专题4 模型2 手拉手模型-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

MN⊥CM,∴.∠NMT=90°-∠CMK=∠MCK, 叉：∠MN=∠CKM=0△INACK NT-MN MK CM 1am∠MCW=2N2.NT2 3CM3MK3’ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线的对称轴为直线x=1, 1m-11 13-(-m2+2m+3)13 m2-2m3 m12或m 2 m2-2m3m2-2m3 1 3 解得m=3或m=2或m=-1或m=之， “点的标为3.0或分或(-1,0或（子5 模型2手拉手模型 L.C【解析】设AC与BD相交于点O,如解图，∠EAD= ∠BAC,.∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD,.∠BAE= (AB=AC. ∠CAD,在△BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD,∴. AE=AD, △BAE≌△CAD(SAS),·∠ABE=∠ACD,:·∠BOC是 △ABO和△CDO的外角，∴.∠BOC=∠ABE+∠BAC= ∠ACD+∠BDC,.∠BAC=∠BDC.∠BDC=56°， ∠BAC=56°，AB=AC,.∠ABC=∠ACB= 2(180 ∠BAC)=2×(180°-56)=62 第1题解图 2.√5-1【解析】解法一：△ABC和△ADE都是等腰直角 三角形，AB=√2，AD=2,.BC=2,DE=22.∠BAD= ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE,AB=AC,AD= AE,∴.△ABD≌△ACE,∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE= 45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∠ECD=90°.设 CD=x,则CE=BD=2+x,在Rt△ECD中，CD+CE2=DE2,即 x2+(2+x)2=(22)2,解得x=√3-1（负值已舍去），.CD= √3-1. 多解法。 解法二：如解图，过点A作AM⊥BD于 点M.:△ABC是等腰直角三角形， 8eE.G=24w=cw=6c 1,.MD=√AD-AM=3,.CD= B MD-MC=√3-1. 第2题解图 中考能力》 一战成名目 3.C【解析】如解图，连接AE,CF,CG,·四边形DEFG是正 方形，.∠EDG=90°，EF=DE=DG,.四边形ABCD是正方 形，.AD=CD,∠ADC=90°，.∠ADE=∠CDG,∴.△ADE≌ △CDG,∴.AE=CG,.d,+d,+d,=DE+CF+CG=EF+CF+ AE,.当点A,E,F,C在同一条线上时，EF+CF+AE最 小，即d,+d2+d最小，连接AC,.d,+d2+d的最小值为 AC,在Rt△ABC中，AC=√2AB=22,.d,+d,+d的最小值 为22. B 第3题解图 4.8或10【解析】解法一：如解图①，过点A作AE⊥AC,连 接CE,使∠ECA=6O°，CE交AB于点G,过点B作BF⊥AE 于点F,连接BE,则AE=√3AC=63,CE=2AC,∠ECA= ∠BAC=60°，△ACG是等边三角形，AG=AC=6. ∠CBD=30°，CD⊥BD,.BC=2CD,∠BCD=60°， 参 ∠BCD=∠GCA,.∠BCE=∠DCA,BC=2CD,CE= BE CE 答 2AC,.△BCE∽△DCA,D1FC =2,.BE=2AD= 写 2W7.∠EAC=90°，∠GAC=60°，∴.∠GAE=30°.设BF= 重 x,则AF=√5x,AB=2x,.EF=AE-AF=65-√3x,在 难 R1△BEF中，由勾股定理得(63-√3x)2+x2=(2√7)2，解得 x1=4,x2=5,AB=8或10. 析 119 图① 图② 第4题解图 多解法· 解法二：如解图②，在AC的延长线上作∠BEC=60°， CD⊥BD,∠CBD=30°，.∠BEC=∠BCD=∠BAE= 60°，得△ABE是等边三角形，过点B作BO⊥AE于点 O,连接DO,过点D作DG⊥AE于点G,易得∠CBE= ∠DCM=LDB0,又 BO、BD =cos30°，.△DB0M BE BC DO BO 3 ACBE.CE-BELB0D=LBEC-60DOG- 30°.设CE=4x,则OD=23x,DG=J3x,G0=3x,.A0= 2AE=3+2,AG=3-x,在R△ADG中，由勾股定理得(3 +(5)2=(万)，解得=】或x=1,A0=4或 2 5,.AB=8或10 5.解：(1)：△ABC和△ADE是等边三角形， 备·数学 119 一战成名目 ∴.AB=AC,AD=DE=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∴.∠BAD=∠CAE .·.△ABD≌△ACE .BD=CE, .AE=DE=BE-BD=BE-CE: (2)如解图，连接AF,BD,过点A作AG⊥DE于点G F是BC的中点，△ABC和△ADE是等边三角形， .AF⊥BC,.∠AFB=∠AGD=90°，∠ABF=∠ADG=60°， .△ABF∽△ADG, AB AD ∠BAF=∠DAG, AF AG' .·.∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF, .∴.∠BAD=∠FAG .△ABD△AFG, 第5题解图 ∴.∠ADB=∠AGF=90°， 由(1)得BD=CE CE=DE=AD. .AD=BD. .△ABD为等腰直角三角形， 参考答案 .∴.∠BAD=45°. 模型3对角互补模型 1.A【解析】如解图，连接BD,CD,BC是⊙O的直 重 径，∠BAC=∠BDC=90°，∴.∠ACD+∠ABD=180°，∴：AD 平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.BD=DC,.BD=CD,将 △ADC绕点D逆时针旋转90得到△A'DB,则A,B,A'三点 析 共线，.AB+AC=AB+A'B=AA',由旋转可知∠A'DB= ∠ADC,A'D=AD,.·.∠A'DA=∠A'DB+∠BDA=∠ADC+ ∠BDA=∠BDC=90°，.在等腰直角△A'DA中，sinA'= sin45=4D=2,4_4B+AC=2 120 A'∠-- D 第1题解图 2.A【解析】如解图，过点O作OW⊥AD,0M⊥CD,连接OD. 记OF交AD于点H,OE交CD于点G,:四边形ABCD是 菱形，点0是AC的中点，∠B=120°，.D0平分∠ADC, ∠ADC=∠B=120°，.0M=ON,∠0DC=∠0DA=60°， ∠ADC+∠H0G=180°，∴.∠NH0+∠DG0=180°，：∠DG0+ ∠MG0=180°，.∠NH0=∠MG0.在Rt△ONH和 ∠NHO=∠MG0, Rt△OMG中， ∠ONH=∠OMG,∴.Rt△ONH≌ ON=OM Rt△OMG,·.SAOH=S△OwG,.S四边形HoGD=S四边形owD三 2560∠00C=60,CD=AB=20D=CD=1, 0M=0C=30D=3,DM=00= 2,0M=3DM= 120 中考能力义 o-25=2x宁了号-车明影郁分 5 的面积为S形oP-Sa边形H0cw-36 *mx(3)25T5 0 4=24 第2题解图 3.3【解析】如解图，过点P分别作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC 于点R..∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，.四边形 PQBR是矩形，.∠QPR=90°=∠MPW,.∠QPE+∠MPR= ∠MPR+∠RPF=90°，.∠QPE=∠RPF,∴△PQE PQ=PE=2.PQ=2PR=280LABC △PRF,PRPF 90°，AB=3,BC=4,.AC=5,PQ∥BC,.△AQP △ABC,.AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5.设PQ= 4x,AO=3x,AP=5x,BO=2x,.AB=BO+AO=3,..2x+3x= 3 3x=方4P=5=3 第3题解图 4.解：(1)25； (2)35或122125 2或5或1 7 【解法提示】：四边形BCDE是 “对补邻等”四边形，∠DCB=90°，∴.∠DEB=∠DCB=90. 当BE=BC=3时，如解图①，BD=BD,.Rt△BED≌ Rt△BCD(HL),.DE=DC,此时BD是“等补线”.·在 Rt△ABC中，AC=4,BC=3,∠ACB=90°，AB=5. ∠AED=∠ACB,∠DAE=∠BAC,△ADE∽△ABC,= 能时-解得能=子 4 在R△BDE中，由勾股定 理得0-V0丽-√49-5当c0=68=3 时，如解图②，此时CE是“等补线”，过点C作C0⊥AB于 点O,易证得△ADE∽△AC0△ABC,:AD=AC-CD= 5,C0=12 1DE=子AB= A0=台0=号 5 C0C6=2C0122当6=BE时，知解图③.此时EC 是“等补线”，过点C作CN⊥AB于点N,设DE=BE=x,则 E=5-x,易证得△ADE一△ACN∽△ABC,:.=C于 44=3(5-),解得= 分A6=20..CNDE 15 7,AN-AE 备·数学一战成名目 模型2手拉手模型 模型特征与图示 若△ABC△ADE,∠BAC=∠DAE=,点D不在直线AB上，点E不在直线AC上 定义 则称这样的图形为“手拉手”模型 类型 等边型 不等边型 条件 AB=AC,AD=AE AB≠AC,AD≠AE 图示 添加条件：连 接BD和CE 结论 △ABD≌△ACE △ABD∽△ACE 思路：由∠BAC=∠DAE得∠BAD= 专题四 思路：由∠BAC=∠DAE得∠BAD= 证明思路 ∠CAE,结合AB=AC,AD=AE得全等 ∠CAE,结合ABAD, 得相似 AC AE 及依据 依据：SAS 依据：两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似 中考常考模型 添加条件： 直线BD与 CE所夹较 小的角B ≤90°时，B=; 结论 a>90°时，B=180°- a≤90°时，设直线BD交直线AC于P,证∠ABP=∠OCP,对顶角得∠APB=∠OPC, 证明思路 三角形内角和得证 及依据 a>90°时，证∠AB0+∠AC0=∠ACE+∠AC0=180°（对角互补） 22 中考能力必备·数学 一战成名目 针对练习 1.[2025凉山州]如图，AB=AC,AE=AD,点E在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则∠ABC的度 数为 () A.56° B.609 C.62° D.64° 第1题图 第2题图 第3题图 2.一成名原多解法如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，B,C,D 三点在同一条直线上，连接CE.若AB=√2，AD=2,则CD= 3.[2022泰州]如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形 DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d+d2+d的最小值为 () A.√2 B.2 C.2√2 D.4 4.成名原创多解法如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AC=6,点D在△ABC内，∠CBD=30°，CD⊥ BD,连接AD.若AD=√7，则AB的长为 【点拨】△BCD是一个含30°角的直角三角形，可以AC为直角边构造一个含30°角的直角三角形 ACE,使得△ACE和△BCD构成手拉手模型. 专题四 D 第4题图 备用图 考常考 5.一成名原画已知△ABC和△ADE都是等边三角形，ED的延长线交直线BC于点F,连接CE. (1)如图①，当点F和点B重合时，探究线段AE,BE,CE之间的数量关系； (2)如图②，当点F是BC的中点，且ED=EC时，求∠BAD的度数 B(F) 第5题图① D 第5题图② 中考能力必备·数学 23