21.5 第1课时 矩形的性质-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（冀教版·新教材）

21.5 ©第1课时 ①基础在线》知识要点分类练 知识点1矩形的四个内角都是直角 1.如图，直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在直线 b上.若∠2=31°，则∠1的度数为 A.41° B.51° C.49 D.59 第1题图 第3题图 2.(教材P134习题T1变式)矩形的两边长分别 是3和4，则它对角线的长是 （) A.√7 B.5 C.27 D.6 3.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,M为OD的中点，连接AM,若AB=4,BC =6,则△AOM的面积为 () A.3 B.6 C.1.5D.2 4.如图，在矩形ABCD和矩形ECGF中，点B, C,G在一条直线上，且C是BG的中点，点E 在CD上，连接AG,点E恰好在AG上.求证： AE=GE 知识点2矩形的两条对角线相等 5.(保定期末)如图，在矩形ABCD中，若对角线 AC=4,则BD= 矩形 矩形的性质 第5题图 第6题图 6.(沧州开学考试)如图，矩形ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,AC=3,P,Q分别为 AO,AD的中点，则PQ的长度为 7.(保定阶段练习)如图，在矩形ABCD中，对角 线AC,BD相交于点O,如果∠ADB=25°，那 么∠AOB的度数为 () A.50° B.45° C.40° D.35 8.(教材P134习题T4变式)如图，四边形ABCD 是矩形，过点D作DE∥AC,交BA的延长线 于点E.求证：∠BDA=∠EDA. 2 能力在线沙方法规律综合练 9.(保定期中)如图，在矩形OABC中，点B的坐 标是(4,1)，则AC的长是 () A.√15B.4 C.√17 D.5 第二十一章66 10.(沧州阶段练习)如图，点E在矩形ABCD的 边BC的延长线上，连接AC,DE,BE=AC, 若∠E=70°，则∠ACB的度数是() A.30° B.35° C.40° D.45° 第10题图 第11题图 11.（廊坊一模)如图，在矩形ABCD中，M为AD 上的一点，且BM⊥CM,P,Q分别为BM, CM的中点，连接AP,PQ,DQ.若AP=4, DQ=3,则四边形APQD的周长为() A.24 B.12 C.17 D.22 12.(中考·内江)如图，在矩形ABCD中，AB=8, AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点，连 接BE,EF,G为BE的中点，H为EF的中 点，连接GH,则GH的最大值是 第12题图 第13题图 13.(承德期中)实验探究：如图所示，对折矩形纸 片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF, 把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在 EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同 时得到线段BN,MN.请你观察如图，猜想 ∠MBN等于. 14.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与 BD交于点O. (1)尺规作图：作∠BAD的平分线，交BD于点 F,交BC于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)若OC=BE,求∠EAO的度数 67探究在线八年级数学（下）·JJ ③拓展在线沙培代拔尖提升柒 15.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延 长CE,BA交于点F,连接AC,BD,DF. (1)求证：BD=DF; (2)当CF平分∠BCD,且BC=6时，求CD 的长在△AOB中，过点B作BH⊥OA于点H,如图. .EM∥BC,∴.∠EMC=∠ACB. .'AB=BO=10 m,OA=12 m,BH LOA, .∠ACE=∠EMC.∴.ME=EC.∴.DB=ME. AH-70A-6 m.:BH-ABA=8(m). 又EM∥BD,∴四边形MBDE是平行四边形. 第2课时平行四边形的判定2,3 ∴Sanw=20A,BH=号×12X8=48(m). 基础在线 1.B2.C3.D .SOABCD=4SAADB=4X48=192(m2). 4.BD⊥AB,BD⊥CD,∴∠ABD=∠CDB=90° ∴.劳动菜园的面积为192m2. (2)连接CM,如图. 在△AD有R△CDB中，：D8 OA=OC,.S△MoM=SAmM. .Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴.AB=CD. .S△MOM+SACNO=SAOOM十SACNO=S△aMN. 又，AD=CB,.四边形ABCD是平行四边形 .DM=ON,..MN=MO+ON=OD. 5.C6.D .SACMN SACOD SAABO=48 m2. 7.,口EFGH的对角线EG,FH相交于点O, ∴.种植草莓区域的面积为48m ..OE=OG,OF=OH. E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ..OA=20E,OC=20G,OB=20F,OD=20H ..OA=OC,OB=OD. ∴.四边形ABCD是平行四边形. 图① 图② 8.A 21.3平行四边形的判定 能力在线 第1课时平行四边形的判定1 9.12010.D11.C 基础在线 12.如图，四边形ABCD为所作的平行四边形 1.B2.D3.A 4.,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC. .∠DAN=∠BCM. 拓展在线 .BM⊥AC,DN⊥AC, 13.(1)A ∴.BM∥DN,∠DNA=∠BMC=90° (2)选择甲方案证明： 在△ADN和△CBM中， .在平行四边形ABCD中，OB=OD,DE∥BF, ∠DNA=∠BMC=90, .∠EDO=∠FBO :∠DAN=∠BCM, ∠FBO=∠EDO, AD=CB, 在△BFO和△DEO中，OB=OD, .∴.△ADN≌△CBM(AAS).∴.BM=DN. ∠FOB=∠EOD, '.四边形BMDN是平行四边形. ∴.△BFO≌△DEO..OF=OE 5.B6.A7.6cm或2cm .BN=DM,..ON=OM. 能力在线 在四边形EMFN中，由对角线相互平分可知，四边形 8.B9.C10.B EMFN为平行四边形， 11.(1)证明：C是线段AB的中点，.AC=CB= AB. 乙、丙方案证明略. 21.4三角形的中位线 CD∥BE,∠DCA=∠B. 基础在线 (∠A=∠ECB, 1.302.43.144.C5.D6.B7.C 在△DAC和△ECB中，AC=CB, 能力在线 ∠DCA=∠B 8.D9.B10.B11.A ..△DAC≌△ECB(ASA). 12.(1)选择①， (2):AB=16,BC=7AB=8, 证明：E,F分别为BC,BD的中点， ∴.EF是△BCD的中位线.∴.EF∥CD,CD=2EF .△DAC≌△ECB,∴.CD=BE .'AC=3AD,.'CD=2AD...AD=EF. 又，CD∥BE,.四边形BCDE是平行四边形 ,AD∥EF,.四边形ADEF是平行四边形 ..DE=BC=8. 选择②证明略. 拓展在线 (2)F是BD的中点，∠BAC=90°，∴.BD=2AF 12.(1)证明：.AB=AC,.∠ABC=∠ACB. 由(1)知，四边形ADEF是平行四边形，CD=2AD, .∠BAC=180°-2∠ABC. .'DE=AF,AD=EF. ,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE, .CD=DE,..BD=2AF=2DE-2CD-4AD. ..AD=AE.../ADE=∠AED 在Rt△ABD中，AD+AB2=BD2,即AD+152= ./DAE=180°-2/ADE. .'∠ADE=∠ABC,.∠BAC=∠DAE 16AD,解得AD=√15.EF=AD=√15. .∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD. 拓展在线 ∴∠BAD=∠CAE. 13.(1)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC (AB-AC, 与BD的长度之和.证明如下： 在△BAD和△CAE中，，∠BAD=∠CAE, :H,G分别为AD,CD的中点，∴HG=合AC AD=AE, .△BAD≌△CAE(SAS). :E,F分别为AB,BC的中点，EF=号AC. (2)四边形MBDE是平行四边形 证明：，△BAD≌△CAE, “HG=EF=号AC.同理，HE=GF=合BD, ∴.DB=CE,∠ABD=∠ACE .瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG十EF十HE ,∠ABD=∠ACB,∠ACB=∠ACE. 一探究在线·八 +GF-AC+7AC+BD+7BD-AC+BD. 8.四边形ABCD是矩形， (2)瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数为35° .AC-BD,OA-7AC,OD-BD. 或145° .OA=OD..∠CAD=∠BDA. 阶段测评5(21.1~21.4) .DE∥AC,.∠CAD=∠EDA..∠BDA=∠EDA. 1.B2.B3.B4.C5.C6.A7.48.227°9.10 能力在线 10.BE=DF(答案不唯一)11.130cm 9.C10.C11.D12.513.30 12.(1)14-2t2t-14(2)9 14.(1)作图如图所示. 13.四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O, (2),四边形ABCD是矩形， ..AO=CO,BO=DO ∴.∠BAD=∠ABC=90°，OC=OB .BM=DN,..BO-BM=DO-DN. -OA-OD. .MO=NO..四边形AMCN是平行四边形 由作图知，AE平分∠BAD, 14.(1)设多边形的边数为n,则180°×(n一2)=1520°，解得 ∠BAE=2∠BAD=45°， n=10号 ∴∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE. n为正整数，.多边形的内角和不可能为1520°. ..AB=BE (2):n=10号≈10.44， .'OC-BE,..OB=AB-OA. ∴.△ABO是等边三角形，∠BAO=60°. 依题意，得该多边形的边数为10， ∴.∠EAO=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°. .(10-2)×180°=8×180°=1440° 拓展在线 故该多边形的内角和为1440° 15.(1)证明：四边形ABCD是矩形， 15.(1)四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC=8. ∴.AB∥CD,AD=BC,BD=AC..∠FAE=∠CDE. AC⊥BC,.AC=√AB2-BC=√102-82=6. :E是AD的中点，∴AE=DE ∴.□ABCD的面积为BC·AC=48. ∠FAE=∠CDE (2),四边形ABCD是平行四边形， 在△FAE和△CDE中，AE=DE, ∴BD=2B0,0C=2AC=3. ∠FEA=∠CED, ∴.△FAE≌△CDE(ASA).∴.CD=FA. 在Rt△OBC中，根据勾股定理，得 又，CD∥AF,∴.四边形ACDF是平行四边形 OB=√BC+OC=√82+3z=V√3. ∴.AC=DF.∴.BD=DF .BD=2OB=2√/73. (2)四边形ABCD是矩形 ∴.∠BCD=∠CDE=90° 16.[三角形中位线定理]DE,∥BC且DE=2BC CF平分∠BCD,.∠DCE=45° [应用]连接BD,如图②. .△CDE是等腰直角三角形，.CD=DE. E,F分别是边AB,AD的中点， :E是AD的中点，∴CD=DE=AD=号BC=3, .EF∥BD,BD=2EF=4..∠ADB=∠AFE=45°. BC=5,CD=3,BD=4,.BD2+CD2=25,BC=25. 第2课时矩形的判定 .BD2+CD2=BC..∠BDC=90° 基础在线 ../ADC=/ADB+/BDC=135 1.B [拓展]证明：如图③，取DC的中点H,连接MH,NH. 2.四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,DC=AB M,H分别是AD,DC的中点， CF=AE,.DF=BE且DF∥BE. .MH是△ADC的中位线. .四边形BFDE是平行四边形 又DE⊥AB,∴.∠DEB=90° :MH/AC且MH=ZAC .四边形BFDE是矩形 3.D 同理可得NH∥BD且NH=号BD, 4.AE⊥CD,CF⊥AB,∴.∠AEC=∠AFC=90° EF=EG,∠EFG=∠EGF. 在口ABCD中，AB∥CD, .MH∥AC,NH∥BD, .∠EAF=180°-∠AEC=90°. .∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM! ∴.∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°. .∠HMN=∠HNM..MH=NH.AC=BD. .四边形AECF是矩形 H 5.C6.A 7.,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D .'CE=CD,.'.AB=CE. 图② 图③ 四边形ABEC是平行四边形. 21.5矩形 .'.BC=2BF,AE=2AF. 第1课时矩形的性质 '2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE, 基础在线 ∠ABC=∠BAE.∴.AF=BF 1.D2.B3.A AE=BC..平行四边形ABEC是矩形 4.,矩形ABCD和矩形ECGF, 能力在线 .AD=BC,∠D=90°=∠ECG 8.A9.D10.C ,点B,C,G在一条直线上，且点C是BG的中点， 11.(1)证明：，CF平分∠ACD,,∠OCF=∠FCD ∴.CG=BC=AD. ·L∥BC,∴∠FCD=∠CFO. 又：点E恰好在AG上，∴∠AED=∠CEG. ∴.∠OCF=∠OFC.∴.OC=OF .△AED2△GEC..AE=GE. 同理可得OC=OE,∴.OE=OF 5.46.7.A (2)四边形AECF是矩形.理由如下： ,O是AC的中点，∴AO=OC 年级数学（下）·JJ一 21