精品解析：辽宁锦州市实验学校2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：请将答案写在第1-4页的答题区处，所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 2. 如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 在一些古代数学著作中，我们常常看到“勾股容圆”、“圆材藏壁”、“方形圆径”、“圆中方形”这样的词汇，下列图形是这些词汇对应的模型图，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 月日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小亮和小强每人随机选择参加其中一个活动，则他们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A B. C. D. 6. 明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：隔着墙听到有人在分银子，不知道有多少人，有多少两银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有人，银子两，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：中，是中线，点在上，且，则值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线，若点在直线上，且，则的长为（ ） A B. C. 15 D. 16 10. 从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息：①；②；③；④．你认为其中正确的信息有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 12. 不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有_____个． 13. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为_____． 14. 如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 15. 如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算、化简： （1）； （2） 17. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从七年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在等级中的具体分数为： ，，，，，，，，，，， 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校七年级有名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 18. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共50台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的4倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 19. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，、两点之间的距离为，． （1）求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离； （2）求机械臂的长． （参考数据：，，） 20. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方处？ 21. 如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于，过点作，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 综合与实践问题情境：数学活动课上，李老师出示了一个问题： 如图1，在中，是上一点，．求证． （1）独立思考：请解答李老师提出的问题． （2）实践探究：在原有问题条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图2，延长至点，使与的延长线相交于点，点，分别在上，．在图中找出与相等的线段，并证明．” （3）问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答． “如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点、，与轴交于点． （1）抛物线的解析式为___________； （2）点坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求的值； （3）在（2）条件下，函数的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：请将答案写在第1-4页的答题区处，所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 2. 如图，将一个正六棱柱按如图所示的方式截去一个角，则所形成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形上部分是一个五边形，下部分是一个三角形，即看到的图形如下： 故选：B． 3. 在一些古代数学著作中，我们常常看到“勾股容圆”、“圆材藏壁”、“方形圆径”、“圆中方形”这样的词汇，下列图形是这些词汇对应的模型图，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：A. ，计算错误，故此选项不符合题意； B. ，计算错误，故此选项不符合题意； C. ，计算正确，故此选项符合题意； D. ，计算错误，故此选项不符合题意； 故选C． 5. 月日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小亮和小强每人随机选择参加其中一个活动，则他们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用列举法求概率. 先确定所有等可能的结果总数，再找出两人选到同一个活动的结果数，利用概率公式计算即可 【详解】解：将三个挑战活动分别记为A、B、C， 画树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的结果出现， 其中两人恰好选到同一个活动的结果有，，，共3种， 所求概率为. 故选：A 6. 明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：隔着墙听到有人在分银子，不知道有多少人，有多少两银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有人，银子两，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．根据题意列出方程组即可解答． 【详解】解：由题意得 故选：B． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 8. 已知：中，是中线，点在上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质及外角与内角的关系说明，再判断，利用相似三角形的性质用表示出，最后代入比例可得结论． 【详解】解：是的中线， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 9. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线，若点在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图，得到，根据勾股定理，得，利用同角三角函数的不同表示方法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， 解得． 10. 从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面4条信息：①；②；③；④．你认为其中正确的信息有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象易得，，，进而可判断①③，结合函数图象可判断②④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，，故③正确，①错误； 结合函数图象，当时，，故②正确； 结合函数图象，当时，故④正确； 综上所述，正确的有②③④． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可知被开方数非负，分式分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，根据二次根式和分式有意义的条件可得： ，且，即 分子， ， 解得， 所以x的取值范围是． 12. 不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有_____个． 【答案】18 【解析】 【分析】设未知数，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球大约有个， ∵摸到黄球的频率稳定在附近， ， 解得：，经检验是原方程的解， 则估计口袋中白球大约有18个． 13. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先，过点作轴轴于点，然后，分别求出点和点的坐标，得到， 的长，再证明，由全等三角形的性质得出，，进而求得， 进而得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数表达式中即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∴． ∵一次函数， ∴当时，，即点， ∴． 当时，，解得，即点， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 将点代入反比例函数表达式，得． 【点睛】添加辅助线构造“一线三等角”，得，正确运用全等三角形性质是解本道题的关键． 14. 如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半．关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 15. 如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设，，，则，，由比例可得，即可求得的最小值． 【详解】解：作交于， ∵，， ∴，， 则， ∵， ∴， 由三角形外角可知，， ∴， ∴， ∴， 设，，，则，， ∴，整理得：，即：， ∵， ∴， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形，二次函数等知识，根据，得，再证是解决问题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算、化简： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据分式的混合运算化简求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 17. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从七年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在等级中的具体分数为： ，，，，，，，，，，， 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校七年级有名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 【答案】（1）人 （2）分 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用、用样本百分比估计总体． （1）由条形统计图可知：等级的人数有人，由扇形统计图可知：等级的人数占抽查总人数的，即可求出抽查的总人数为人，用总人数减去、、等级的人数，即可得到等级的人数； （2）把抽到的学生的成绩按照按从小到大排序，第个数据为分，第个数据为分，这两个分数的平均数即为这组数据的中位数； （3）用样本百分比估计总体百分比，求出全校七年级有名学生成绩在范围内的学生人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知：等级的人数有人，由扇形统计图可知：等级的人数占抽查总人数的， 抽查总人数为：（人）， 等级的人数：（人）， 答：所抽取学生成绩为等级的人数为人； 【小问2详解】 解：将这组个数据按从小到大排序，第个数据为分，第个数据为分， 中位数为， 答：被抽取的学生成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计成绩在范围内学生人数约512人． 18. 某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共50台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的4倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人40台时花费最少，最少花费是13600元 【解析】 【分析】（1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的4倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设型机器人模型单价为元，根据题意得： 解得， 经检验，是所列分式方程的解，（元） 答：型机器人模型单价为500元，型机器人模型单价为300元． 【小问2详解】 解：设购买型机器人台，根据题意得， 解得， ∴， 设共花费元，则， ，可知随的减小而减小， ， 当时，值最小． （台）． 答：购买型机器人10台、型机器人40台时花费最少，最少花费是13600元． 19. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，、两点之间的距离为，． （1）求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离； （2）求机械臂的长． （参考数据：，，） 【答案】（1）点到工作台的距离为； （2）机械臂的长为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，在中用勾股定理即可解决问题． （2）过点作的垂线，垂足为，根据的长及的度数，解直角三角形，再用勾股定理求出的长，最后用即可． 【小问1详解】 解：过点作的垂线，垂足为，连接， 因为，， 所以四边形是矩形， 所以，． 在中， ， 所以． 答：点到工作台的距离为； 【小问2详解】 解：连接，过点作的垂线，垂足为， 因为， 所以． 在中， ， 即． 在中， ． 在中， ， 所以． 答：机械臂的长为． 20. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方处？ 【答案】（1） （2）不能射进球门 （3）向正后方移动 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得； （2）把代入，求出，可知球不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入即可． 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 【小问1详解】 解：由题意得，当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，离地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线解析式为， 将代入得：， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得， ， ∴不能射进球门； 【小问3详解】 解：设他应该向后移动 m 米， 则移动后的解析式为， 把点代入得： ， 解得：，（舍）， 故向正后方移动． 21. 如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于，过点作，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明得到，即可证得是的切线； （2）连接交于点，连接，可得出是等腰直角三角形，，，进而得出，由三角形中位线的性质得出，继而得出，求出，利用将有关数据代入计算． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， 是直径， ． ， ， ， ， ． 在和中， ． ． ， ． ，即， 为直径， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图2，连接交于点，连接， 是直径， ， ． 是等腰直角三角形 ， ． ， 是的中位线， ． ． ， ． 【点睛】本题考查圆的性质，特殊角锐角函数，全等三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识． 22. 综合与实践问题情境：数学活动课上，李老师出示了一个问题： 如图1，在中，是上一点，．求证． （1）独立思考：请解答李老师提出的问题． （2）实践探究：在原有问题条件不变的情况下，李老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图2，延长至点，使与的延长线相交于点，点，分别在上，．在图中找出与相等的线段，并证明．” （3）问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答． “如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图2，在上取一点，使得，先证明，可得，，然后，证得，再证明，得出，从而可得结论； （3）如图3，过点作交的延长线于点． 首先，根据，，，， 求得，，，然后，由，证得， 得，进而得出，再证得，得，进而的，最后，由勾股定理求得的长，即可得出的长． 【小问1详解】 证明:∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 理由：如图2，在上取一点，使得． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 小问3详解】 解：如图3，过点作交的延长线于点． ∵，，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴． 【点睛】巧妙添加辅助线，证明，，，，正确运用三角形全等的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点、，与轴交于点． （1）抛物线的解析式为___________； （2）点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求的值； （3）在（2）条件下，函数的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①最大值为；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，设的坐标，根据四边形的面积，写出关于t的函数关系式，最后与比较系数即可得出答案； （3）①由（2）条件下的a、b、c的值，写出的函数关系式，根据二次函数的性质分别得出相应的最大值和最小值，则可得图象所表示的函数的最大值；②求得两个特殊点时，n的值即可判断． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点、， 解得 该抛物线的解析式为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，连接， 抛物线与轴交于点， 点的坐标为． 点的坐标为，， ，， 点为第一象限内抛物线上的一点，设其横坐标为， ． 四边形的面积 ， ； 【小问3详解】 解：①由（2）知， 的解析式为， 的解析式为； 的对称轴为的对称轴为． 当时，取最小值为，当时，取最大值为； 当时，取最大值为，当时，取最小值为： 图象合起来得到的图象记为， 当时，图象所表示的函数的最大值为24： ②的取值范围是或 理由线段的两个端点坐标分别为， 且轴， 的对称轴为， 由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， 当时，与恰好有两个交点： 的对称轴为， 由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点， 此时， 当时，与恰好有两个交点： 综上所述，当图象能够与线段有两个公共点时，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $