专题3 类型3 遇到已知角，咋作辅助线-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·中考能力必备

一战成名目 4-y+y,解得y= 5 4 5 3.EF= 3 图① 图② 第4题解图 多解法> 解法二：如解图②，过点E分别作△ABC三边的垂线，垂 足分别为M,N,P,:∠BAC,∠ACB的平分线相交于点 E,∴.AM=AP,CM=CN,EM=EN=EP,.四边形EWBP是 正方形.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5.设EW= BN=BP=x,AP=AM=3-x,CN=CM=4-x,..AM+CM= 3-x+4-x=5,解得x=1,.EW=BW=1.又：EF∥AC, ∠EFN=∠ACB,又：∠ENF=∠ABC=90°，.△EFNM AC AB' 53,解得EF=5 Γ3 考 2 ·【解析】如解图，过点C作CE∥DA交BA的延长线于 案与 点E,则∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE,AD平分 ∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.∠E=∠ACE,AE=AC. CE//AD..ABDBAEACS AEDC心BD-DC-D元=5，AB=4, 题解 5 BD=2 D 112 B 第5题解图 类型3遇到已知角，咋作辅助线 作法1 遇到30°、45°、60°，作垂线 1.√万【解析】如解图，过点A作AH⊥BC,交BC的延长线于 点H,在R1△ABH中，∠B=30°，AB=4,.AH=2,BH= 25,.CH=5,.AC=√AH+Cf=万. B30 C- H B E 第1题解图 第2题解图 2.1+√3【解析】如解图，过点A作AE⊥BC于点E, ∠AEB=∠AEC=90°，∠B=60°，.∠BAE=30°，AB= 2E=A=1,4E=94B=5,∠BHC=75, 2 ∠EAC=45°，.∠ACE=45°，.EC=AE=√3，.BC=BE+ EC=1+√3. 3.2反【解析】如解图，过点A作AE⊥BC于点E,则 ∠AEB=∠AEC=90°，·四边形ABCD是平行四边形，∠D= 112 中考能力义 45°，.∠B=∠D=45°，.∠EAB=∠B=45°，.AE= BE,∠BAC=105°，.∠ACB=180°-∠B-∠BAC= 1 30°，AE=2AC=2,BE=AE=2,AB=√AE+BE= √22+22=22. B4 第3题解图 8 【解析】解法一：如解图①，过点A作AH⊥BE于点 H,:四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=90°， ∠EBC=30°，∠ABH=60,AH=AB·in60=5。 2 CF1BE,∠BCF=60,Bf=BC·sin60=5 Somr= 3 2AH·BF= 8 D B 第4题解图① 多解法> 解法二：如解图②，连接AE,四边形ABCD是正方形， AB=1,∴.BC=1,∠BCE=90°，又.∠EBC=30°，.BE= 25 √3 BF= .BF= 3BE,.S2△As=4S△4-“ 3 21 1 1 SE方形BcD=1×1=1,·S△B= 2Sz方0w=7,SaBr M 第4题解图② 第4题解图③ 解法三：如解图③，过点F分别作FM LBC,FW⊥AB,垂足 为M,N,连接AM,则∠FNB=∠FMB=∠FMC=90°，：四 边形ABCD为正方形，BC=AB=1,∠ABC=90°，.四边 形NBMF为矩形，FN=BM,:Sam=2AB·FN, SAaw=号AB·BM,SA=SAe,CFL BE,.BC=1, 2 1 LEBC=30LBCF=60CF=2BC= 2∠CFM= 1 90°-∠BCF=30°，.CM= 4BM=BC-CM= 1 3 1 33 备·数学 6 3 【解析】解法一：如解图①，过点D分别作DM⊥AB于 点M,DW⊥AC于点N.在Rt△AMD中，∠MAD=45°， .sin450=MD_ 4D=2,.MD=Y二AD.在Rt△ADN中，∠DAN 2 60°，.sin60°= D2.DN=3 DN√5 AD,·CD 24.DN -AD DM 2 √6 2AC.DN DN 1 3 240 图① 图② 第5题解图 多解法。 解法二：如解图②，过点C作CMLAD于点M,过点B作 BW⊥AD交AD的延长线于点N,设AB=AC=2a,在 RL△ABN中，∠BAD=45,in450=B=E AB2,·BN= 5a,在△ACM中，∠CMM=60°，sin60°=CW AC 2,CM=5a,∠CMD=∠BND=90,∠BDN BDBN√2a√6 ∠CDM,.△BDW∽△CDM,. CD CM 3a 3 6.解：如解图，分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为 点M,N,则四边形CDNM为矩形，∴.CD=MW,CM=DN, 北 东、309 45 M60 N口 第6题解图 在Ac6W中，m∠CBN0厅CM=5 CM√3 在Rt△ACM中，tanA .√5BM√3 AM3,1500+BM3 解得BM=750米，.DN=CM=750√3米 在△DBN中，ian∠DBN=D =1,.BW=DW=750N3米 BN 则MN=BW-BM=750W5-750≈548（米）， ..CD=MN=548米， 答：大桥CD的长度约为548米. 中考能力 一战成名目 作法2遇到120°、135°、150°，反向延长作垂线 1.B【解析】如解图，过点C作 CD⊥AB,交BA的延长线于点 D,·∠BAC=120°，∴.∠DAC= AC= 1 B∠ 60°，∠ACD=30°，.AD= 第1题解图 3,CD=35,.BD=AB+AD=7,在Rt△BCD中，BC= √/BD+CD2=2W/19. 2.A【解析】如解图，过点A作AE⊥BC,交CB的延长线于 点E,∠ABC=135°，.∠ABE=180°-∠ABC=45°，.AE= BE- AB=V2,.SABCD=BC·AE=32×√2=6,0是 2 口ABCD的中心，：.阴影部分的面积为口ABCD面积的一 半，即为分×6=3 B 第2题解图 336 参考 2 【解析】如解图，过点A作AF⊥BD,交BD的延长线 案与 于点F,过点B作BE⊥CD,交CD的延长线于点E, 重 ∠BDC=150°，∴.∠DCB+∠DBC=30°，∠ABC= 难 ∠DBC+∠ABD=30°，.∠DCB=∠ABD,又·∠BFA= BC BE 解 LCEB=90P,△BCE∽△ABF,BF,在△ABC中， 析 ∠ACB=90,∠ABC=30°，AB,=2,在△BED中， ∠BDE=180°-150°=30°，∠BED=90°，BD=3,.BE= 3 3.BE23 113 乞·=6=，解得AF=√3Sa=2一BD AF 23x3=33 第3题解图 作法3遇到15°、22.5°，利用倍角构造 1.√3+2【解析】如解图，在BC上找一点D,连接AD,使得 AD=CD,则∠CAD=∠C=15°..∠ADB=30°，.·AB= 2,..AD=CD=2AB=4,BD=2√3，.BC=BD+CD=2V3+ 4,.tan∠BAC BC-5+2 A D -C 第1题解图 备·数学 113 一战成名目 2.82-8【解析】如解图，在BC上取点D,使得AD=CD,连 接AD,则∠CAD=∠C=225°，.∠ADB=45°，∠B= 45°，∴△ABD是等腰直角三角形，.AB=AD=CD,BD= √2AD,.BC=BD+CD=√2AB+AB=8,.AB=82-8. -C 第2题解图 3.2【解析】如解图，连接BD交AC于点O.四边形ABCD 是菱形，.BD⊥AC,A0=C0.∠DAB=60°，.∠BAC= 30°，.AC=2A0=2AB·cos∠BAC=4V5.过点E作EM1 AC于点M,在MF上截取MW=AM,连接EN,则EW= EA,..∠ENA=∠EAN=30°..·∠DEF是△EAF的外 角，∠EFA=∠DEF-∠DAF=15°，：∠ENA=30°， ∠NEF=∠NFE=15°，.NF=EN.在Rt△EAM中，∠EAM= 30°，设EM=x,则AE=EN=NF=2x,AM=MN=√3x,.AF= 2x+25x,Cg=2-5,CF=(2-5)AR,CF=AC AF AF,.43-(2x+25x)=(2-√3)(2x+25x),解得x= 考答 1,.AE=2x=2. O(N 难 解 第3题解图 作法4遇到角的锐角函数值，作垂线构造直角三角形 1.B【解析】如解图，过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于 点E,AC⊥CB,DE⊥CB,·∠ACB=∠DEB=90°，在 5,.AB=-AC 3 6 Rt△ABC中，AC=6,cos∠BAC= cos∠BAC-3 114 5 10,.BC=√AB-AC=√10-6=8，在Rt△DEC中 tan LBCD=DE、1 =CE4设DE=x,则CE=4x,BE=CE BC=4-8,∠ABC=∠EBD,.△ABC△DBE,BC BE %4-8。解得x=3DE=3,BE=4x-8=4,B企 AC ·8 √BE+DE=√4+32=5. 4 D 第1题解图 2.25【解析】如解图，过点F作FG1BC于点G,易得矩形 AFGC,:cos∠EBF= BF=5BF=5BG=3..FG=AC= BG 3 4,点D为AB中点，AD=BD,DF=ED,四边形 AEBF是平行四边形，：EF⊥AB,.四边形AEBF是菱 形，CG=AF=BF=5,.BC=CG+BG=5+3=8,∴.AB= 114 中考能力义 √AC+BC=√4+82=45，：∠ACB=90°，D是AB的中 点CD=2AB=25. 第2题解图 39⑩ 【解析】如解图，过点C作CH⊥AB交AB的延长线 8 于点H,过点D作DG⊥AB交AB的延长线于点G, ·sinL BAC=CH。3 AC=3,4C=5,CH=3,AH= √JAC-CH=√52-32=4，：AB=3,.BH=AH-AB=4-3= 1,CH⊥AB,DG⊥AB,.DG∥CH,.△BGD△BHC, BD 3 BG DG BD 3 CD5BH CH BCGDG 8 8 0H:AG=AB+6c=3+ 9 327 8,A0= /aG+Dc=√8 8 D-- 第3题解图 4.解：(1).∠ANB=90°，∠NAB=45°，∴.∠ABN=45°， 在R△OBD中，0∠OBD=BD=12=0.4, OB 30 ∠0BD≈66.4°，.∠AB0≈180°-45°-66.4°=68.6°； (2)在规定范围内，理由如下： 如解图，过点C作CE⊥OD于点E,则∠OEC=90°， M 0 机 A C 器 45 舜 人 BD 第4题解图 ∠BD0=∠BOC=90°， .∴.∠OBD+∠BOD=∠COD+∠BOD=90°. 由(1)得∠0BD≈66.4°， ∴.∠C0D=∠0BD≈66.4° ∴.CE=0C·sin∠C0E≈25×0.92=23(cm), .∠NAB=45°，AB=40cm, ÷N=i6.im∠NMB=40号-2828m. ..此时手绢端点C与舞者的距离为100-（28.28+12+ 23)≈36.7(cm), 安全距离范围为30~40cm, 此时手绢端点C与舞者的距离在规定范围内. 备·数学一战成名目 类型3遇到已知角，咋作辅助线 作法①遇到30°、45°、60°，作垂线 遇到30°角，作垂线构造含30° 遇到45°角，作垂线构造等腰直 遇到60°角，作垂线构造含 角的直角三角形 角三角形 60°角的直角三角形 1309 9A30 A450 609 针对练习 1.如图，在△ABC中，∠B=30°，AB=4,BC=√3，则AC的长为 B30 B C 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，AB=2,则BC的长为 3.[2025北京海淀区模拟]如图，在☐ABCD中，∠BAC=105°，∠D=45°，AC=4,则AB= 4.多解法[2025北京]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE,垂足为F.若AB=1, 专题三 ∠EBC=30°，则△ABF的面积为 常考的辅 B B∠ D D 第4题图 第5题图 备用图 线 5.多解法[2024淮安节选]如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上一点，∠BAD=45°，∠CAD=60°， 法 品的直为 6.[2024大庆]如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路1上由北向南行驶，在A处 测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向 上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.73） 北 东30 45 609 1 第6题图 中考能力必备·数学 11 一战成名目 作法2遇到120°、135°、150°，反向延长作垂线 遇到120°角，反向延长作垂线 遇到135°角，反向延长作垂 遇到150°角，反向延长作垂线构 构造含30°角的直角三角形 线构造等腰直角三角形 造含30°角的直角三角形 D C 45 1309 120 1209 350 135° -RA 150 509 “针对练习 1.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=6,AB=4,则BC的长是 A.6√2 B.219 C.213 D.9 D B B 第1题图 第2题图 第3题图 2.[2025安徽宿州模拟]如图，0是平行四边形ABCD的中心，过点O的两条直线与对角线AC将平行 专题三 四边形分成阴影和空白部分.若∠ABC=135°，AB=2,BC=3√2，则阴影部分的面积为 () 3 A.3 B.32 C.6 0 常考 3.[2025湖北黄石模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D为△ABC内一点，连接AD, BD,CD,若∠BDC=150°，BD=3,则△ABD的面积为 助 作法3遇到15°、22.5°，利用倍角构造 线 遇到15°角，以该角为底角构造等腰三角形 遇到22.5°角，以该角为底角构造等腰三角形得 得30°角 45°角 22.5°C 22.5 22.5° B 45° D 针对练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=15°，AB=2,则tanA的值为 D B 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=22.5°，若BC=8,则AB的长为 3.一成名原画如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠DAB=60°，点E在AD上，点F在AC上，且∠DEF= 45,若 =2-√3，则AE的长为 AF 12 中考能力必备·数学 一战成名目 作法④遇到锐角三角函数值，作垂线构造直角三角形 1[2025江苏扬州模拟]如图，在Rt△ABC中，延长斜边AB到点D,连接DC.若4C=6,cos∠BAC=3 tan∠BCD=4,则BD的长为 () 35 A. B.5 C.43 D.6 SD B B D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边中点，过点D作AB的垂线交BC于点E,在射线 ED上截取DP.使DF=D.连接AE.A.BE,CD.若cos/ERF-寻 ,BF=5,则CD的长为 3[2025广东深圳模拟]如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,in∠BAC=3,BD_3 5'CD5 则AD= 4.[2025河北石家庄模拟]2025年春晚名为《秧B0T》的舞蹈，机器人们以精准的动作让观众体验到 专题三 了传统文化与现代科技完美的跨界融合.机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持 一定的间距.图②是其侧面示意图，机器人胳膊与身体的夹角∠NAB=45°，胳膊AB=40cm,OB= 30cm,旋转的手绢近似圆形，半径OC=25cm,OC与手臂OB保持垂直，肘关节B与手绢旋转点 常考 0之间的水平宽度为12cm(即BD的长度). (1)求∠AB0的度数； 助 (2)机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离的范围为30~40cm.在图②中，机器人与舞者之间 作 距离为100cm.问此时手绢端点C与舞者的距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果保留到 法 小数点后一位)（参考数据：sin66.4°≈0.92，c0s66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，√2≈1.414） 乡 0 机 器 459 舞 B D 图① 图② 第4题图 中考能力必备·数学 13