精品解析：辽宁省丹东市第五中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

丹东五中2024-2025（下）九年级寒假复习验收测试 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向西走，记作，那么向东走记作（ ） A. B. C. D. 2. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 6. 下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ） A. 直线与x轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 7. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 8. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于D，E，再分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF交BC于点M，若CM=3，AB=10，则△ABM的面积为（ ） A. 30 B. 15 C. 10 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 12. 将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为______． 13. 如图，某一时刻停车场内有序号为的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，则甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是______． 14. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点D，作矩形，点分别在x轴和y轴上，且，若矩形的面积为24，则k的值是______． 15. 如图，矩形，已知，，点P是直线上的一个动点，将矩形沿线段折叠，使得点A恰好落在矩形的对称轴上，则长等于______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元． （1）跳绳和键子的单价分别是多少元？ （2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？ 18. 教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图： 平均每周劳动时间的频数统计表 劳动时间小时 频数 t＜3 9 3≤t＜4 a 4≤t＜5 66 t≥5 15 请根据图表信息，回答下列问题． （1）参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中a＝______； （2）在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是______°； （3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 19. 为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元，超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件． （1）试求出每周的销售量y（件）与每件售价x元之间的函数解析式；（不需要写出自变量取值范围） （2）超市管理部门要求这款T恤衫售价不得高于110元，则当每件T恤衫售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 21. 如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． （1）求证：； （2）求的半径长． 22. 【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 23. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． （1）函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） （2）已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东五中2024-2025（下）九年级寒假复习验收测试 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向西走，记作，那么向东走记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量，比较简单．根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示解答即可． 【详解】解：因为向西走，记作， 所以向东走记作． 故选A． 2. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而从正面看立体图形中的小长方形的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意， 故选：C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形（一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合）与中心对称图形（一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合）的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数乘法，积的乘方和幂的乘方，根据合并同类项，同底数乘除法，积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可 【详解】解：A. 与不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，故此选项计算错误，不符合题意； D. 与不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：B 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0， 解得k＜7且k≠3． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6. 下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ） A. 直线与x轴交点的坐标是 B. 直线经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意； B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意； C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意； D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意； 故选：A． 7. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假，根据对顶角相等，平行线的判定，等式的性质，不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：对顶角相等，故①为真命题； 同位角相等，两直线平行，故②为真命题； 若，则或，故③为假命题； 若，当时，则，故④为假命题； 故选B． 8. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 9. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键． 由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出的长． 【详解】∵ ∴，即， ∴， ∴． 故选B． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于D，E，再分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF交BC于点M，若CM=3，AB=10，则△ABM的面积为（ ） A. 30 B. 15 C. 10 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点M作MH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到MH=CM=3，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示，过点M作MH⊥AB于H， 由作图方法可知，AM平分∠BAC， ∵∠C=90°，MH⊥AB， ∴MH=CM=3， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要查了角平分线的性质、角平分线的尺规作图，三角形面积，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，根据平移的性质求出平移后点的坐标，再把平移后点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求解，掌握平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：将点沿轴向右平移个单位，得到的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，某一时刻停车场内有序号为的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，则甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中甲、乙两车停放在不相邻的位置的有种结果， ∴甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是， 故答案为：． 14. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点D，作矩形，点分别在x轴和y轴上，且，若矩形的面积为24，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求解反比例函数的解析式，先证明，，，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴， 故答案为： 15. 如图，矩形，已知，，点P是直线上的一个动点，将矩形沿线段折叠，使得点A恰好落在矩形的对称轴上，则长等于______． 【答案】或或10 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，根据题意正确画出图形是解题的关键．本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当点A落在水平对称轴上时，如图： 在矩形中，， ∵为矩形的对称轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则：， 再中，， ∴， 解得：，即：； ②当点A落在竖直对称轴上时，如图： 为矩形的对称轴，则：，， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，； ③如图，点A恰好落在矩形的对称轴的处，G在上，H在上， 在矩形中，，， ∵是矩形的对称轴， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形ABA″E是菱形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：或或10； 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行加减运算； （2）先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元． （1）跳绳和键子的单价分别是多少元？ （2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？ 【答案】（1）跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元 （2）最多购买80根跳绳 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元，根据购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元，列出方程组进行求解即可； （2）设学校购买根跳绳，根据学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设跳绳的单价是元，毽子的单价是元． 依题意，得解得 答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元． 【小问2详解】 设学校购买根跳绳，则购买个毽子． 依题意，得，解得， 的最大值为80． 答：最多购买80根跳绳． 18. 教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图： 平均每周劳动时间的频数统计表 劳动时间小时 频数 t＜3 9 3≤t＜4 a 4≤t＜5 66 t≥5 15 请根据图表信息，回答下列问题． （1）参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中a＝______； （2）在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是______°； （3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）150，60 （2）36 （3）恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 【解析】 【分析】（1）由统计图可得t＜3的人数有9人，所占百分比为6％，然后可得调查总人数，进而问题可求解； （2）由（1）可得D组所占百分比，然后问题可求解； （3）利用画树状图可进行求解． 【小问1详解】 解：参加此次调查的总人数是：9÷6%＝150（人），频数统计表中a＝150×40%＝60， 故答案为：150，60； 【小问2详解】 解：D组所在扇形的圆心角度数是：360°×＝36°， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题主要考查扇形统计图及概率，解题的关键是利用统计图得到相关信息． 19. 为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元，超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件． （1）试求出每周的销售量y（件）与每件售价x元之间的函数解析式；（不需要写出自变量取值范围） （2）超市管理部门要求这款T恤衫售价不得高于110元，则当每件T恤衫售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当销售单价为110元时，最大利润是12000元． 【解析】 【分析】（1）根据“当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件”，求解即可； （2）求得销售利润与售价之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 整理得， ∴每周的销售量y（件）与每件售价x元之间的函数解析式为； 【小问2详解】 设每月获得利润为w元，根据题意得， ， ∵，开口向下，对称轴为： ∴当时，w的值随着x的增大而增大， ∴当时，w最大值， 答：当销售单价为110元时，该超市每周获得利润最大，最大利润是12000元 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得对应的函数解析式． 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，的坡度为，， ∴， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则． ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 21. 如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． （1）求证：； （2）求的半径长． 【答案】（1） 证明：∵，分别切于点，， ∴平分，即，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）的半径长为． 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，等角的余角相等，掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键． （）利用切线长定理得到平分，即，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证； （）连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，分别切于点，， ∴，，， ∴，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 22. 【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 【答案】（）选择小创同学的解题思路：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小新同学的解题思路：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （）； （）． 【解析】 【分析】（）选择小创同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小新同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）同理（）小新同学的解题思路解答即可求解； （）延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在在线段上截取，连接，过点作于，则，，由得，，，解直角三角形得，，由可得，得到，由得到，得，，设，则，，由得，得，即得，，由（）知，可证，得到，解直角三角形求出，得到，即可求解． 【详解】解：（）略 （）如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在线段上截取，连接，过点作于，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 又由（）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． （1）函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） （2）已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 【答案】（1）②； （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据概念分别将①；②；③的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案； （2）①分别求出、、时的y值，再分、、、进行讨论，即可得出t的值；②由，可得出，即可知，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出的表达式，再根据k为整数，求解即可． 【小问1详解】 对于①， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 对于②， 当时，， 当时，， ∴，符合题意； 对于③， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：②； 【小问2详解】 ①解：当时，二次函数 为，对称轴为直线． 当时，， 当时，， 当时，． 若，则， ∴ 解得（舍去）； 若，则， ∴， 解得（舍去），； 若，则， ∴ 解得，（舍去）； 若，则， ∴ 解得（舍去）． 综上所述，或． ②∵， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， ∴m，k为整数，且， ∴m的值为3， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合应用，新定义问题，同时也涉及一次函数和反比例函数，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题,分析再一定范围内的最值问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $