3(5-),解得= 分A6=20..CNDE 15 7,AN-AE 备·数学 CN-AC.nC_12 3 AB 5W16 N=AN-AE= 在 Rt△CWE中，由勾股定理，得CE=√CW+EW= √号产+号-12综上，当四边形B0E是对补部 7 等”四边形时，“等补线”的长为35或2，或2，巨 2或 51 7 E 图① 图② 0 EN B 图③ 第4题解图 5.解：(1)PA,+PA,=√2PA2;【解法提示】如解图①，延长PA3 至点Q,使得A,Q=PA1,连接A,Q,∠PA,A,+∠PA,A2= 180°，∠QA3A2+∠PA3A2=180°，.∠PA1A2=∠QA3A2, 又四边形A1A2AA4是正方形，.AA1=AA3, △PA1A2≌△QAA2,∠A1AP=∠AAQ,AP=AQ, 又四边形AA,AA4是正方形，∠AA2A=90°， ∠PAQ=90°，△A,PQ是等腰直角三角形，∴.PQ=PA+ A,Q=PA,+PA1=√2PA --70 图① 图② 第5题解图 (2)正五边形的每一个内角为5-2)×180 =108° 5 如解图②，延长PA至点Q,使得A,Q=PA,连接A,Q,过点 A,作AT⊥PQ于点T, 同理可得△QAA2≌△PA1A2,∴∠QAA3=∠PA,A, A,P=A2Q, .∠PA2Q=∠A1A2A,=108°， ∠PA,T=2∠PA,0=54, .PA1=11,PA3=49,.PQ=PA2+A,Q=PA2+PA1=60, m0=0P%原09na 模型4半角模型 13-√3【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H,·△ABC 是等边三角形，.AB=AC=BC=6,∠BAC=60°，AH1 1 BC,∠BMH=3∠BAC=30,·∠BAD+∠DAH= 中考能力 一战成名目 30°，∠DAE=30°，.∠BAD+∠EAC=30°，.∠DAH= ∠HCa∠D4=m∠EAC-分BM=之40=3，AM= AB·sin60°=6x3 a器方咖 BD=BH-DH=3-√3. 第1题解图 2.D【解析】四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠ABE= (AB=AD, ∠ADF=90°，在△ABE和△ADF中，了∠ABE=∠ADF, BE=DF △ABE≌△ADF,.AE=AF.·AM平分∠EAF,.∠EAM= (AE=AF, ∠FAM,在△AEM和△AFM中， ∠EAM=∠FAM,. AM=AM. 考答 △AEM≌△AFM,∴.EM=FM..·四边形ABCD是正方 形，.BC=CD=4,∠BCD=90°，设DM=x,则MC=CD- 写 DM=4-x,CE=BC-BE=4-1=3,EM=FM=FD+DM=1+ 重 x,在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM=MC2+CE2,即 难 )-d餐得=号0m=号 5 3.6【解析】如解图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使BA 析 与DA重合，点E的对应点为点G,则点G在DC上，由旋转 的性质可知，AG=AE,DG=BE,∠DAG=∠BAE,∠EAF= 45°，.∠DAG+∠BAF=45°，又：∠BAD=90°，∠GAF= (AE=AG. 45°，在△AEF和△AGF中 ∠EAF=∠GAF,.∴.△AEF≌ 121 AF=AF AAGF,.'.EF=GF,.BE=1,DF=7,..EF=CF=DF-DG= DF-BE=7-1=6. 第3题解图 4.(1)解：5：【解法提示】如解图①，将△ABD绕点A逆时针旋 转90°得到△ACD',连接ED',由旋转的性质得∠BAD= ∠CAD',∠B=∠ACD',AD=AD',BD=CD'=3,.·∠BAC= 90°，AB=AC,.∠B=∠ACB=45°，∠ACD'=45°， ∠ECD'=90°，.∠DAE=45°，∴.∠BAD+∠EAC=∠CAD'+ ∠EAC=45°，即∠EAD'=45°=∠DAE.在△ADE和△AD'E (AD=AD'. 中，{∠DAE=∠D'AE,.△ADE≌△AD'E,.DE=D'E,∴.在 AE=AE. 备·数学 121一战成名目 模型3对角互补模型 1.模型特征及其基本性质 若一个四边形有一组对角的和为180°，则称这样的四边形是“对角互补”四边形， 定义 和这样的四边形有关的图形称为“对角互补模型” 性质1：两组对角分别互补； 性质 性质2：四个顶点在同一圆上（证明如下） 如图，先作△ABC的外接圆⊙O,假设，点D不在 ⊙0上，即在⊙0内（如点D)或⊙0外（如，点 证明 D"),此时∠AD'C+∠ABC>180°或∠AD”C+ ∠ABC<180°，和已知矛盾，从而点D一定在 ⊙0上 2.常见的几个对角互补模型 ◆有一组邻边相等—全等 图形描述：如图①，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，CD=CB. 专题四 图① 图② 图③ 图④ 性质1：连接AC,则AC平分∠DAB 中考常考 思路1：利用圆的性质 思路2：角平分线逆定理 思路3：截长补短法 型 CD=CB→CD=CB→∠DAC 过，点C分别作CM⊥AD于点 在AB延长线上截取BG=AD,连 =∠BAC(如图②) M,CN⊥AB交AB的延长线 接CG,证△CBG≌△CDA 于点N,易证△DCM≌ (SAS),得CA=CG,∠CAD= △BCN(AAS),得CM=CN, ∠CGA=∠CAG(也称为旋转法) 得AC平分∠DAB(如图③) (如图④)》 性质2：若∠DAB=2a,AD=m,AB=n,则AC= m+n c0s0 思路1：由AM=AN=m-DM=n+BN,得2BN=m- 思路2：过点C作CH⊥AG于点H,得AH= 1 n,得AN=n+BN=n+ 2”=mtn,在Rt△ACW中， 2 GM三)AG=”,在Rt△CAH中，AC年 AN AH AC= m+n(如图③) cos∠CAW2cosa m+”n(如图④) cos∠CAB2cosa 24 中考能力必备·数学 一战成名目 续表 常考类型及其结论 60°(CD=CB)对120°型 90°(CD=CB)对90°型 120°(CD=CB)对60°型 D 609 120° 1209 460° B B AB+AD=AC AB+AD=√2AC AB+AD=√3AC ◆各组邻边均不相等—相似 图形描述：如图，在四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD=180°，对角线AC与BD交于点O. 图⑤ 图⑥ 图⑦ 结论①（图⑤）：△AOD∽△BOC,△A0B∽△D0C 结论②（图⑥）：过点C作CM⊥AD于，点M,CWN⊥AB交AB的延长线于点N,则△CDM∽△CBN 结论③（图⑦）：过点C作∠BCG=∠DCA,点G在AB延长线上，则△CBG∽△CDA,△CDB∽△CAG 专题四 针对练习 L[2024宜宾]如图，△ABC内接于⊙0，BC为⊙0的直径，4D平分∠BAC交⊙0于D,则AB+AC的 中 AD 值为 考 A.2 B.√3 C.22 D.23 B 60° D 第1题图 第2题图 第3题图 2.[2024日照]如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点0是对角线AC的中点，以点0为圆心， OA长为半径作圆心角为60°的扇形E0F,点D在扇形E0F内，则图中阴影部分的面积为() A.73 B.nv3 C.T 1 D.无法确定 .24 4 24 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,在Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上， PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时，AP= 中考能力必备·数学 25 一战成名目 4.一成名原创定义：如果一个四边形中，至少有一组邻边相等，并且这组邻边的夹角和它的对角 互补，就称这个四边形为“对补邻等”四边形，过该组相等邻边的公共顶点引出的对角线叫“等补线”. (1)如图①，在“对补邻等”四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=130°，则∠BCA= (2)易错如图②，在Rt△ABC中，AC=4,BC=3,∠ACB=90°，点D,E分别在AC,AB上，若四边形 BCDE是“对补邻等”四边形，则“等补线”的长为 图① 图② B 第4题图 备用图 5.[2025烟台节选]如图①，已知P是正方形A1A2A3A4外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2=180°，探究 PA1,PA2,PA3三条线段的数量关系 (1)直接写出PA,+PA3与PA2的数量关系 (2)如图②，若P是正五边形A1A2A3A4A外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2=180°，PA1=11,PA3= 49,求PA2的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，sin72°≈0.95，cos54°≈0.59， cos72°≈0.31). 专题四 图① 图② 中考常考模型 第5题图 26 中考能力必备·数学