8.4梯形 同步培优讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

8.4梯形 （知识点+6题型+过关检测） 【题型1 梯形的相关定义】 3 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 3 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 4 【题型4 等腰梯形的判定】 5 【题型5 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 6 【题型6 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 7 · 掌握基础定义：理解梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，精准区分梯形与平行四边形的差异，熟记梯形各部分名称（上底、下底、腰、高）。 · 吃透性质定理：熟练掌握等腰梯形的性质，能准确描述并运用性质解决角度、线段长度、周长、面积的计算问题。 · 掌握判定方法：牢记等腰梯形的判定定理，能结合已知条件完成等腰梯形的判定推理，理清判定与性质的互逆关系。 · 综合解题能力：灵活运用梯形辅助线作法，解决等腰梯形性质与判定的综合计算、证明题，提升几何推理与运算能力。 03 知识•梳理 知识点1. 梯形的基础定义 梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形各部分名称： · 底：平行的一组对边叫做梯形的底，较短的叫上底，较长的叫下底（仅看长短，不看位置）； · 腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰； · 高：两底之间的垂线段叫做梯形的高（有无数条，长度相等）。 知识点2. 特殊梯形的定义 · 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（核心特殊梯形，考点集中）； · 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 · 易混辨析：平行四边形是两组对边分别平行，梯形是仅一组对边平行，二者属于不同的四边形类别，无包含关系。 知识点3. 等腰梯形的性质 1. 边的性质：两底平行，两腰相等； 2. 角的性质：同一底上的两个内角相等，对角互补； 3. 对角线性质：等腰梯形的两条对角线相等； 4. 对称性：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线（仅有1条对称轴）。 知识点4. 等腰梯形的判定定理 1. 定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 2. 角判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； 3. 对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 知识点5. 梯形的面积公式 ，简写为：（为两底，为高） 知识点6.梯形中位线 1. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线． 2. 性质：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半．如图． 知识点7. 梯形常见辅助线作法（解题关键） · 平移一腰：将梯形转化为平行四边形+三角形； · 作双高：将梯形转化为矩形+两个全等的直角三角形（等腰梯形专用）； · 平移对角线：将对角线关系转化为三角形边角关系； · 延长两腰交于一点：构造相似三角形。 04 题型•汇总 【题型1 梯形的相关定义】 解题思路: 紧扣梯形“一组对边平行，另一组对边不平行”的核心定义，结合等腰梯形、直角梯形的特殊条件，判断四边形类别、辨析各部分名称，排除平行四边形等干扰项。 【典例1】．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【变式1-1】．如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】．下列命题中，错误的是（　　） A．有两个角相等的梯形是等腰梯形 B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【变式1-3】．如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是______________. （2）梯形的面积是___________． （3），则 _____． 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 解题思路: 根据等腰梯形“两腰相等、同底角相等、对角线相等、对角互补”的性质，结合平行线性质、三角形内角和、勾股定理，求解线段长度、角度、周长、面积。 【典例2】．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 【变式2-3】．如图，在等腰梯形 中，，，，，．求梯形 的周长． 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 解题思路: 先提取等腰梯形的边、角、对角线性质，结合全等三角形、平行线性质，规范书写推理过程，证明线段相等、角相等、对角线相等等结论。 【典例3】．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【变式3-1】．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【变式3-2】．如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【变式3-3】．如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【题型4 等腰梯形的判定】 解题思路: 先证明四边形是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行），再结合“两腰相等、同底角相等、对角线相等”任一条件，判定为等腰梯形。 【典例4】．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【变式4-1】．已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式4-3】．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【题型5 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 解题思路: 先通过判定条件证明四边形为等腰梯形，再调用等腰梯形的性质，结合勾股定理、全等三角形、方程思想，求解未知线段长度、角度、面积。 【典例5】．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【变式5-1】．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【变式5-2】．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为______． 【变式5-3】．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【题型6 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 解题思路: 先分析已知条件，完成等腰梯形的判定，再利用其性质推导边角关系，结合辅助线构造全等三角形、平行四边形，完成复杂结论的证明。 【典例6】．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】．如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 【变式6-2】．如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 【变式6-3】．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图1，四边形是等腰梯形，其中 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：… 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定1：…．    任务： (1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形， 求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，…； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为， (2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题　 　的梯形是等腰梯形，该命题是 　 　命题． 05 过关•检测 1．梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 3．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 4．如图，梯形中共有（）对面积相等的三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，等腰梯形中， ，，则______． 7．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 8．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 9．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 10．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 11．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 12．如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 13．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 14．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4梯形 （知识点+6题型+过关检测） 【题型1 梯形的相关定义】 2 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 4 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 8 【题型4 等腰梯形的判定】 13 【题型5 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 17 【题型6 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 22 · 掌握基础定义：理解梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，精准区分梯形与平行四边形的差异，熟记梯形各部分名称（上底、下底、腰、高）。 · 吃透性质定理：熟练掌握等腰梯形的性质，能准确描述并运用性质解决角度、线段长度、周长、面积的计算问题。 · 掌握判定方法：牢记等腰梯形的判定定理，能结合已知条件完成等腰梯形的判定推理，理清判定与性质的互逆关系。 · 综合解题能力：灵活运用梯形辅助线作法，解决等腰梯形性质与判定的综合计算、证明题，提升几何推理与运算能力。 03 知识•梳理 知识点1. 梯形的基础定义 梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形各部分名称： · 底：平行的一组对边叫做梯形的底，较短的叫上底，较长的叫下底（仅看长短，不看位置）； · 腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰； · 高：两底之间的垂线段叫做梯形的高（有无数条，长度相等）。 知识点2. 特殊梯形的定义 · 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（核心特殊梯形，考点集中）； · 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 · 易混辨析：平行四边形是两组对边分别平行，梯形是仅一组对边平行，二者属于不同的四边形类别，无包含关系。 知识点3. 等腰梯形的性质 1. 边的性质：两底平行，两腰相等； 2. 角的性质：同一底上的两个内角相等，对角互补； 3. 对角线性质：等腰梯形的两条对角线相等； 4. 对称性：等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线（仅有1条对称轴）。 知识点4. 等腰梯形的判定定理 1. 定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 2. 角判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； 3. 对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 知识点5. 梯形的面积公式 ，简写为：（为两底，为高） 知识点6.梯形中位线 1. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线． 2. 性质：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半．如图． 知识点7. 梯形常见辅助线作法（解题关键） · 平移一腰：将梯形转化为平行四边形+三角形； · 作双高：将梯形转化为矩形+两个全等的直角三角形（等腰梯形专用）； · 平移对角线：将对角线关系转化为三角形边角关系； · 延长两腰交于一点：构造相似三角形。 04 题型•汇总 【题型1 梯形的相关定义】 解题思路: 紧扣梯形“一组对边平行，另一组对边不平行”的核心定义，结合等腰梯形、直角梯形的特殊条件，判断四边形类别、辨析各部分名称，排除平行四边形等干扰项。 【典例1】．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题可根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【详解】解：平行四边形：两组对边分别平行． 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）． 梯形：只有一组对边平行．（符合题意） 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）． 【变式1-1】．如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 【变式1-2】．下列命题中，错误的是（　　） A．有两个角相等的梯形是等腰梯形 B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】利用等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有两个角相等的梯形可能是等腰梯形，也可能是直角梯形，故错误，符合题意； B、顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法，难度不大． 【变式1-3】．如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是______________. （2）梯形的面积是___________． （3），则 _____． 【答案】 40 【分析】本题考查梯形的特征、长方形的特征、折叠的性质，（1）由图可得，长方形的宽和梯形的高相等，即可求解； （2）由图可得，梯形的底和长方形的长相同，再利用梯形的面积公式计算即可； （3）由折叠的性质，，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得，这个梯形的高是， 故答案为：； （2）由图可得，， 故答案为：40； （3）由折叠的性质可得，， ∴， 故答案为：． 【题型2 利用等腰梯形的性质求值】 解题思路: 根据等腰梯形“两腰相等、同底角相等、对角线相等、对角互补”的性质，结合平行线性质、三角形内角和、勾股定理，求解线段长度、角度、周长、面积。 【典例2】．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 【变式2-1】．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 【变式2-2】．如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】通过旋转构造全等三角形，利用角度关系证明三点共线，构造辅助线形成直角三角形，结合勾股定理计算DE的长度． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，作于F，于G，作于H． ， ，，． 在四边形中， ，， ． ． ． 点C，D，三点共线． 由旋转的性质得． ， ． ， 四边形是等腰梯形． ，． ，， 四边形是矩形． ． ，， ． 同理可得． ． ，，． ． ． ． 故答案为： 【点睛】本题运用四边形内角和定理、旋转的性质、等腰梯形的性质、矩形的性质以及勾股定理来求解． 【变式2-3】．如图，在等腰梯形 中，，，，，．求梯形 的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分别过点作的垂线，垂足分别为点，则，由等腰三角形性质可得，然后通过直角三角形性质得出，最后由周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为点，则， ∵梯形是等腰梯形，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴梯形的周长． 【题型3 利用等腰梯形的性质证明】 解题思路: 先提取等腰梯形的边、角、对角线性质，结合全等三角形、平行线性质，规范书写推理过程，证明线段相等、角相等、对角线相等等结论。 【典例3】．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 【变式3-1】．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【分析】本题考查梯形中求线段长，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键. 过作, 交延长线于，根据梯形为等腰梯形，可得，即可得到,根据等腰直角三角形性质即可求出长，然后根据从而得到答案. 【详解】过作, 交延长线于, 如图所示:、 ∵, ∴四边形是平行四边形, ∴, , ∵是等腰梯形， ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 在中,, ∴, ，此时①正确； 由， ∴， ∴，故②错误； 故选A 【变式3-2】．如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． （）先根据梯形的性质得出边和角的关系，再结合已知条件找到全等的条件（）证明． （）求的度数，可利用（）中全等三角形的性质，将角进行转化，再结合梯形中角的关系求解． 【详解】（1）证明：∵在梯形中，，， ∴ ∵在和中，，， ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 【变式3-3】．如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【题型4 等腰梯形的判定】 解题思路: 先证明四边形是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行），再结合“两腰相等、同底角相等、对角线相等”任一条件，判定为等腰梯形。 【典例4】．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】．已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出． 【详解】 A、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； B、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； C、∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∵， ∴四边形是等腰梯形． D、，，不能证明四边形是等腰梯形，错误； 故选C． 【变式4-2】．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【题型5 等腰梯形的判定与性质的综合求值】 解题思路: 先通过判定条件证明四边形为等腰梯形，再调用等腰梯形的性质，结合勾股定理、全等三角形、方程思想，求解未知线段长度、角度、面积。 【典例5】．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式5-1】．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作，得到四边形是矩形，推出证明，得到，求出厘米，，继而得到厘米，求出厘米， 得到（平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米），求出（平方厘米），计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作 等腰梯形中，， ， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ，（厘米） ， ， ， （厘米）， （平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米）， ，， ， 厘米， 厘米，厘米 （平方厘米） （平方厘米）， 故选：A． 【变式5-2】．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 【变式5-3】．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型6 等腰梯形的判定与性质的综合证明】 解题思路: 先分析已知条件，完成等腰梯形的判定，再利用其性质推导边角关系，结合辅助线构造全等三角形、平行四边形，完成复杂结论的证明。 【典例6】．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了轴对称的定义，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据四边形满足，结合每一个选项确定四边形的形状，判定是否满足有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，即可判断； 【详解】由题意知，四边形满足， 当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，当四边形是平行四边形不满足四边形是“平称四边形”，故A选项符合题意； 当时，四边形是矩形，满足四边形是“平称四边形”，故B选项不符合题意； 当时，四边形是菱形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故C选项不符合题意； 当时，四边形是矩形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式6-1】．如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用直角三角形性质得到，结合平行线性质进而得到，证明，利用全等三角形性质证明，即可解题． （2）如图，延长到，使，交于，连接，根据等腰梯形的性质得出，，即可得出，根据中位线的性质得出，，利用角的和差关系得出，利用证明，得出，根据线段的和差关系即可证明． 【详解】（1）证明：，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形． （2）证明：如图，延长到，使，交于，连接， ∵是边的中线，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰梯形的判定与性质，全等三角形性质和判定，三角形中位线性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式6-2】．如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 【答案】(1)； (2)的值为或； (3)． 【分析】（1）由可得当时，四边形是矩形，即可得方程： 解此方程即可求得答案； （2）根据①四边形为平行四边形，可得方程②四边形为等腰梯形，可求得当，即时， 四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案； （3）由菱形的性质得出得出解得：得出 作于，则得出 在中，由勾股定理求出，即可得出答案． 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时， 四边形是矩形， ∴， 解得：， 即当时， 四边形是矩形； 故答案为：； （2）解：若， 分两种情况： ①时， 则四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， ②与不平行时， 四边形为等腰梯形， 则即 解得：， ∴的值为或； （3）解：若四边形为菱形， 则 解得： 作于，如图所示：    则 在中， ， ∴当时，在点运动过程中，四边形能构成菱形， 故答案为：． 【变式6-3】．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图1，四边形是等腰梯形，其中 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：… 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定1：…．    任务： (1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程． 已知：如图2，四边形是等腰梯形， 求证：，． 证明：方法1：过点作的平行线，交于点，…； 方法2：过点，作的垂线，垂足分别为， (2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题　 　的梯形是等腰梯形，该命题是 　 　命题． 【答案】(1)见解析 (2)同一底上的两个角相等，真 【分析】（1）方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，证明四边形是平行四边形，得到，进而证明，再由平行线性质即可证明； 方法2：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，证明四边形是矩形，进而证明，即可得到，再由平行线性质即可证明； （2）结合（1）的方法二，证明，可证得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线交于点，   ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ． 方法2：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，   ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题 已知：如图2，四边形是梯形，． 求证：梯形是等腰梯形． 证明：如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，， 四边形是梯形 ， ，， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 梯形是等腰梯形， 故答案为：同一底上的两个角相等，真． 【点睛】本题考查了梯形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握梯形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定及合理利用数形结合思想是解题关键． 05 过关•检测 1．梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了梯形中位线性质、三角形中位线定理，找到相应关系的线段是解题的关键，利用图形结合更能直观地得结论． 根据题意作出图形，根据三角形中位线定理和梯形中位线性质，通过等量关系代换可得到连接两条对角线中点的线段长． 【详解】解：根据题意作出如图， 设梯形，其中，为中位线，与对角线交于， 其中，， ∵中位线， ∴、为、的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ，即， ． 故选：D． 2．如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 3．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 4．如图，梯形中共有（）对面积相等的三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查梯形，三角形面积．熟练掌握梯形性质，三角形面积公式，“同底等高的三角形面积相等”，是解决问题的关键． 根据三角形面积相等筛选同底等高的三角形，两个面积相等的三角形减去同一个三角形． 【详解】解：如下图： 与面积相等， 与面积相等； 理由是同底等高； 最后一对面积相等的三角形是与， 理由：∵与面积相等，而它们都包含， ∴当它们减去一个相同面积的三角形时，面积仍然相等； ∴面积相等的三角形有3对． 故选：B． 5．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】解析：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，①正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，②正确； 和不一定相等，故③错误； ∵ ∴ ∴ ∴，④正确； 故选：C． 6．如图，等腰梯形中， ，，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 7．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 【答案】27 【分析】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积． 【详解】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键． 8．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【详解】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质． 根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是 故答案为：． 10．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 11．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①或② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由梯形性质，三角形边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①，理由： ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴， ∴； 选择②，理由： ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴， ∴． 故答案为：①或②． 12．如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【分析】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 13．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 14．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【分析】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $