21.5 矩形 题型专练 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 题型专练（参考答案） 【题型1】对矩形定义和性质的理解 【典例】关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A.四个角都是直角 B.既是轴对称图形，也是中心对称图形 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】∵矩形的四个角都是直角， ∴A正确； ∵矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形， ∴B正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴C不正确、D正确； 故选：C． 【强化训练1】关于矩形的对角线，以下说法正确的是（　　） A.相等且互相垂直 B.相等且互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直平分 【答案】B 【解析】矩形的对角线相等且互相平分， 故选：B． 【强化训练2】矩形不一定具有的性质是（　　） A.对角线相等 B.四个角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 【答案】C 【解析】∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分， ∴选项A、B、D正确， 故选：C． 【强化训练3】下列关于矩形对角线的说法中，正确的是（　　） A.对角线相互垂直 B.面积等于对角线乘积的一半 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 【答案】D 【解析】矩形的对角线相等， 故选：D． 【强化训练4】矩形一定具有的性质是（　　） A.邻边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分每一组对角 【答案】B 【解析】矩形对角线相等且互相平分， 故选：B． 【题型2】根据矩形的性质求角度 【典例】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ABD＝60°，则∠E＝（　　） A.45° B.30° C.20° D.15° 【答案】D 【解析】连接AC，AC，BD相交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OB＝OC， ∵∠ABD＝60°， ∴∠OBC＝30°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∵CE＝BD ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝30°， ∴2∠E＝30°， ∴∠E＝15°， 故选：D． 【强化训练1】两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α 【答案】B 【解析】如图： ∵四边形ABCD，四边形EFGH都是矩形， ∴∠B＝∠EHG＝90°， ∵∠1是△EBH的一个外角， ∴∠3＝∠1﹣∠B＝α﹣90°， ∴∠2＝∠EHG﹣∠3 ＝90°﹣（α﹣90°） ＝180°﹣α， 故选：B． 【强化训练2】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若∠ADB＝60°，则∠E＝        °． 【答案】30． 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝60°， ∴∠E＝∠DAE，又BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E＝60°， 即∠E＝30°． 故答案为：30． 【强化训练3】如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：BC＝CE； （2）若∠E＝40°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， 又∵AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD＝CE， ∴BC＝CE； （2）解：∵DE∥AC，∠E＝40°， ∴∠OCB＝∠E＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 【强化训练4】已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若四边形DEBF是矩形，∠AED＝130°，求∠AOD的度数． 【答案】（1）证明：在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵四边形DEBF是矩形， ∴OE＝OD， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠AED+∠OED＝180°， ∴∠OED＝180°﹣∠AED＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠ODE﹣∠OED＝80°． 【题型3】根据矩形的性质求线段长 【典例】如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（　　） A.12 B.5 C.1 D.3 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ADE， ∵DE平分∠AEC， ∵∠DEC＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD＝13， 在直角△ABE中，BE＝＝＝12， ∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝13﹣12＝1． 故选：C． 【强化训练1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A.3 B. C. D.4 【答案】C 【解析】连接OB，AC， ∵点B的坐标是（1，3）， ∴， ∵四边形OABC是矩形， ∴， 故选：C． 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E．若∠CAE＝15°，AC＝18，则BE的长为（　　） A. B.9 C. D.12 【答案】B 【解析】在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9， ∴∠AEB＝∠EAD＝45°， ∴BE＝BA． ∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴BO＝BA＝9， ∴BO＝BE＝9． 故选：B． 【强化训练3】如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝    ． 【答案】． 【解析】如图，连接DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DCE＝90°，AB＝CD＝6， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE＝6， ∵BC＝8， ∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2， 在Rt△DCE中，由勾股定理得DE＝， ∵点F、G分别为AD、AE的中点， ∴FG是△ADE的中位线， ∴FG＝， 故答案为：． 【强化训练4】在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别与AB和CD的延长线交于点E，F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若AB＝6，AD＝8，求AC与EF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠E＝∠F， ∵点O是AC的中点， ∴AO＝CO， ∵EF⊥AC， ∴∠AOE＝∠COF， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）； （2）解：如图，连接CF， ∵AO＝CO，EF⊥AC， ∴CE＝FC， ∴EF＝2OE， ∵△AEO≌△CFO（ASA）， ∴EB＝FD， CD+DF＝， 解得DF＝EB＝， ∴AE＝， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴AC2＝100， ∴AC＝10． ∴AO＝CO＝AC＝5， ∵OE＝＝， ∴EF＝． 【强化训练5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝2，AB＝3，求AF的长． 【答案】解：如图，连接AE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°． ∵BE＝2，AB＝3， ∴． ∵EF是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE， ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO，∠AFE＝∠CEF． 又∵AO＝CO， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE． ∵， ∴． 【题型4】根据矩形的性质求面积 【典例】将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得：CF＝BC＝1，∠F＝∠B＝90°， ∴∠BAC＝∠CAF， ∵AF∥CE， ∴∠ACG＝∠CAF， ∴∠ACG＝∠BAC， ∴AG＝CG， 设AG＝x，则CG＝x，BG＝2﹣x， 在Rt△CGB中，由勾股定理得：CG2＝CB2+BG2， ∴12+（2﹣x）2＝x2， ∴x＝， ∵两张完全相同的矩形纸片， ∴CH∥AG，AH∥CG， ∴四边形AHCG是平行四边形， ∴重叠部分图形的面积＝AG•BC＝×1＝． 故选：D． 【强化训练1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A.10 B.12 C.16 D.18 【答案】B 【解析】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∵MP＝AE＝2 ∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6， ∴S阴＝6+6＝12， 故选：B． 【强化训练2】如图，长方形ABCD中，E、F分别在边AD和AB上，连接BE、CE、CF、DF，BE与CF、DF分别交于G、H，CE交DF于点K，若S四边形AFHE＝60，S△BFG＝25，S△EKD＝20，S△BGC＝80，S△CKD＝70，则图中阴影部分的面积为（　　） A.96 B.100 C.105 D.106 【答案】C 【解析】如图，连接CH， ∵S△BFG＝25，S△BGC＝80， ∴FG：CG＝25：80＝5：16， ∴S△HGF：S△HGC＝5：16， 设S△HGF＝5a，则S△HGC＝16a， ∵S△EKD＝20，S△CKD＝70， ∴EK：CK＝20：70＝2：7， ∴S△HKE：S△HKC＝2：7， 设S△HKE＝2b，则S△HKC＝7b， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴S△ABE+S△DCE＝S△BCE，S△ADF+S△BCF＝S△DCF， ∴， 整理得， ①+②，得32a+14b＝210， ∴16a+7b＝105， ∴S阴影＝S△HGC+S△HKC＝16a+7b＝105， 故选：C． 【强化训练3】在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC，垂足为E．若CE＝9，AE＝16，则S△DOE＝        ． 【答案】21． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OD＝AC＝BD＝＝， ∴OE＝OC﹣CE＝﹣9＝， ∵DE⊥AC， 在Rt△DOE中，由勾股定理得DE＝＝12， ∴S△DOE＝OE•DE＝××12＝21， 故答案为：21． 【强化训练4】如图，长方形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝15厘米，点E是BC的中点，点F是CD的中点，连接BD、AF、AE，把图形分成六块，求涂色部分的面积． 【答案】解：如图所示，假设BD交AE与G点，AF交DB与HG点， 因为BE与AD平行，并且等于AD的， 所以BG：GD＝BE：AD＝1：2，则BG：BD＝1：3， 同样的方法可以得出：DH：BD＝1：3， 所以BG＝DH＝BD，所以BG＝GH＝HD， 所以三角形ABG与三角形AGH的面积相等， △ABG的面积+△BGE的面积＝△AGH的面积+△BGE的面积， △AGH的面积+△BGE的面积＝△ABE的面积＝×8×＝30； 又因△DFH的DF边上的高＝×BC＝5， 所以△DFH面积＝×4×5＝10； 即阴影部分面积＝30+10＝40（平方厘米）． 答：阴影部分的面积是40平方厘米． 【题型5】利用矩形的性质证明 【典例】如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.对角线AC的长度变小 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变 【答案】C 【解析】向右扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意； 此时对角线AC不变，B不合题意； BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意； 四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意， 故选：C． 【强化训练1】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A.AB＝BC B.CD＝AB C.∠BAD＝∠BCD D.OB＝OD 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， ∴CD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，但AB与BC不一定相等， ∴A符合题意，而B、C、D不符合题意， 故选：A． 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是             【答案】①②③④ 【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB， ∵AD＝AB， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED，故①正确； ∵AB＝AH， ∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等）， ∴∠OHE＝67.5°＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠DHO＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH，故②正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确； ∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD， ∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确； 故答案为：①②③④． 【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AE⊥BE，求证：AB＝2BC． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC， 在△ADE和△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（SAS）． ∴AE＝BE． （2）∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， 又∵AE＝BE， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠ABE＝45°． 在矩形ABCD中∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣∠ABE＝45°， ∴△BEC是等腰直角三角形． ∴BC＝EC． 同理，AD＝DE． 在矩形ABCD中AD＝BC，AB＝DC， ∴AB＝2BC． 【题型6】判断所给条件能否判定矩形 【典例】如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　） A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记AC、BD的交点为O， 由图可知，OA＝OD，OB＝OC，OA、OB的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 【强化训练1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD 【答案】C 【解析】A．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B．∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C．∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【强化训练2】下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A.一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B.有三个角是直角 C.两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D.一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意； B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意； C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意． 故选：D． 【强化训练3】对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有        ． 【答案】①④． 【解析】∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，则四边形ABCD是矩形，故①正确； 由∠B＝∠C＝∠D不可以得到矩形，故②错误； ∠A＝∠B，∠C＝∠D，邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误； ∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确； 故答案为：①④． 【强化训练4】在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）（a≠0，b≠c）．若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由． 【答案】解：要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足的条件是b＝﹣c， 理由是：∵A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）， ∴AB2＝（a﹣a）2+（b﹣c）2＝（b﹣c）2，BC2＝（a+a）2+（c+b）2，AC2＝（a+a）2+（b+b）2， 要使四边形ABCD是矩形， 必须∠B＝90°， 即AC2＝AB2+BC2， ∴（b﹣c）2+（a+a）2+（c+b）2＝（a+a）2+（b+b）2， 整理得：b＝±c， ∵b≠c， ∴b＝﹣c， 即要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足的条件是b＝﹣c． 【题型7】添加一条件使四边形是矩形 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　） A.MB＝MO B.OM＝AC C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND 【答案】B 【解析】添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN， 即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵OM＝AC， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形． 故选：B． 【强化训练1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A.OB＝5 B.OD＝5 C.AB＝5 D.BC＝8 【答案】B 【解析】添加OD＝5， 理由：∵∠ABC＝90°，AO＝OC＝5， ∴OB＝AO＝OC＝5， ∵OD＝5， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴AC＝BD＝10， ∴四边形ABCD为矩形， 故选：B． 【强化训练2】如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是               ．（只需写出一个符合要求的条件） 【答案】AC⊥BD 【解析】添加的条件是AC⊥BD， ∵BD∥EF，BD∥GH， ∴EF∥GH， 同理EH∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EF∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥AC， ∵EH∥AC， ∴EF⊥EH， ∴∠E＝90°， ∴平行四边形EFGH是矩形， 故答案为：AC⊥BD． 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是                             （写出一个即可）． 【答案】BE＝CF（答案不唯一）． 【解析】添加条件为：BE＝CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形， 故答案为：BE＝CF（答案不唯一）． 【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC所在直线上，∠ABE＝∠CDF． （1）求证：BE＝DF； （2）连BF，DE．请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝DF； （2）解：如图，添加一个条件为∠EBF＝90°， 理由：由（1）知，△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF，∠BEF＝∠DFE， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵∠EBF＝90°， ∴四边形BFDE为矩形． 【题型8】证明四边形是矩形 【典例】如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有         （填序号）． 【答案】①④． 【解析】①∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF；故①正确； ②当AC⊥BD时，CE＝CF；故②错误； ③∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF＝＝13， ∴OC＝EF＝6.5；故③错误； ④当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 理由：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形．故④正确； 故答案为：①④． 【强化训练1】把两根长度相等的木条的中点用螺栓固定在一起，依次连接木条的四个端点得到的四边形是         ． 【答案】矩形． 【解析】如图所示： 由题意得：AC＝BD，O为AC和BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； 故答案为：矩形． 【强化训练2】证明：对于平行四边形，若任意一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形． 【答案】已知：如图所示，P是平行四边形ABCD内任意一点，且PA2+PC2＝PB2+PD2； 求证：四边形ABCD是矩形； 证明：过P作EF⊥AD，分别交AD、BC于E、F， ∵平行四边形ABCD ∴AD∥BC；AD＝BC ∴EF⊥BC ∴AE+DE＝BF+CF…① ∵PA2＝AE2+PE2； PC2＝PF2+CF2； PB2＝PF2+BF2； PD2＝PE2+DE2； ∴（AE2+PE2）+（PF2+CF2）＝（PF2+BF2）+（PE2+DE2）， ∴AE2+CF2＝BF2+DE2； ∴AE2﹣DE2＝BF2﹣CF2； ∴（AE﹣DE）（AE+DE）＝（BF﹣CF）（BF+CF） ∴（AE﹣DE）•AD＝（BF﹣CF）•BC ∴AE﹣DE＝BF﹣CF…② ①+②得：2AE＝2BF， ∴AE＝BF， 又∵AD∥BC，EF⊥AD，EF⊥BC， ∴四边形ABFE是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴DE∥BF， 又∵AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB， ∴DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°． 又∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是矩形． 【题型9】矩形的判定定理的实际应用 【典例】在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（　　） A.测量对角线是否互相平分 B.测量四边形的三个角是否都为直角 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等 【答案】B 【解析】A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形； B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状； C、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩； D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形． 故选：B． 【强化训练1】用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（　　） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2． ④量出两条对角线长，看是否相等． A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 【答案】D 【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定是否是矩形，故此选项正确，符合题意； ②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确，符合题意； ③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误，不符合题意； ④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误，不符合题意； 综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②． 故选：D． 【强化训练2】如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　） A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量其中的三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选：C． 【强化训练3】木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6m，另一组对边的长为均0.8m，一条对角线长为1m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理         ．（填合理或不合理） 【答案】合理 【解析】如图，由题意得：AB＝CD＝0.6m，BC＝AD＝0.8m， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵AC＝1m，0.62+0.82＝12， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 即此木框为矩形，此方法合理， 故答案为：合理． 【强化训练4】如图，用对边长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是                                 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形． 【解析】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴该图形是平行四边形， 再令对角线相等，就满足对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【强化训练5】如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由． 【答案】解：∵两组对边分别平行， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形； 这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形． 【强化训练6】检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理． 【答案】解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形． 所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形． 根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【题型10】综合应用矩形的判定和性质求解 【典例】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是（　　） A.1 B.1.2 C.2.4 D.4.8 【答案】B 【解析】连接MC， ∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC， ∴四边形MECF是矩形， ∴MC＝EF， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴， ∵点P是EF的中点，则， ∴当CM⊥AB时，CM取得最小值， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【强化训练1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3 【答案】C 【解析】如图，连接AP， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝＝5， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， ∵M是EF的中点， ∴PM＝EF＝AP， 根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短， 则PM也最短， 此时，S△ABC＝BC•AP＝AB•AC， ∴AP＝＝＝2.4， 即AP最短时，AP＝2.4， ∴PM的最小值＝AP＝1.2， 故选：C． 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　） A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 【答案】B 【解析】过点P作PG⊥AH于G，连接PO， ∵PF⊥BD，AH⊥BD， ∴四边形PFHG为矩形， ∴FH＝PG， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠BAH+∠HAD＝∠HAD+∠ADO＝90°， ∴∠BAH＝∠ADO， 同理∠BAH＝∠APG， ∴∠APG＝∠EAP， ∵AP＝PA，∠AEP＝∠AGP＝90°， ∴△APE≌△PAG（AAS）， ∴AE＝PG， ∴AE＝HF， 又∵S△APO+S△PDO＝S△AOD， ∴， ∴PE+PF＝AH， ∴△APE与△DPF的周长和＝AP+PE+AE+PD+PF+DF ＝AD+AH+PG+DF ＝AD+AH+HF+DF ＝AD+AH+HD ∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长． 故选：B． 【强化训练3】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是         ． 【答案】12 【解析】∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点， ∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且＝BD， ∴EH∥FG，EH＝FG， 同理EF∥HG，EF＝HG， 又∵AC⊥BD， ∴四边形EFGH是矩形， ∴四边形EFGH的面积＝EF×EH＝AC×BD＝×8××6＝12． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD∥EF， ∵BE＝CF， ∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC， ∵AD＝6，BF＝3， ∴EB＝CF＝3，EC＝9， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°， ∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°， ∴DC＝2CF＝6， 在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2， ∴， ∵四边形AEFD是矩形， ∴，∠AEC＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2， ∴， ∵M是AC的中点，∠AEC＝90°， ∴． 【题型11】综合应用矩形的判定和性质证明 【典例】在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点，求证：． 证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD． … ∴AC＝BD＝2OB ∴． 下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∵∠ABC＝90°；②∴四边形ABCD是平行四边形；③∴四边形ABCD是矩形；④∵OA＝OC，OB＝OD．则正确的顺序（　　） A.④②①③ B.④①②③ C.①④②③ D.①②③④ 【答案】A 【解析】如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD， ， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝2OB ∴， 故选：A． 【强化训练1】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFG＝S平行四边形ABCD．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE∥BF，故①正确； ②∵AG∥DB且AG＝DB， ∴四边形ADBG是平行四边形， ∵AD⊥BD， ∴四边形ADBG是矩形，故②正确； ③连接DG， ∵四边形ADBG是矩形， ∴DG过点E，AB＝CD． 若FG＝AB，则FG＝CD，显然FG与CD不一定相等，故③不正确； ④∵四边形ADBG是矩形， ∴AD＝BG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴BG＝BC， ∴S△BFG＝S△BFC． ∵F为边CD的中点， ∴S△BFC＝S△BFD， ∴S△BFG＝S△BFC＝S△BFD， ∴，故④正确． 故选：D． 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是           ． 【答案】①③④ 【解析】①AC＝＝＝5，故①正确； ②若DQ＝CM，则有△CQD≌△BMC，推出BC＝DC，与已知矛盾，故②错误； ③AE∥CF，DP⊥AF，BM⊥CE，四个角都是直角，是矩形，故③正确； ④∵∠ADP+∠PDC＝90°，∠DCE+∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠DCQ， 在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴∠DAP＝∠BCM， ∵∠APD＝∠CMB， ∴△APD≌△CMB（AAS）， ∴AP＝CM， 如图，设PQ、MN分别交AC于点J、K， ∵AF∥CE， ∴∠PAJ＝∠MCK， 又∵∠APD＝∠CMB， ∴△APJ≌△CMK（ASA）， ∴PJ＝MK， ∵四边形PQMN是矩形， ∴PQ＝MN，PN＝QM， ∴AC平分四边形PQMN的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 【强化训练3】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为                          ． 【答案】DF＝DE且DF⊥DE． 【解析】如图，连接AD． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC， ∴AD＝BD＝DC，∠C＝∠BAD＝45°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AFP＝∠AEP＝∠EAF＝90°， ∴四边形AFPE是矩形，∠C＝∠EPC＝45°， ∴PE＝AF，PE＝EC， ∴AF＝EC， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE， ∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDP， ∴∠FDE＝∠ADC＝90° 故答案为DF＝DE且DF⊥DE． 【强化训练4】如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB． 【答案】证明：（1）∵AE⊥BN，DF⊥BN， ∴AE∥DF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BN， ∴四边形AEFD是矩形； （2）∵四边形AEFD是矩形， ∴AD∥EF，AD＝EF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB． 【强化训练5】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F． （1）求证：四边形ADCE为矩形． （2）①判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论． ②线段EF与AB有怎样的关系？直接写出你的结论． 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠AEC＝90°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴， ∴∠DAE＝90°， ∴四边形ADCE为矩形； （2）解：①四边形ABDE是平行四边形，证明如下， ∵四边形ADCE为矩形， ∴AE＝CD，AE∥BD， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AE＝BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； ②EF∥AB，，理由如下， ∵四边形ADCE为矩形， ∴， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DE∥AB，DE＝AB， ∴EF∥AB，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀教版（2024）八年级下册 21.5 矩形 题型专练 【题型1】对矩形定义和性质的理解 【典例】关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　） A.四个角都是直角 B.既是轴对称图形，也是中心对称图形 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分且相等 【强化训练1】关于矩形的对角线，以下说法正确的是（　　） A.相等且互相垂直 B.相等且互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直平分 【强化训练2】矩形不一定具有的性质是（　　） A.对角线相等 B.四个角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 【强化训练3】下列关于矩形对角线的说法中，正确的是（　　） A.对角线相互垂直 B.面积等于对角线乘积的一半 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 【强化训练4】矩形一定具有的性质是（　　） A.邻边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分每一组对角 【题型2】根据矩形的性质求角度 【典例】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ABD＝60°，则∠E＝（　　） A.45° B.30° C.20° D.15° 【强化训练1】两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A.α﹣90° B.180°﹣α C.α﹣45° D.270°﹣α 【强化训练2】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若∠ADB＝60°，则∠E＝        °． 【强化训练3】如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：BC＝CE； （2）若∠E＝40°，求∠BOC的度数． 【强化训练4】已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若四边形DEBF是矩形，∠AED＝130°，求∠AOD的度数． 【题型3】根据矩形的性质求线段长 【典例】如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（　　） A.12 B.5 C.1 D.3 【强化训练1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A.3 B. C. D.4 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E．若∠CAE＝15°，AC＝18，则BE的长为（　　） A. B.9 C. D.12 【强化训练3】如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝    ． 【强化训练4】在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别与AB和CD的延长线交于点E，F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若AB＝6，AD＝8，求AC与EF的长． 【强化训练5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝2，AB＝3，求AF的长． 【题型4】根据矩形的性质求面积 【典例】将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合．若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（　　） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A.10 B.12 C.16 D.18 【强化训练2】如图，长方形ABCD中，E、F分别在边AD和AB上，连接BE、CE、CF、DF，BE与CF、DF分别交于G、H，CE交DF于点K，若S四边形AFHE＝60，S△BFG＝25，S△EKD＝20，S△BGC＝80，S△CKD＝70，则图中阴影部分的面积为（　　） A.96 B.100 C.105 D.106 【强化训练3】在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC，垂足为E．若CE＝9，AE＝16，则S△DOE＝        ． 【强化训练4】如图，长方形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝15厘米，点E是BC的中点，点F是CD的中点，连接BD、AF、AE，把图形分成六块，求涂色部分的面积． 【题型5】利用矩形的性质证明 【典例】如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.对角线AC的长度变小 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变 【强化训练1】在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A.AB＝BC B.CD＝AB C.∠BAD＝∠BCD D.OB＝OD 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是             【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，BE． （1）求证：AE＝BE； （2）若AE⊥BE，求证：AB＝2BC． 【题型6】判断所给条件能否判定矩形 【典例】如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（　　） A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【强化训练1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD 【强化训练2】下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A.一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B.有三个角是直角 C.两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D.一组对边平行，另一组对边相等 【强化训练3】对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有        ． 【强化训练4】在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（﹣a，﹣b），D（﹣a，﹣c）（a≠0，b≠c）．若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由． 【题型7】添加一条件使四边形是矩形 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　） A.MB＝MO B.OM＝AC C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND 【强化训练1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A.OB＝5 B.OD＝5 C.AB＝5 D.BC＝8 【强化训练2】如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是               ．（只需写出一个符合要求的条件） 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是                             （写出一个即可）． 【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC所在直线上，∠ABE＝∠CDF． （1）求证：BE＝DF； （2）连BF，DE．请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由． 【题型8】证明四边形是矩形 【典例】如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有         （填序号）． 【强化训练1】把两根长度相等的木条的中点用螺栓固定在一起，依次连接木条的四个端点得到的四边形是         ． 【强化训练2】证明：对于平行四边形，若任意一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形． 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形． 【题型9】矩形的判定定理的实际应用 【典例】在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（　　） A.测量对角线是否互相平分 B.测量四边形的三个角是否都为直角 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等 【强化训练1】用一刻度尺检验一个四边形是否是矩形，以下方法可行的有（　　） ①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等． ②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等． ③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2． ④量出两条对角线长，看是否相等． A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 【强化训练2】如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　） A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量其中的三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等 【强化训练3】木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6m，另一组对边的长为均0.8m，一条对角线长为1m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理         ．（填合理或不合理） 【强化训练4】如图，用对边长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是                                 ． 【强化训练5】如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由． 【强化训练6】检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理． 【题型10】综合应用矩形的判定和性质求解 【典例】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是（　　） A.1 B.1.2 C.2.4 D.4.8 【强化训练1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A.2.5 B.2.4 C.1.2 D.1.3 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　） A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 【强化训练3】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是         ． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 【题型11】综合应用矩形的判定和性质证明 【典例】在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点，求证：． 证明：如图，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD． … ∴AC＝BD＝2OB ∴． 下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∵∠ABC＝90°；②∴四边形ABCD是平行四边形；③∴四边形ABCD是矩形；④∵OA＝OC，OB＝OD．则正确的顺序（　　） A.④②①③ B.④①②③ C.①④②③ D.①②③④ 【强化训练1】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFG＝S平行四边形ABCD．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3．点E、F分别在边AD、BC上（点E不与A、D重合）且AF∥CE，DP⊥AF于点P，交CE于点Q，BM⊥CE于点M，交AF于点N．给出下面四个结论：①AC＝5；②DQ＝CM；③四边形PQMN是矩形；④AC平分四边形PQMN的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是           ． 【强化训练3】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为                          ． 【强化训练4】如图，BD平分∠ABF，点A是射线BM上一点，过点A作AD∥BN交BG于点D，过A作AE⊥BN，过点D作DF⊥BN． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）在BF上取点C使得CF＝BE，连接AC、CD．求证：AD=AB． 【强化训练5】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F． （1）求证：四边形ADCE为矩形． （2）①判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论． ②线段EF与AB有怎样的关系？直接写出你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $