专题4 模型1 一线三等角模型-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

多解法。 解法二：如解图②，连接BF,延长CF交BA的延长线于点 G,由解法一得BF⊥CF,AE∥CF,E为BC的中点，.A 为BG的中点，.AG=AB=AF=4,在Rt△BCG中，BG= 8,BC=6,.∴.CG=10..∠BFC=∠CBG=90°，∠BCF= ∠GCB.△BCF△GCB.CC-CB CE18 Γ5 G 第2题解图② 3.A【解析】解法一：如解图①，连接BD,.·将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点 D,E,点D恰好落在线段CE上，.∠BAD=90°，∠ABC= ∠ADE,∠ADE+∠ADC=180°，.∠ABC+∠ADC= 180°，.∠BCD=90°，又CD=3,BC=1,.BD= √CD+BC=√32+1下=√I0,AB=AD,.∠ABD= ∠ADB=45,AD=2BD=2 2 2 ×√0=5. 第3题解图① 第3题解图② 专题四 中 模型1一线三等角模型 例12【解析】AB=AC=4,.∠B=∠C,∠1= ∠C,∴.∠B=∠1，∠BAD+∠B=∠1+∠CDE,∴.∠BAD= ∠CDE,:AD=DE,∴.△ABD≌△DCE(AAS),.CD=BA= 4.BD=CE..BC=6...CE=BD=BC-CD=6-4=2...AE= AC-CE=4-2=2. 例2 ·【解析】解法一：如解图①，过点D作DM=DC交 BC的延长线于点M,.∠DCM=∠M,四边形ABCD是 平行四边形，.DM=CD=AB=10,AB∥CD,.∠B= ∠DCM=∠M,.·∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE, ∠B=∠DEF,.∠DEC=∠BFE,∴.△BFE∽△MED, .BF-BE6 3 DE MD 10 5 B E B 例2题解图① 例2题解图② 中考能力 一战成名目 多解法。 解法二：如解图②，过点A作AM⊥CE于点M.由旋转可 得DE=BC=1,∠CAE=90°，AC=AE,.CE=4,AM=EM= 2 CE=2.MD=1.AD=MDANF=5. 43 【解析】由题意可得，AB=BC=CD=AD=8,∠BCD 120°，如解图①，延长BC到点F,使得CF=BC,连接 NF,DF,CD=CF=8,∠DCF=60°，△CDF是等边三角 形，CD=DF=FC=8,在△BFN中，E是线段BN的中点， BC=CF,CE=2NF,当NF最大时，CE取得最大 值，将线段DM绕点D旋转，点N在以点D为圆 心，DM=5为半径的圆上运动，如解图②，当N,D,F三点共 线，并经过⊙D的直径时，NF的值最大，.NF=DN+DF= 5+8=13CE=1NF= 13 2 2 B E 参考答案与重 图① 图② 第4题解图 题解 考常考模型 多解法。 117 解法二：：∠DEF=∠B,.∠BFE+∠BEF=∠BEF+ ∠DEC,.∠BFE=∠DEC,如解图②，作CGFE交DE于点 G,∠DEF=∠ECC,.LB=LEGC,△FBEM BE CG △EGC,FEEC 四边形ABCD是平行四边形，AB= CD=10,∠B+∠BCD=180°，.∠EGC+∠DGC=180°，∠B= ∠EGC,∴.∠DGC=∠BCD,·∠EDC=∠CDG,.△DGCM △E瓷张合0合号 针对练习 15【解析】∠ABC=90°，AD⊥BD,CE⊥BD,.∠D= ∠CEB=∠ABC=90°，∴.∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD= 90°，.∠CBE=∠BAD,△ABC是等腰直角三角形， .AB=BC,.△ABD≌△BCE,.BD=CE=7,.BE= 2,.DE=BD-BE=7-2=5. 2.A【解析】在矩形ABCD中，AB=6,由折叠的性质得，CD= AB=AE=6,E是CD的中点，DE=CE=3,在Rt△ADE 中，AD=√AE2-DE=√6-32=33，由题可得，∠D= ∠C=∠AEF=∠B=90°，∴.∠AED+∠CEF=∠EFC+ 备·数学 117 一战成名目 CF ∠CEF=90.∠AED=LEFC,△ADE∽△ECF,DE 熙 335 ,解得CF=√3. 3.3 思维构建 遇“三等角∠CHD=∠CAB=∠DBE和直线EH'想一线三 等角模型，考虑证全等或相似解决问题.看题中是否有 “一组相等的线段”，若有则证全等，若没有则证相似。 【解析】：∠DBE=∠D+∠DHB,∠CHD=∠CHA+ ∠DHB,∠DBE=∠CHD,.∠D=∠CHA,∠CAB=∠C+ ∠CHB,∠CHD=∠CHA+∠DHB,∠CHD=∠CAB,.∠C= ∠mB&C0品0子B= CA=6.AH=HB-AB=2.BD=AH=3 4.1【解析】如解图，在BC上取点G,连接GF,使GF= GC,△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=∠ACB= 参考答案 2×(2+8)=5,∠Bch=子∠AcB=30,GF=6c, 1 ∠GFC=∠BCH=30°，.∴.∠EGF=∠GFC+∠BCH= 60°，∴.∠B=∠EGF,.∠DEF=60°，∴.∠BED+∠GEF= 题解 120°，∠BED+∠BDE=120°，∠BDE=∠CEF,又 DE=EF,∴.△BDE≌△GEF,.BE=GF=CG=2,BD=EG= 10-2-2=6,.DH=BD-BH=6-5=1. H 118 B 第4题解图 第5题解图 5.32【解析】如解图，过点G作GH⊥AC于点H, ∠ACB=90°，AC=BC=5,.△ABC是等腰直角三角 形，.∠A=45°，AB=√2AC=52,GH⊥AC,△AGH是 等腰直角三角形，∴.AH=HG,AG=√瓦AH,四边形DEFG 是正方形，.DG=DE,∠GDE=90°，.∠GDH=90°- ∠EDC=∠DEC,在△DGH和△EDC中 I∠DHG=∠ECD, ∠GDH=∠DEC,.△DGH≌△EDC,·.GH=DC,DH= DG=ED CE,.AH=HG=DC,设AH=HG=DC=a,DH=CE=b,·正方 形DEFG的边长为5，.DE=√5，：AC=AH+DH+DC,在 2a+b=5, Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2, 整理得a2- (a2+b2=(5)2 4a+4=0,解得a1=a2=2,.AH=2,.AG=√2AH=22,.BG= AB-AG=5√2-2E=3√5」 118 中考能力 6. ÷【解析】解法一：如解图①，延长CB至点G,连接 AG,使∠G=60°，∠C=60°，.△ACG是等边三角 形，AG=GC=AC=3,又△ADE是等边三角形，.∠G= ∠ADE=∠C=60°，∴.∠GAD+∠ADG=∠ADG+∠CDF,∴. ∠CAD=∠CDE,△AGD△DCF,C0,设CD= CF x x,则GD=3-x,. 3方30F=-2+=-(+ ，-1<0当：=时函数取最大值兰30F的最大 9 值为}，即CF的最大值为子 3 B D BH D C 图① 图② 第6题解图 多解法。 解法二：如解图②，过点A作AH⊥BC于点H,在R1△AHC 中，∠C=60°，∠AHC=90°，AC=3,AH=AC·sinC= 3 2,:△ADE是等边三角形，LADE=60=∠C. 又∠DAC=∠FAD,△DACAFAD,:-, AF=AD_AD =AC=3,”CF=AC-Af,当AF有最小值时，CF 有最大值，当AD有最小值时，AF有最小值，.当AD⊥ BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重 合4D的最小值为35. 2 2·AF的最小值为号 3 9 4:CF的最大值为3-9=3. 7.解：把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3, 得红+30。解得 ∫a=-1, (9a+3b+3=0, (b=2, ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 过点M作KT∥y轴，过点C作CK⊥KT于K,过点N作 WT⊥KT于点T,如解图， B 第7题解图 设M(m,-m2+2m+3), 备·数学 MN⊥CM,∴.∠NMT=90°-∠CMK=∠MCK, 叉：∠MN=∠CKM=0△INACK NT-MN MK CM 1am∠MCW=2N2.NT2 3CM3MK3’ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线的对称轴为直线x=1, 1m-11 13-(-m2+2m+3)13 m2-2m3 m12或m 2 m2-2m3m2-2m3 1 3 解得m=3或m=2或m=-1或m=之， “点的标为3.0或分或(-1,0或（子5 模型2手拉手模型 L.C【解析】设AC与BD相交于点O,如解图，∠EAD= ∠BAC,.∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD,.∠BAE= (AB=AC. ∠CAD,在△BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD,∴. AE=AD, △BAE≌△CAD(SAS),·∠ABE=∠ACD,:·∠BOC是 △ABO和△CDO的外角，∴.∠BOC=∠ABE+∠BAC= ∠ACD+∠BDC,.∠BAC=∠BDC.∠BDC=56°， ∠BAC=56°，AB=AC,.∠ABC=∠ACB= 2(180 ∠BAC)=2×(180°-56)=62 第1题解图 2.√5-1【解析】解法一：△ABC和△ADE都是等腰直角 三角形，AB=√2，AD=2,.BC=2,DE=22.∠BAD= ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE,AB=AC,AD= AE,∴.△ABD≌△ACE,∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE= 45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∠ECD=90°.设 CD=x,则CE=BD=2+x,在Rt△ECD中，CD+CE2=DE2,即 x2+(2+x)2=(22)2,解得x=√3-1（负值已舍去），.CD= √3-1. 多解法。 解法二：如解图，过点A作AM⊥BD于 点M.:△ABC是等腰直角三角形， 8eE.G=24w=cw=6c 1,.MD=√AD-AM=3,.CD= B MD-MC=√3-1. 第2题解图 中考能力》 一战成名目 3.C【解析】如解图，连接AE,CF,CG,·四边形DEFG是正 方形，.∠EDG=90°，EF=DE=DG,.四边形ABCD是正方 形，.AD=CD,∠ADC=90°，.∠ADE=∠CDG,∴.△ADE≌ △CDG,∴.AE=CG,.d,+d,+d,=DE+CF+CG=EF+CF+ AE,.当点A,E,F,C在同一条线上时，EF+CF+AE最 小，即d,+d2+d最小，连接AC,.d,+d2+d的最小值为 AC,在Rt△ABC中，AC=√2AB=22,.d,+d,+d的最小值 为22. B 第3题解图 4.8或10【解析】解法一：如解图①，过点A作AE⊥AC,连 接CE,使∠ECA=6O°，CE交AB于点G,过点B作BF⊥AE 于点F,连接BE,则AE=√3AC=63,CE=2AC,∠ECA= ∠BAC=60°，△ACG是等边三角形，AG=AC=6. ∠CBD=30°，CD⊥BD,.BC=2CD,∠BCD=60°， 参 ∠BCD=∠GCA,.∠BCE=∠DCA,BC=2CD,CE= BE CE 答 2AC,.△BCE∽△DCA,D1FC =2,.BE=2AD= 写 2W7.∠EAC=90°，∠GAC=60°，∴.∠GAE=30°.设BF= 重 x,则AF=√5x,AB=2x,.EF=AE-AF=65-√3x,在 难 R1△BEF中，由勾股定理得(63-√3x)2+x2=(2√7)2，解得 x1=4,x2=5,AB=8或10. 析 119 图① 图② 第4题解图 多解法· 解法二：如解图②，在AC的延长线上作∠BEC=60°， CD⊥BD,∠CBD=30°，.∠BEC=∠BCD=∠BAE= 60°，得△ABE是等边三角形，过点B作BO⊥AE于点 O,连接DO,过点D作DG⊥AE于点G,易得∠CBE= ∠DCM=LDB0,又 BO、BD =cos30°，.△DB0M BE BC DO BO 3 ACBE.CE-BELB0D=LBEC-60DOG- 30°.设CE=4x,则OD=23x,DG=J3x,G0=3x,.A0= 2AE=3+2,AG=3-x,在R△ADG中，由勾股定理得(3 +(5)2=(万)，解得=】或x=1,A0=4或 2 5,.AB=8或10 5.解：(1)：△ABC和△ADE是等边三角形， 备·数学 119专题四 中考常考模型 版 模型1一线三等角模型 1.模型特征与说明：一线三等角即“三个相等的角的顶点在一条线上，其中有两个角的一边均在这 条线上，另外一个角的两边在线的同侧或两侧”. 2.模型图示与理解 类型 锐角型 直角型 钝角型 同侧 A B m 示 两侧 B H m 利用三角形内外角关系 利用同角的余角相等找 利用三角形内外角关系找 识图关键 找等角 等角 等角 专题四 应 有等边 图中两组三角形全等 用 无等边 图中两组三角形相似 3.构造一线三等角 中考常考模型 遇到一线穿直角→直角两端作线的垂线 遇到一线双等角→线上作等角 典例精析 例1如图，△ABC中，AB=AC=4,BC=6,点D,E分别在BC,AC上（点D不与B,C两点重合），且 ∠1=∠C,若AD=DE,则AE的长为 ②思维构建++++++++++++++++++++++++++++++++++ AD=DE 三等角：∠1=∠B=∠C △ABD≌△DCE 一线：BC 三角形内外角 关系找等角 D 例1题图 模型图 中考能力必备·数学 19 一战成名目 例2多解法如图，在口ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB= 10,BE=6,则 的值为 DE ⑦思维构建++++++++ D 两等角：∠B=LDEF 思考：构造一个顶点在BC上， 一线：点B,E在直线BC上 且等于∠B的角，得一线三等角 B E B E 例2题图 模型图 针对练习 1.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AD⊥BD于点D,CE⊥BD于点E,AC与BD交于点 F,若BE=2,CE=7,则DE= 第1题图 第2题图 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,将矩形折叠，使点B落到CD边上的中点E处，折痕为AF,则CF 专 的长为 () 题四 A.5 B.1 C.2 D.3 3如图，点H,A,B,E在同一直线上，∠CHD=∠CAB=∠DBE.若CGH DH 3 ,AB=AC=4,则BD=: 考常考 型 A D B E 第3题图 第4题图 4.如图，在等边三角形ABC中，CH⊥AB于点H,点D,E分别在边AB,BC上，连接DE,点F在CH 上，连接EF,若DE=EF,∠DEF=60°，BE=2,CE=8,则DH= 5.[2024南通]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5.正方形DEFG的边长为√5，它的顶点 D,E,G分别在△ABC的边上，则BG的长为 E 第5题图 备用图 20 中考能力必备·数学 一战成名目 6.多解法[2025苏州]如图，在△ABC中，AC=3,BC=2,∠C=60°，D是线段BC上一点（不与端点 B,C重合)，连接AD,以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点 F,则线段CF长度的最大值为 4 D B 第6题图 备用图 7.[2024西藏改编]如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1, 0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,记抛物线的对称轴为直线1，点M为抛物线上一点，连接MC, 过点M作MYLCW文直线I于点N,连接CN若am/MCN=子求点M的坐标 第7题图 备用图 专题四 中考常考模型 中考能力必备·数学 21