专题01 离散型随机变量及其综合应用大题（35题）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

专题01 离散型随机变量及其综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 3．（24-25高二下·安徽·月考）一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 题型二 求离散型随机变量的均值 6．（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 7．（24-25高二下·北京朝阳·期中）已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： (1)第一次抽取的题目是选择题的概率； (2)设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望. 8．（24-25高二下·天津蓟州·月考）已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． (1)求甲同学取球两次终止的概率； (2)求甲同学取球四次终止的概率； (3)求随机变量X的分布列及期望． 9．（24-25高二下·天津红桥·期中）某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于8分的概率； (2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 题型三 求离散型随机变量的方差 11．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 12．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 13．（24-25高二下·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 14．（24-25高二下·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 15．（24-25高二下·陕西西安·月考）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 题型四 二项分布的均值与方差 16．（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 17．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 18．（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 19．（24-25高二下·江苏镇江·期末）高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 20．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 题型五 超几何分布的均值与方差 21．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 22．（24-25高二下·天津和平·期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. (1)求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； (2)设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 23．（24-25高二下·贵州遵义·期中）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 24．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 25．（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 题型六 决策问题 26．（24-25高二下·安徽·月考）某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. (1)求在第3局后即决出胜负的概率； (2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 27．（2025·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 28．（24-25高二下·广西梧州·期末）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 29．（24-25高二下·广东深圳·期中）某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示： 参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率 女生 男生 规定：每参加项比赛，社团的积分增加分． (1)在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； (2)求该社团最终的积分为分的概率； (3)若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择． 方案一：每个社团奖励“参与奖”元； 方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金． 为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由． 30．（24-25高二下·广东广州·期中）某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案： 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测. 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测. (1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； (2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好. 题型七 离散型随机变量与其他知识综合 31．（24-25高二下·河南周口·期末）为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. (1)求图中的值； (2)按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； (3)公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 32．（24-25高二下·安徽·月考）为了响应政策号召，某企业准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了100株树苗进行栽种.测量树苗的高度，得到频率分布直方图，如图所示，以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率，已知不同高度区间内树苗的售价如下表: 树苗高度/cm [120，140) [140，160) [160，180] 树苗售价/(元/株) 2 5 7 (1)现从100株树苗中，按售价分层抽取10株，再从中任选3株，求售价之和超过18元的概率; (2)若从该育苗基地的树苗中任选3株，记树苗高度超过140 cm的株数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 33．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 34．（24-25高二下·北京西城·期中）某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分以6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)求t的值； (2)在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在中的人数，求X的分布列及数学期望； (3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写出结果即可） 35．（24-25高二下·贵州遵义·月考）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题.甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到A类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到B类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立. (1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望 (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为. ①求的值以及的表达式； ②求的最大值以及对应n的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 离散型随机变量及其综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【解答过程】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列. 【解答过程】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. （2）由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 3．（24-25高二下·安徽·月考）一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用古典概型概率公式分别求出和的概率，根据互斥事件的概率加法公式计算即可； （2）由题意知X的可能取值为2，3，4，分别求出对应的概率，列出分布列即可. 【解答过程】（1）依题意， （2）X的可能取值为2，3，4， 则，，， 故X的分布列为： X 2 3 4 P 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）先根据组合数计算，再根据对立事件概率求解； （2）先求出取值为0，1，2，3对应的概率，再得出分布列即可. 【解答过程】（1）设事件：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为， 所以． （2）所有可能的取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，结合条件概率和全概率公式，即可求解； （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，得到可能取值为，求得相应的概率，列出分布列. 【解答过程】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 题型二 求离散型随机变量的均值 6．（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）先结合组合数的计算，根据题意得出从甲、乙两盒中各任取2个球及事件A各包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （2）先根据题意分析所求事件包含的可能情况，并求出其包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （3）先根据题意得出根据题意可得：X的可能取值及相应的概率，从而可得出X的分布列；再根据数学期望公式即可求解. 【解答过程】（1）记事件A表示“取出的4个球颜色相同”. 因为从甲、乙两盒中各任取2个球，不同的取法有种， 取出的4个球颜色相同指的是从甲、乙两盒中各任取2个红球，不同的取法有种 则， 所以取出的4个球颜色相同的概率为． （2）记事件B表示“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”， 则事件B包含两种情况：从甲盒中取出2个红球，从乙盒中取出1个红球和1个蓝球；从甲盒中取出1个红球和1个蓝球，从乙盒中取出2个红球，不同的取法有种， 所以 所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为． （3）根据题意可得：X的可能取值为1，2，3，4， ， . 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P ∴. 7．（24-25高二下·北京朝阳·期中）已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： (1)第一次抽取的题目是选择题的概率； (2)设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为. 【解题思路】（1）应用古典概型的概率求法求第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）由题意可能为，并求出对应概率，即得到分布列，进而求期望. 【解答过程】（1）记第i次抽到选择题为，则； （2）可能为，， 分布列如下， 0 1 2 . 8．（24-25高二下·天津蓟州·月考）已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． (1)求甲同学取球两次终止的概率； (2)求甲同学取球四次终止的概率； (3)求随机变量X的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【解题思路】（1）甲同学取球两次即终止即两次都取红球，结合题意由古典概率计算可得； （2）甲同学取球四次终止即第四次为红球，前三次有一次为红球，结合题意由古典概率计算可得； （3）求出X的可能取值，由题意求出相应的概率，列出分布列，利用期望公式求解可得. 【解答过程】（1）设甲同学取球两次终止为事件A，第一次、第二次均为红球，其余为黑球， ． （2）求甲同学取球四次终止事件B，第四次为红球，前三次有一次为红球，其余均为黑球， ； （3）X的可能取值为0，1，2，3，4 ，； 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以随机变量X的期望为． 9．（24-25高二下·天津红桥·期中）某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于8分的概率； (2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【解题思路】（1）设相应事件，可知该项技术量化得分不低于8分为，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）可知的所有可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【解答过程】（1）设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件， 则， 可知该项技术量化得分不低于8分为， 所以. （2）由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， ， ， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 随机变量的期望． 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）先计算出左右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案； （2）计算出左右手所取两球颜色相同的概率，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【解答过程】（1）左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 故两只手中所取的球颜色不同的概率为； （2）的可能取值为0,1,2， 左手所取两球颜色相同的概率为， 右手所取两球颜色相同的概率为， 故， ， ， 分布列如下： 0 1 2 期望为. 题型三 求离散型随机变量的方差 11．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)均值为，方差为 【解题思路】（1）的可能取值为6,7,8,9,10，求出相应的概率，得到分布列； （2）的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，利用期望和方差公式进行求解. 【解答过程】（1）的可能取值为6,7,8,9,10， ，， ，， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 （2）的可能取值为0,1,2， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且没有正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题， 且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 12．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 【答案】(1)0.7 (2) (3)分布列见解析，数学期望为3，方差为8.5 【解题思路】（1）根据互斥事件的概率求解； （2）利用独立重复事件乘法公式计算； （3）分别得到的所有结果，并求出对应的概率，然后写出分布列并根据期望，方差公式计算. 【解答过程】（1）每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为. （2）由独立重复试验的概率可知，这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为. （3）依题意可得的可能取值为0，2.5，5，10， 的分布列为 0 2.5 5 10 0.3 0.4 0.2 0.1 则， . 13．（24-25高二下·河北承德·期中）甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. (1)求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； (2)若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）分别计算甲答对2道题、乙答对2道题的概率，相乘即可； （2）将问题分解为甲、乙分别答对的题目数，分别求概率再相乘即可列出分布列，进而利用期望和方差公式计算即可. 【解答过程】（1）甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为， 故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为. （2）由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4， ， ， ， ， 故的分布列为： 1 2 3 4 期望， 方差. 14．（24-25高二下·福建福州·期中）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒． (1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； (2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率； (3)若随机变量表示取到小狗的盲盒数，求的分布列，数学期望及方差． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【解题思路】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得； （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得； （3）列出随机变量的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望与方差. 【解答过程】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，， 因为，， 所以， 即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为. （2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，， 因为，，， 所以由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为 ； （3）由题意可取，，， 所以，，. 所以的分布列为： 0 1 2 则，. 15．（24-25高二下·陕西西安·月考）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，； (3). 【解题思路】（1）根据表中数据，结合古典概型概率公式即可得解； （2）利用古典概型概率公式求出各取值的概率，然后可得分布列，再由期望公式可得； （3）利用方差公式计算出即可得解. 【解答过程】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 题型四 二项分布的均值与方差 16．（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用二项分布的概率公式可求解； （2）由题意可得的取值依次为，，利用二项分布的概率公式可求分布列，进而可求数学期望； 【解答过程】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 17．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【解题思路】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【解答过程】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 18．（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析，， 【解题思路】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明； （2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差. 【解答过程】（1）已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件， 第二台车床加工的零件有件，合格品有件， 混合后的合格率为，解得. （2）由可知，一个零件来自第二台车床概率为， 随机变量可能取值有，来自第二台车床零件的个数服从二项分布， 则， 可得， ， ， ， ， 随机变量分布列为： 0 1 2 3 4 根据二项分布，，. 19．（24-25高二下·江苏镇江·期末）高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)25元. (2)3号球槽中落入19或20个小球的概率最大 【解题思路】（1）首先求的分布列，再根据的分布列求的分布列，并计算均值，从而比较成本，确定定价； （2）首先由（1）得，小球落入3号球槽的个数为，判断的单调性，从而确定概率的最大值. 【解答过程】（1）的取值可能为. ， . 因为，所以的取值可能为. ， . 的分布列为 0 5 10 15 ， 则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元， 所以该商品的最低定价约为25元. （2）由（1）得. 进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则. . 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当时，，此时这两项概率均为最大1. 故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大. 20．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【解题思路】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【解答过程】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 题型五 超几何分布的均值与方差 21．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队，利用条件概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【解答过程】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队， 由条件概率公式可得. （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为、、、， ，，， . 故的分布列为 故. 22．（24-25高二下·天津和平·期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. (1)求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； (2)设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式结合对立事件概率公式求解； （2）应用超几何分布写出概率及分布列，再应用公式求解数学期望. 【解答过程】（1）由题意可知，选出的4名同学全是男生的概率为， 所以选出的4名同学中至少有1名女生的概率为； （2）根据题意，的可能取值为，则 ， . 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 23．（24-25高二下·贵州遵义·期中）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.018 (2)分布列见解析；期望为 【解题思路】（1）利用频率分布直方图的频率性质可得：，解得x． （2）分数在的人数分别是：人、人．ξ的取值为0、1、2．利用“超几何分布列”的概率计算公式即可得出． 【解答过程】（1）利用频率分布直方图的频率性质可得：：， 解得 （2）分数在的人数分别是：人、人． 所以ξ的取值为0、1、2．，，， 则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P（ξ） 数学期望． 24．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望 (2)甲班代表更好 【解题思路】（1）分析可知，随机变量的可能取值有、、，结合超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则，计算出、的值，并求出的值，比较大小后可得出结论. 【解答过程】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 25．（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【解题思路】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率； （2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望. 【解答过程】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为 . 题型六 决策问题 26．（24-25高二下·安徽·月考）某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. (1)求在第3局后即决出胜负的概率； (2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （2）根据已知分别求出3局即停止比赛、进行第4局比赛，不管结果，结束比赛、若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛对应的期望，比较大小得结论. 【解答过程】（1）第3局后即决出胜负，即甲连胜三场或乙连胜三场， 所以第3局后即决出胜负的概率为. （2）甲的决策有三种方案， 方案一：3局即停止比赛，甲拿到奖金的期望为（元）； 方案二：进行第4局比赛，不管结果，结束比赛，设甲拿到奖金的期望为， 设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前3局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率． 再继续比赛，第4局甲获胜的概率为 ， 则第4局甲失败的概率为， 所以甲拿到奖金的期望（元）； 方案三：若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛，设甲拿到奖金的期望为， 由方案二知，第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（元）. 因为，所以选择方案二即四场比赛后即停止比赛，拿到奖金的期望更高. 27．（2025·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【解答过程】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是. 28．（24-25高二下·广西梧州·期末）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解答过程】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 29．（24-25高二下·广东深圳·期中）某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示： 参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率 女生 男生 规定：每参加项比赛，社团的积分增加分． (1)在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； (2)求该社团最终的积分为分的概率； (3)若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择． 方案一：每个社团奖励“参与奖”元； 方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金． 