专题02 随机变量中的必考六类问题（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

专题02 随机变量中的必考六类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 2 【类型2 离散型随机变量的均值】 4 【类型3 离散型随机变量的方差】 5 【类型4 二项分布问题】 7 【类型5 超几何分布问题】 9 【类型6 决策问题】 10 知识点1 离散型随机变量 1．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 2．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 3．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 知识点2 二项分布与超几何分布 1．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 2．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 3．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 4．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 知识点3 决策问题及其解题策略 1．决策问题 决策问题的核心是通过期望值评估平均结果，结合方差量化风险，最终根据决策者的风险偏好做出选择.在离散型随机变量的决策问题中，通常需要通过计算期望值、方差等统计量来比较不同方案的风险与收益，从而做出最优选择. 2．解决离散型随机变量的决策问题的通用步骤 (1)明确问题：①确定决策目标（如最大化收益、最小化损失）；②列出所有可行方案. (2)定义随机变量：①对每个方案，定义其可能的结果（离散值）及其概率. (3)计算统计量：①期望值：比较不同方案的平均收益/损失；②方差/标准差：衡量风险大小. (4)结合风险偏好决策：若风险中性，选择期望收益最高的方案；若风险厌恶，可能选择期望收益稍低但风险更小的方案. 【方法技巧与总结】 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值，方差. 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 2．（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为__________． 5．（24-25高二下·山东聊城·期中）在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． (1)从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； (2)从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【类型2 离散型随机变量的均值】 7．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 8．（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 10．（24-25高二下·广东珠海·月考）已知随机变量的分布列如下：若，则__________. 1 2 3 0.3 0.3 11．（24-25高二下·吉林·期中）有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2. (1)如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？ (2)如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X，求X的概率分布列及期望. 12．（24-25高二下·天津·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； (2)若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 【类型3 离散型随机变量的方差】 13．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 15．（2025高二·全国·专题练习）设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 16．（24-25高二下·福建泉州·期中）若随机变量X的分布列如下表，且，则的值为__________. X 0 2 a P p 17．（24-25高二下·安徽池州·期中）甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. (1)求甲获胜的概率； (2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 18．（24-25高三上·北京东城·期末）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率. (1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； (2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系． 【类型4 二项分布问题】 19．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·山东·月考）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球粒数大约是（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 21．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 22．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则__________．    23．（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 24．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【类型5 超几何分布问题】 25．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 27．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 28．（24-25高二下·云南保山·月考）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为____________. 29．（24-25高二下·陕西安康·月考）为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 30．（24-25高二下·北京·期中）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）. 【类型6 决策问题】 31．（24-25高二下·河南·月考）根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 32．（2025·河南驻马店·模拟预测）2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 33．（25-26高三上·重庆·月考）某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 34．（25-26高二上·江西·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 35．（2025·山东·模拟预测）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 36．（24-25高二下·广西南宁·期末）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：I．随机选一个选项；II．随机选两个选项；III．随机选三个选项． (1)若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望； (2)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 随机变量中的必考六类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 2 【类型2 离散型随机变量的均值】 5 【类型3 离散型随机变量的方差】 9 【类型4 二项分布问题】 14 【类型5 超几何分布问题】 19 【类型6 决策问题】 23 知识点1 离散型随机变量 1．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 2．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 3．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 知识点2 二项分布与超几何分布 1．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 2．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 3．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 4．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 知识点3 决策问题及其解题策略 1．决策问题 决策问题的核心是通过期望值评估平均结果，结合方差量化风险，最终根据决策者的风险偏好做出选择.在离散型随机变量的决策问题中，通常需要通过计算期望值、方差等统计量来比较不同方案的风险与收益，从而做出最优选择. 2．解决离散型随机变量的决策问题的通用步骤 (1)明确问题：①确定决策目标（如最大化收益、最小化损失）；②列出所有可行方案. (2)定义随机变量：①对每个方案，定义其可能的结果（离散值）及其概率. (3)计算统计量：①期望值：比较不同方案的平均收益/损失；②方差/标准差：衡量风险大小. (4)结合风险偏好决策：若风险中性，选择期望收益最高的方案；若风险厌恶，可能选择期望收益稍低但风险更小的方案. 【方法技巧与总结】 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值，方差. 【类型1 离散型随机变量的分布列问题】 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【解题思路】由题意得计算求解即可. 【解答过程】由题可得. 故选：A. 2．（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】根据分布列概率之和为1即可求解. 【解答过程】由题意可得解得． 故选：C. 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分布列的性质求出后可求. 【解答过程】由分布列可得，解得， 则， 故选：C. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为__________． 【答案】 【解题思路】根据分布列中概率和为1列方程求参数值，注意验证. 【解答过程】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二下·山东聊城·期中）在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． (1)从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； (2)从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）根据题意结合独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列． 【解答过程】（1）记事件A为“第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券”， 则由题意得． （2）X的可能取值为0，1，2，3． ；； ；． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 6．（24-25高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【解题思路】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率； （2）由已知的取值为100，80，60，40，再求出对应的概率，即可得分布列. 【解答过程】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 【类型2 离散型随机变量的均值】 7．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【解答过程】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 8．（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【解答过程】由题意可得，， 则. 故选：C. 9．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】由独立事件乘法公式求得，进而结合分布列求解即可； 【解答过程】依题意，甲、乙、丙都打中的概率， 解得（负值已舍去）， 所以乙打中的概率为． 由题意可得，的可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以． 故选：D． 10．（24-25高二下·广东珠海·月考）已知随机变量的分布列如下：若，则__________. 1 2 3 0.3 0.3 【答案】 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望的公式和性质进行求解即可. 【解答过程】根据分布列的性质可知， 于是有， 又因为， 所以， 故答案为：. 11．（24-25高二下·吉林·期中）有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2. (1)如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？ (2)如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X，求X的概率分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）利用古典概型概率公式与互斥事件概率加法公式可得分布列，进而可求期望. 【解答过程】（1）取出的3张卡片都写有1的概率是； （2）的所有可能的取值为0,1,2,3,4； ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 . 12．（24-25高二下·天津·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； (2)若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段恰好投中一次，结合独立事件和独立重复试验的概率公式，即可求解； （2）设乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队的比赛成绩为随机变量，根据题意，结合独立事件和独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为甲、乙所在对的比赛成绩为5分， 则甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段恰好投中一次， 又由甲在第一阶段至少投中一次的概率为， 乙在第二阶段恰好投中一次的概率为， 所以甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率. （2）解：设乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队的比赛成绩为随机变量，则， 当时，即乙参加第一阶段比赛，三次未中或乙参加第一阶段比赛，至少投中一次且甲第二阶段未投中可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中一次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中两次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中三次， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以成绩的期望为. 【类型3 离散型随机变量的方差】 13．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 14．（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 15．（2025高二·全国·专题练习）设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解题思路】设，求出随机变量的数学期望得方差 ，再利用二次函数的单调性可得答案. 【解答过程】设，随机变量的数学期望； 方差 ， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以先增大后减小． 故选：D． 16．（24-25高二下·福建泉州·期中）若随机变量X的分布列如下表，且，则的值为__________. X 0 2 a P p 【答案】9 【解题思路】利用分布列求出，利用期望求解，然后求解方差即可． 【解答过程】由题意可得：，解得， 因为，所以：，解得． ． ． 故答案为：9． 17．（24-25高二下·安徽池州·期中）甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. (1)求甲获胜的概率； (2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，均值为，方差为 【解题思路】（1）利用相互独立事件的乘法公式来求概率即可； （2）先求随机变量分布列，再根据公式求期望和方差即可. 【解答过程】（1）记甲第次射中并获胜为，则彼此互斥， 记事件B表示甲获胜，则 . （2）的所有可能的取值为1，2，3， 则 所以的分布列为： X 1 2 3 p 所以的均值为：， 所以的方差为： . 18．（24-25高三上·北京东城·期末）某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率. (1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； (2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； (3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解题思路】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可； （2）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （3）根据离散型随机变量的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）由表可知200名顾客中愿意购买第一款新品的人数为人， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率为. （2）用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为， 由题意的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 . （3）用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 顾客愿意购买第款新品的概率为， 所以，， 所以， ， 所以. 【类型4 二项分布问题】 19．（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【解答过程】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D. 20．（24-25高二下·山东·月考）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球粒数大约是（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【解题思路】小球每次下落的选择，服从二项分布，当落入3号格，需要做出3次向左，2次向右的选择，根据二项分布，求出事件概率，计算结果. 【解答过程】设事件“向右下落”，则事件“向左下落”，且. 设事件A发生的次数为Y，所以.又小球下落过程中共碰撞5次，所以， 所以， 当落入3号格，需要做出3次向左，2次向右的选择，所以， 故投入160粒小球，落入3号格的小球大约有（粒）. 故选：C. 21．（24-25高二下·江西·期末）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【解题思路】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【解答过程】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 22．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则__________．    【答案】 【解题思路】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【解答过程】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 23．（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析，， 【解题思路】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明； （2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差. 【解答过程】（1）已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件， 第二台车床加工的零件有件，合格品有件， 混合后的合格率为，解得. （2）由可知，一个零件来自第二台车床概率为， 随机变量可能取值有，来自第二台车床零件的个数服从二项分布， 则， 可得， ， ， ， ， 随机变量分布列为： 0 1 2 3 4 根据二项分布，，. 24．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【解题思路】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【解答过程】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 【类型5 超几何分布问题】 25．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【解答过程】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B. 26．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【解题思路】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【解答过程】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C. 27．（24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【解答过程】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 28．（24-25高二下·云南保山·月考）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为____________. 【答案】 【解题思路】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得. 【解答过程】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 29．（24-25高二下·陕西安康·月考）为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 【答案】(1)分布列见解析，，； (2)分布列见解析，，. 【解题思路】（1）由题设X可能取值为0，1，2，应用超几何分布的概率求法求出分布列，进而求期望和方差； （2）由题意，应用二项分布的概率求法求分布列，进而求期望和方差. 【解答过程】（1）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人， 所以X可能取值为0，1，2，，，， X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望为，； （2）由题意，则，，， 的分布列为： 0 1 2 P ，. 30．（24-25高二下·北京·期中）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可. （2）利用超几何分步计算的分布列和数学期望可得结果. （3）根据题意可知，利用二项分布期望公式计算可得结果. 【解答过程】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则， 则从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业的概率为. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，， ∴. 【类型6 决策问题】 31．（24-25高二下·河南·月考）根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（   ） A．农场主采用方案①可以让损失降到最小 B．农场主采用方案②可以让损失降到最小 C．农场主采用方案③可以让损失降到最小 D．农场主采用三种方案的损失均相同 【答案】B 【解题思路】根据给定的信息，求出采用每种方案时的期望，再比较大小即得. 【解答过程】设采用方案①，②，③的损失分别为， 若采用方案①，则； 若采用方案②，则， ； 若采用方案③，， ，而， 所以从农场主损失期望的角度出发，农场主采用方案②可以让损失降到最小. 故选：B. 32．（2025·河南驻马店·模拟预测）2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响． (1)已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励． 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励． 计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？ (2)若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）分别计算两方案中奖三次和中奖两次的概率，从而求得获得代金券金额的期望，比较期望选择较大的方案； （2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”，利用全概率公式即可求解，再利用贝叶斯公式即可求解. 【解答过程】（1）方案一中，中奖三次的概率为， 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为； 方案二中，中奖三次的概率为, 中奖两次的概率为， 所以获得代金券金额的期望为， 因为，所以该顾客选择方案一比较合适. （2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”， 由题意得， ，,， , , 所以已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率. 33．（25-26高三上·重庆·月考）某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 【答案】(1)； (2)选择方案1更合理，理由见解析. 【解题思路】（1）设他第一次摸出红球为事件A，他能够享受优惠为事件B，分后两次取得1个红球或两个红球两种情况可得，然后由条件概率公式可得答案； （2）分别写出两种方案下实付金额对应期望，即可得答案. 【解答过程】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则. 设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑， 则他第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种， 他第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种， 则，则他第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为： ； （2）若选方案1，设实付金额数为，则的可能值为. 注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为， 则，， ，. 则; 若选方案2，设实付金额数为，则的可能值为. 由（1）可得无放回摸出三球的情况有种， 则，， ， 则. 因，则他选择方案1更合理. 34．（25-26高二上·江西·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【解题思路】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【解答过程】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 35．（2025·山东·模拟预测）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 【答案】(1) (2)应选择方案二. 【解题思路】（1）由互斥事件和独立事件的概率公式分别列出，的表达式，再比较它们的大小. （2）分别求出两个方案获得奖励的数学期望，即可进行判断. 【解答过程】（1）因为， ，且， 所以. （2）方案一：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，1000，3000，6000. 且，， ，. 所以 . 方案二：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，2000，3000，6000. 且，， ，. 所以 . 所以.所以甲应该选择方案二. 36．（24-25高二下·广西南宁·期末）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：I．随机选一个选项；II．随机选两个选项；III．随机选三个选项． (1)若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望； (2)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可以取0，2，3，求出对应的概率，进一步得分布列，结合期望公式计算即可求解； （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”， 为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，计算得，，，由此可列不等式求解. 【解答过程】（1）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取0，2，3， 所以的分布列为 0 2 3 则数学期望． （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则的所有可能取值为0，2，3， 则， 所以； 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， 所以； 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，的所有可能取值为：0，6， 则， 所以． 要使唯独选择方案I最好，则，解得，故的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $