15.3 互斥事件和独立事件-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5) (3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5, 2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4) (6,5),(6,6),总共有36种， 符合条件的有(1,1)，(1,2)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，(3,4)，(4， 4),(4,5),(5,5),(5,6),(6,6),共11种， 所以他们“心有灵犀”的概率为故答案为” 36 1 18. 3 解析：依题意，基本事件有6种： 收件人1的信封 收件人2的信封 收件人3的信封 装入收件人1的信 装入收件人2的信 装入收件人3的信 装入收件人1的信 装入收件人3的信 装入收件人2的信 装入收件人2的信装入收件人1的信 装入收件人3的信 装入收件人2的信 装入收件人3的信 装入收件人1的信 装入收件人3的信 装入收件人1的信 装入收件人2的信 装入收件人3的信 装入收件人2的信 装入收件人1的信 全部装错的事件有2种 收件人1的信封 收件人2的信封 收件人3的信封 装入收件人2的信装入收件人3的信 装入收件人1的信 装入收件人3的信装入收件人1的信装入收件人2的信 所以全部装错的概率为2.1 96了故答案为 19.解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有5个 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A,则P(A)= 所以从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为； 5 (2)一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5从这5个一等品零件 中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果为2={(A1,A2), (41,43),(41,A4),(A1,A5),(42,A1),(42,A3),(A2,A4), (A2,A5),（A3,A1),(A3,A2),（A3,A4）,（A3,A5),(A4,A1), (A4,A2),(A4,A3),(A4,A5),（A5,A1),(A5,A2),(A5,A3), (A3,A4)},共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B 所有可能结果为B={(A1,A4),（A2,A3),（A2,A5),（A3,A5), (A4,A1),(A3,A2),(A5,A2),(A5,A3)},共8种 所以P(®到名子 20.解：(1)设男生为A,B,C,女生为a,b,c, 从6人中任选2人共有(AB),(CA),(BC),(Aa),(Ab),(Ac), (Ba),(Bb),(Bc),(Ca),(Cb),(Cc),(ba),(cb),(ac),15 情况. 恰有一名参赛学生是男生的基本事件有(Aa),(Ab),(Ac), (Ba),(Bb),(Bc),(Ca),(Cb),(Cc),共9种，所以这一事件的 概率P,-号-06 (2)至少有一名参赛学生是男生即恰有一名参赛学生是男生和两 名参赛学生都是男生，基本事件有(AB),(CA),(BC),(Aa), (Ab),(Ac),(Ba),(B6),(Bc),(Ca),(Cb),(Cc),共12种，所以 .12 所求事件的概率P,=5=0.8。 (3)至多有一名参赛学生是男生即恰有一名参赛学生是男生和两 名参赛学生都不是男生，基本事件有(Aa),(Ab),(Ac),(Ba), (Bb),(Bc),(Ca),(Cb),(Cc),(ba),(cb),(ac),共12种，所以 所求事件的概率P5=0.8. 必修第二册·SJ 第3关（练思维宽度） 21.3 解析：这个试验的样本点用下表表示： 2 2 6 6 3 6 3 2 3 2 6 83 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中a+b>5的结果有8种， 所以a+6>5的概率为昌-子故答案为子 22.解：(1)基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,2)，(1,3,4)，（1,4， 2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1), (2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,1),(3,4, 2),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,1),(4,3,2).基 本事件的总数是24. (2)事件“甲获胜”所包含的基本事件为(3,1,2)，(3,2,1)，(4， 1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,1),(4,3,2).甲获胜的 概率P=243 81 (3)基本事件为（红，黄，蓝），（红，蓝，黄），（黄，红，蓝），（黄，蓝， 红)，（蓝，红，黄），（蓝，黄，红).基本事件总数为6 甲获胜所包含的基本事件为（红，黄，蓝），（红，蓝，黄）； 乙获胜所包含的基本事件为（黄，红，蓝），（蓝，红，黄）； 丙获胜所包含的基本事件为（黄，蓝，红），（蓝，黄，红）. 所以甲、乙丙三人获胜概率都是石=？，游戏公平」 15.3互斥事件和独立事件 第1关（练速度） 1.C解析：甲站排头与乙站排尾可以同时发生，不互斥：4人站队， 甲站排头与乙不站排尾可以同时发生，不互斥；甲站排头与乙站排 头不可能同时发生，互斥：4人站队，甲不站排头与乙不站排尾可 以同时发生，不互斥，因此只有C是互斥事件，故选C. 2.BD解析：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张卡片 都为红色”“2张卡片都为绿色”“2张卡片都为蓝色”“1张卡片为 红色、1张卡片为绿色”“1张卡片为红色、1张卡片为蓝色”“1张 卡片为绿色、1张卡片为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张 卡片都为红色”互斥而非对立的是“2张卡片恰有一张红色”“2张 卡片都为绿色”，其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张 卡片都为红色”，二者并非互斥，“2张卡片不全为红色”是“2张卡 片都为红色”的对立事件.故选BD. 3.C解析：因为P(AB)=P(A)P(B),所以事件A和事件B是相互 独立事件，故C正确，则A与B,A与B和A与B都是相互独立事 件.故选C. 4.B解析：设“甲地降雪”为事件A,“乙地降雪”为事件B,“甲、乙两 地都不降雪”即事件A与B同时发生，即A∩B, P(A)=1-0.4=0.6,P(B)=1-0.3=0.7, 学霸102 利用独立事件的性质可知，事件A与B相互独立，所以P(A∩B)= P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42,所以甲、乙两地都不降雪的概率为 0.42.故选B. 1 101 501 5.ABD解析：P(A)=1000P(B)=10010P(C)=100020 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖” 这个事件为M,则M=AUBUC.A,B,C两两互斥，P(M)= P(AUBUC)=P)+P(B)+P(C)=1+160O放选ABD. 6.D解析：由题可知，P(AUB)=P(A)+P(B)=1-6=。,又 PA)=2P(B),所以2P()+P氏)=名解得P氏B)=点，P氏A= 5 多，所以P(④=1-PA)=号放选D 7.B解析：对于A,:n(AUB)=16,n(A)=12,n(B)=8,.n(A∩ B)=4,.事件A与事件B可以同时发生，故A错误：对于B, d-是-号-密会-Pa 6n(AUB)=16,n(A)=12,n(B)=8,n(AnB)=4, 1 .P(AB)=(AOB)4 1 n(D)=246P(A)P(B)=P(AB),事件A 与事件B相互独立，故B正确；对于C,,n(2)=24,n(A)=12, a0=5w-子，P(c-8- n(D24.P(A)+ P(C)≠1，∴.事件A与事件C不对立，故C错误；对于D,由题图可 知，n(AnC)=0,.P(AC)=0,.P(A)P(C)≠P(AC),.事件A 与事件C不相互独立，故D错误故选B. 方法总结 若P(AUB)=P(A)+P(B),则A,B互斥；若P(AB)=P(A)P(B), 则A,B相互独立 8.15%解析：由题意可得一年内恰好维修1次的概率为25%-6%- 4%=15%,故答案为15%. 9.0.6解析：因为A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B).因为 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A)=0.8,P(AUB)=0.92,所 以0.92=0.8+P(B)-0.8P(B),0.12=0.2P(B),解得P(B)=0.6,故 答案为0.6. 10.0.20.65解析：甲、乙、丙三人都投中的概率为0.8×0.5×0.5= 0.2. 至少有两人投中的概率为(1-0.8)×0.5×0.5+0.8×(1-0.5)×0.5+ 0.8×0.5×(1-0.5)+0.8×0.5×0.5=0.65.故答案为0.2；0.65 11. 解析：甲得分超过乙得分的事件，即甲得2分，乙得0分的事 6 件，其概率为号×(-子）-石所以甲得分不超过乙得分的影 31 1=5故答案为5 率为166 6 第2关（练准确率） 12.D解析：由于A,B,C彼此互斥，且A+B+C是必然事件，所以A 与C是互斥事件，但不是对立事件，A错误：A+B与B可以同时发 生，不是互斥事件，也不是对立事件，B错误：任何一个事件与其 余两个事件的和事件必然是对立事件，故C错误，D正确.故选D. 13.D解析：由于A,B互斥，且A,B发生的概率均不为0，所以 0<2-3a<1, 0<2a-2<1, 解得 2≤a<了，所以a的取值范围是 2 0<2-3a+2a2≤1， [分，子)故选D 参考答案 14.AB解析：对于A,因为P(A)=子，所以P(A)=1-P(A)=1- 号子放A正确：对于B,因为P(4B)=P)+P() P氏AB)=分-P(AB),又0≤P(A)≤P(且0≤P(AB)≤ P(剧，则0≤P(A≤石所以写宁PA8)≤号即写 P(A+B)≤子，故B正确：对于C,因为A与B互斥，所以P) 0Q则P风4U=4)+P代)-PA=宁+石-0号放C错 误；对于D,记事件A=“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件 B=“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，则满足P(A)=子，P(B)= 。,但BCA不成立，故D错误放选AB 15AC解折：依题意PA=子P®=子PC= 宁宁号子做注项人正确，B不正璃：因为么，B为相互独 立事件，所以P(4)PA)P(子子放选项C正确： 又因为事件A,B,C不可能同时发生，所以P(ABC)=0,故选项D 不正确.故选AC. 16.D解析：由该同学可以进入两个社团的概率为6，得m·(1 6）6a1(-m 5 由三个社团都进不了的概率为品，得(1-m)(1-a)（1- ）, 5 m+n+3mn=- 6’ 整理得{ 1 解得an=召故速D m+n-mn=2, 1 2 17.弓解析：因为事件A,B,C两两相互独立，若P(MB)=) PBC)=号，P(AG)=名，所以P(Aa)=P(A)P(B)=子 2 P(BC)=P(P(C=P(B)(1-P(C)=号P(AG)=P(A)· P(G=PA(1-P(C)=石，解得Pd)=号故答案为号 18.27解析：因为三人能否试验成功相互独立，且三人中恰有2人 试验成功的版率为质以户写+号(1刃+号1到 子+子号所以2+2,3y1 2.2 所以1+3=2x+2y≥4V何，即3g-4√何+1≥0，解得v网≤号 或网≥1，即y≤)或≥1. 又因为0<<1,0<<1，所以0<y<1,所以0<y≤g,当且仅当 =y=号时取等号。 三人中只有甲，乙两人试验成功的概率为了y≤兮×)习故 学霸103 答案为7 19.解：(1)设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则 P(A)= 号子，P(=员号在读一谊灯建，拾有-个人 猜对的概*为P代AB+B)=P(A)P(B)+P(团P(B=号×(1- 号（号）号号 (2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P(AB)=P(A)· P=(-号)（号） 20.解：(1)甲租车时间超过三小时且不超过四小时的概率为1-4 子子，乙租车时间超过三小时且不超过因小时的概率为1一 111 244 (2)甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为0元、 2元、4元三种情况. 都付0元的概率为P=子×号日都付2元的概率为B,=之× 48;都付4元的概率为P,=x1=↓ 11 4×4=16 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率P=P+P2+P=16 5 (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为专元，则专=4表示两人 的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别 为①0元，4元，②2元，2元，③4元，0元所以可得P(5=4)=× 上，上x1,L×1=5即甲、乙两人所付的租车费用之和为 4244216 4元的隔率为。 第3关（练思维宽度） 21.1解析：由题意可得，甲、乙的比分为10：10后，甲、乙又进行了 6 4场比赛，每场比赛结果相互独立，前2场甲一胜一负，最后2场 甲连胜.则甲以13：1赢得比赛的概率为2×1×2x 1 2326故答案为 1.2.11 6 22.解：(1)设事件A=“游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=“游戏三 获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为21={1,2,3,4,5}，则 a45,因为4=45到，所以4)=2，P4)号所 以游戏一获胜的概率为号 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间2={(x,y)x, y∈{1,2,3,4,5}，则n(22)=25,因为B={(4,4),(4,5),(5, 4),(5,5)1,所以n(B)=4,所以P(B)=n(B-4 n(2,)25,所以游戏二 获胜的概率为名 (2)设M=“先玩游戏二，获得书券”，N=“先玩游戏三，获得书 券”，则M=ABCUABCUABC,且ABC,ABC,ABC互斥，A,B,C相 互独立，所以P(M)=P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+ P(ABC)=P(A)P(B)(1-P(C))+(1-P(A))P(B)P(C)+P(A)· s品ro. 必修第二册·SJ 又N=ACBUACBUACB,.且ACB,ACB,ACB互斥，所以P(N)= P(ACBUACBUACB)=P(ACB)+P(ACB)+P(ACB)=P(A). P(C)(1-P(B))+(1-P(A))P(C)P(B)+P(A)P(C)P(B)= 号pcxr(c0x若号p(G×若品o 42 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则 62 8.12 4 P(M>P(M),所以2P(C)>15+12P(G),即P(C)>25 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 2 3 1 + (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) + (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 当m=3,4,8,9时，P(C)= 1025,舍去，当m=5,67时，P(C)= 了方满足感意，因此m的所有可能取值为5,6.7 14 专题探究14概率与统计的综合应用 1.解：(1)由题意可知，每组的频率依次为0.04,0.06,0.10,0.10,0.30， 2a,0.10,0.08,0.02,则0.04+0.06+0.10+0.10+0.30+2a+0.10+0.08+ 0.02=1,解得a=0.10,所以a的值为0.10. (2)周平均阅读时间的平均数的估计值为x=0.04×1+0.06×3+ 0.10x5+0.10×7+0.30×9+0.20×11+0.10×13+0.08×15+0.02×17= 9.16(小时)， 且0.04+0.06+0.10+0.10=0.3<0.5,0.04+0.06+0.10+0.10+0.30= 0.6>0.5,可知周平均阅读时间的中位数的估计值m∈(8,10]，则 0.3+0.15×(m-8)=0.5,解得m=3, 28 因为x=9.16>9,m= >9，所以该市区高中生阅读量达标 28 0.10 (3)在(12,14]抽取学生人数为0.10+008+0.02×10=5，设为1,2， 3,4,5; 0.08 在(14,16]中抽取学生人数为010+0.08+0.2×10=4，设为A,B, C,D; 0.02 在(16,18]中抽取学生人数为0.10+0.08+0.02×10=1，设为6. 设样本空间为2，这两人周平均阅读时间均在(14,16]内为事 件M,列表可得： 2 3 4 D 学霸10415.3互斥事 第1关练速度 ）10min为准，你的时间： 1.甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件互 斥的是 A.“甲站排头”与“乙站排尾” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾 2.（多选)(2024·安徽合肥高一期末)不透明的 口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一 次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都 为红色”互斥而不对立的事件有 () A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片恰有一张红色 C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色 3.(2024·安徽黄山高一期末)设事件A与事件 B满足：P(A) 3,P(B)=3 ,P(B)=,则 下列说法正确的是 A.事件A与事件B不是相互独立事件 B.事件A与事件五不是相互独立事件 C.事件A与事件B是相互独立事件 D.事件A与事件B不是相互独立事件 4.（2024·山东青岛高一期末)据天气预报，春 节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概 率是0.3.这段时间内两地是否降雪相互之间 没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概 率是 A.0.7B.0.42C.0.12D.0.46 5.（多选)某商场有奖销售中，购满100元商品 得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开 奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖 50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖 第15章 件和独立事件 的事件分别为A,B,C,则 A.P(A)-1000 B.P(B)=100 1 c. D.1张奖券的中奖概率为1000 61 6.(2024·安徽合肥一六八中学高一期末)已知 事件A,B互斥，它们都不发生的概率为后，且 P(A)=2P(B),则P(A)= () 5 5 4 0.g 7.（2024·浙江绍兴高一期末)如图是一个古典 概型的样本空间2和事件A,B,C,其中 n(2)=24,n(A)=12,n(B)=8,n(C)=5, n(AUB)=16,则 () A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立 C.事件A与事件C互为对立 D.事件A与事件C相互独立 8.(2024·安徽阜阳高一期末)一品牌机器保修 期为1年，根据大量的维修记录资料，这种机 器在使用一年内维修次数最多是3次，其中 维修1次及以上占25%，维修2次占6%，维 修3次占4%，某人购买了一台该机器，则 一年内恰好维修1次的概率为 9.（2024·浙江嘉兴高一期末)已知P(A)=0.8, P(AUB)=0.92,且A与B相互独立， P(B)= 学霸171 10.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.8,0.5， 0.5.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都 投中的概率为 ;至少有两人投中的 概率为 11.(2024·湖北武汉高一期末)甲、乙两名选手参 加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分， 未命中目标不得分.若甲、乙两人每次射击命 中率分别为号和，甲，乙两人各射击1次则 甲得分不超过乙得分的概率为 第2关练准确率.8题为准，你做对题 12.(2024·天津河东区高一期末)在一次随机 试验中，事件A,B,C彼此互斥，它们的和为 必然事件，则下列说法正确的是（) A.A与C是互斥事件，也是对立事件 B.A+B与B是互斥事件，也是对立事件 C.A+C与B是互斥事件，但不是对立事件 D.A与B+C是互斥事件，也是对立事件 13.（2023·广东广州高二期末)若随机事件A, B互斥，A,B发生的概率均不等于0，且 P(A)=2-3a,P(B)=2a,则实数a的取 值范围是 A.() R(分) c(哈) 哈) 14.（多选)(2024·江苏南通海安高级中学高 一月考)已知事件A,B发生的概率分别为 PA)=3P(B)=石，则 AP(-号 B≤P(A+B)≤月 C若A与B斥，则P(AUB)=号 D.一定有BCA 必修第二册·SJ学 15.（多选)(2024·辽宁沈阳高一期末)同时抛 掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4 的正四面体一次，记事件A={第一个四面体 向下的一面出现偶数}；事件B={第二个四 面体向下的一面出现奇数}；事件C={两个 四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同 时出现偶数}，则 () A.P(A)=2 1 B.P(C)=3 1 C.P(AB) 1 D.P(ABC)=。 8 16.（2024·天津南开中学高一期末)高一年级 某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话 剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进 入这三个社团是相互独立的.假设该同学能 够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社 团的概率分别为m,石，该同学只证人两 个社团的概率为，5，且三个社团都进不了的 36’ 概案为高则m+n （) 7 1 C、8 7 .15 B. 12 D. ·15 12 17.（2024·陕西渭南高一期未)已知事件A,B, C两两相互独立，若P(AB)=),P(BC)= 3P40)=石则P(4) 8.(2024·黑龙江佳木斯高二期末)2023年 10月26日神舟十七号载人飞船发射任务取 得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的 新阶段太空站内甲、乙、丙三名航天员分别 出仓进行同一试验，已知甲、乙、丙试验成功 的概率分别为，水(0<<1,0<y<1),若 人能否试验成功相互独立，且三人中恰有 霸172 2人试验成功的概率为，则三人中只有甲、 乙两人试验成功的概率的最大值 为 19.(2024·湖南长沙高一期末)在一次猜灯谜 活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜， 甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道， 假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率， 20.(2024·江苏无锡高一月考)某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过 两小时免费，超过两小时的部分每小时收 费2元（不足一小时的部分按一小时计算） 有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各 租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的 概率分别为？，2：两小时以上且不摇过三小 时还车的概率分别为，行：两人租车时间互 不影响且都不会超过四小时 (1)求甲、乙两人租车时间超过三小时，且不 超过四小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的 概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为 4元的概率. 第15章 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆☆☆☆ 21.（2024·山东潍坊高一期末) 视 11分制乒乓球比赛，每赢一球得 1分，当某局打成10：10后，每球交换发球 权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束 甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球 甲得分的概率为3，乙发球时乙得分的 率为)，各球的结果相互独立在某局打成 10:10后，甲先发球，则甲以13：11获胜的 概率为 22.（2024·山东青岛高一期末)为了建设书香 校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书 券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏 各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可 以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两 张书券游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球大小质地完全相同的红球3个， 的颜色和白球2个（红球编号为“1,2， 数量 3”,白球编号为“4,5”) 有放回地不放回地 取出 取球规则 依次取出依次取出 个球 两个球 两个球 取到白取到两个编号之和 获胜规则 球获胜 白球获胜 为m获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率， (2)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值 时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获 得书券的概率更大？ 学霸173