为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)方案二更有利，理由见解析 【解题思路】（1）利用条件概率公式结合古典概型概率计算公式即可求解； （2）根据题意，“积分为分”说明“总共参加了场比赛”即“人都是男生，且都参加了三项比赛”，分步计算概率，相乘即可； （3）针对方案二，进行积分的可能取值和相应概率计算，再根据数学期望公式得到，与方案一比较即可得出结论. 【解答过程】（1）根据题意，设“抽取的人至少有名男生”为事件，设“有女生参加比赛”为事件， 则，， 利用条件概率公式，可得. （2）根据题意，该社团最终的积分为分，说明抽取的人都是男生，且人都参加了三项比赛， 所求概率. （3）对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为，则所有可能取值为、、、、. 则， ， ， ， . 所以， 即获得的奖励金额的期望大于，故方案二更有利. 30．（24-25高二下·广东广州·期中）某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案： 方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测. 方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测. (1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望； (2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好. 【答案】(1)方案一的分布列见解析，期望为，方案二的分布列见解析，期望为 (2)方案一检测总费用的期望值为1460元，方案二检测总费用的期望值为1620元，选择方案一更好 【解题思路】（1）设方案一所需检测次数为，则的所有可能取值为，设方案二所需检测次数为，则的所有可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； (2) 设方案一、方案二的检测总费用分别为，则，，结合（1）利用期望的性质计算可得. 【解答过程】（1）设方案一所需检测次数为，则的所有可能取值为， 当时，有两种情况： ①第1次检测2人的混合血液呈阳性，第2次任选这2人中的1人检测即可确定甲流感染者，其概率为； ②第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阳性，其概率为； 所以, 当时，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中1人呈阴性，第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定甲流感染者， 所以, 所以的分布列为： 2 所以； 设方案二所需检测次数为，则的所有可能取值为. 所以， 所以的分布列为： 所以； （2）设方案一、方案二的检测总费用分别为， 所以， 所以方案一检测总费用的期望值（元）， 方案二检测总费用的期望值（元）. 因为，所以方案一检测总费用的期望值更小，所以选择方案一更好. 题型七 离散型随机变量与其他知识综合 31．（24-25高二下·河南周口·期末）为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. (1)求图中的值； (2)按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； (3)公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)4 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中的各组频率之和为1进行求解即可. （2）首先计算成绩不合格的员工频率，然后根据样本量求出成绩不合格的员工人数. （3）首先确定抽取的成绩不合格的员工中，成绩在内的有1人，在内的有3人，求出的所有可能取值，然后针对每个取值求出对应的概率值，最后列出分布列，求取数学期望即可. 【解答过程】（1）由已知条件可得， 所以. （2）因为低于60分的成绩为不合格，根据频率分布直方图， 成绩不合格的员工频率为， 故抽取的成绩不合格的员工人数为. （3）因为与的频率之比为， 所以抽取的成绩不合格的员工中，成绩在内的有1人，在内的有3人.           的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， .           所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 32．（24-25高二下·安徽·月考）为了响应政策号召，某企业准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了100株树苗进行栽种.测量树苗的高度，得到频率分布直方图，如图所示，以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率，已知不同高度区间内树苗的售价如下表: 树苗高度/cm [120，140) [140，160) [160，180] 树苗售价/(元/株) 2 5 7 (1)现从100株树苗中，按售价分层抽取10株，再从中任选3株，求售价之和超过18元的概率; (2)若从该育苗基地的树苗中任选3株，记树苗高度超过140 cm的株数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）分别求得高度在各区间的占比，再由分层抽样即可得到相应的数量，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由二项分布的概率公式代入计算，即可得到分布列以及期望. 【解答过程】（1）高度在[120，140)内的占比为， 高度在[140，160)内的占比为， 高度在[160，180]内的占比为. 从这100株树苗中，按售价分层抽取10株，其中2株2元，5株5元，3株7元， 再从中任选3株，售价之和超过18元，可以为(7，7，7)、(7，7，5)， 故所求概率. （2）由题知从该育苗基地的树苗中任选3株，高度超过140cm的概率为. 由题意可知， 则， ， ， ， 所以随机变量X的分布列如下表所示: X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望. 33．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)证明见解析 【解题思路】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【解答过程】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． （2）由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 所以． （3）由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 34．（24-25高二下·北京西城·期中）某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分以6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)求t的值； (2)在样本中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示成绩在中的人数，求X的分布列及数学期望； (3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)分布列见解析，； (3) 【解题思路】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得； （2）由题可知服从超几何分布，即求； （3）由超几何分布及数学期望及方差公式计算求解. 【解答过程】（1）由直方图可得第二组的频率为，所以 （2）由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，其中中的人数为10， 所以可取0,1,2,3，则 ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 P ； （3）. 因为； 又因为可取0,1,2,3，则 ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 P 所以， 所以； 所以. 35．（24-25高二下·贵州遵义·月考）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题.甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到A类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到B类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立. (1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望 (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为. ①求的值以及的表达式； ②求的最大值以及对应n的值. 【答案】(1)分布列见解析；数学期望为1 (2)①； ②当时，取到最大值，为. 【解题思路】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望； （2）①根据等比数列的定义证明、为等比数列，由等比数列的通项公式可得；②由①，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确的概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ； X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； （2）①，， 由题意得甲累计得分为分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 得（i）， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以（ii）， 令（ii）－（i），得， 所以， 经检验时均满足上式，故. ②由①知， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $