精品解析：辽宁丹东市2025-2026学年九年级下学期学情自测 数学试卷

九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 3. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 5. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 7. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A. 互相平分 B. 相等且互相平分 C. 互相垂直平分 D. 互相垂直 8. 如图，在等边中，点D，E分别在边上，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 9. 如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为4的正方形中，E 是对角线上的一点，且，点 P 在 上． 于点 M， 于点 N，则的值为 （ ） A. 2 B. C. 4 D. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 12. 已知则的值为________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，则点E的对应点的坐标是________． 14. 已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是________． 15. 在如图，中，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （）计算：； （）解方程：． 17. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 18. 如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 19. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时自变量的取值范围． （3）如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 21. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 22. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是 的中线， M 是的中点，的延长线交于N，求证： ． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1） 请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2） 【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④， 在 中，是边上的中线， N， K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在 中，，在直线上取点B，使连接，在线段上取点A，连接， 直线交直线于F， 当时， 求的值．请你写出解答过程； 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：B． 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 3. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 5. 2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A. 互相平分 B. 相等且互相平分 C. 互相垂直平分 D. 互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理结合，推出四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直且平分，即可得出结果． 【详解】解：由题意和三角形的中位线定理可知：， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的对角线互相垂直平分； 故选C． 8. 如图，在等边中，点D，E分别在边上，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 利用等边三角形的性质，证明，即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，相交于点O，设与相交于点求出，证明与重合，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 相交于点O，设与相交于点 ∵沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与重合， ∴． 10. 如图，边长为4的正方形中，E 是对角线上的一点，且，点 P 在 上． 于点 M， 于点 N，则的值为 （ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，连接，设点C到的距离为h，然后根据求出，再根据正方形的性质求出h即可． 【详解】解：如图，连接，设点C到的距离为h， 则， 即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，指数部分应为，且图象在第二、四象限时比例系数小于0． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得，或， 又∵图象在第二、四象限， ∴比例系数，即， ∴不符合，符合， 故答案为． 12. 已知则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分变形，再代入已知比例关系计算即可． 【详解】解：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，则点E的对应点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点的对应点与原点同侧，异侧两种情况，结合位似比计算对应点的坐标． 【详解】解：由题意，以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，可得位似比为或， 当与在原点同侧时，位似比为， ， 的坐标为. 当与在原点异侧时，位似比为， 的坐标为. 综上，点的坐标为或． 14. 已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 15. 在如图，中，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数的几何意义，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键． 过点作于轴，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：过点作轴于，如图： ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （）计算：； （）解方程：． 【答案】（）；（）， 【解析】 【分析】（）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零指数幂分别运算，再合并即可； （）把方程化成一般式，再利用公式法解答即可； 本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，． 17. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 18. 如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为3． 19. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时自变量的取值范围． （3）如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用点A的坐标求出反比例函数的解析式，再以此求出点B的坐标，从而求出一次函数的解析式； （2）当反比例函数图像在一次函数图象下方时，，结合两个交点的横坐标即可求解； （3）利用对称性求出点C的坐标，再通过坐标系中图形面积的求法解出面积即可． 【小问1详解】 解：代入点到，得， ∴， ∵点B在上， ∴， ∴， 代入点，到，得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：时，反比例函数图象在一次函数图象下方， 观察图象可知，当或时，． 【小问3详解】 解：如图所示， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴，平行于x轴， ∴，边上的高， ∴． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据5月份销售量月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值，再选择较小的的值即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元／个， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 21. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）75712元 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，三角形的内角和定理，等角对等边，含直角三角形的性质，掌握知识点的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，求出，，从而可得，，（米），再求出的长即可得解； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：如图：过点作于点， 由题意知，， ∴，， ，，米， ∴（米） ∴（米） 答：、两地的距离约为米； 【小问2详解】 解：如图：过点作于点， 米， ，，， ， ， ∵，， （米）， ， （米）， （米）， 总费用约为（元）， 答：总费用约为75712元． 22. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是 的中线， M 是的中点，的延长线交于N，求证： ． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1） 请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2） 【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④， 在 中，是边上的中线， N， K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在 中，，在直线上取点B，使连接，在线段上取点A，连接， 直线交直线于F， 当时， 求的值．请你写出解答过程； 【答案】（1）①甲同学的思路： 证明：如图，过点D作，于点K， ， M 是的中点， ， ， 是 的中线， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②乙同学的思路： 如图，作交的延长线于， ， M 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是 的中线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图， ∵N，K是的三等分点， ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴，， 设，则． ∵，， ∴． ∵， ； 即； （3）或 【解析】 【分析】（1）①甲同学的思路，过点D作，于点K，由判定，由全等三角形的性质得，即可求证；②乙同学的思路， 作交的延长线于，由判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）连接，利用三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①在线段上，如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；②当在射线上，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，可求，同理可求，由相似三角形的性质得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）①在线段上， 如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ； ②当在射线上， 如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ 综上所述：或． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）①；②存在，或或 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； 【小问3详解】 解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $