第13章 专题探究09 空间线、面位置关系-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

专题探究09 空间线、面位置关系 题组口平行、垂直关系的判定和性质 ①AD⊥EF;②BC∥平面ADE;③平面ADE⊥ 1.(多选)(2024·广东湛江高一期中)已知m,n 平面ABFE. 是空间内两条不同的直线，α，B是空间内两 个不同的平面，下列说法不正确的是（ A.若m⊥n,m⊥，则n∥a B.若a⊥B,a∩B=m,n⊥m,则n⊥ 题组已平行、垂直间的互相转化 C.若ax∩B=m,n∥a,则m∥n 5.（2024·江西南昌高一期末)如图，四棱锥 D.若m⊥a,n∥B,∥B,则m⊥n P-ABCD,底面ABCD为菱形，E为棱PC上一 点，PC=3EC,点E在底面ABCD的投影恰好 2.（多选)已知正方体ABCD-A,B1C1D1,E,F,G 为△BCD的重心F. 分别为AD1,AC1,AB的中点，则下列四个推 (1)求证：EF∥平面PAB; 断中正确的是 (2)求证：PC⊥BD A.AC1⊥AD B.EF∥C,D C.平面A,C,B//平面ACD D D.BE∥平面AD,G 3.（多选)(2024·江苏南京高一月考)如图 示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆0所 6.（2024·江苏淮安高一月考)如图，已知三棱 在的平面，点C是圆周上不同于A,B的任意 柱ABC-AB,C1中，底面△ABC是边长为2 一点，M,N分别为VA,VC的中点，则下列结 的正三角形，点G为△ABC的重心，∠AAB= 论正确的是 ∠A1AC=60°. A.OC⊥平面VAC (1)求证：B1B⊥BC; B.MN∥平面ABC (2)已知A1A=2,P∈平面ABC,且C,P⊥平 面ABC.求证：AG∥C,P. C.MN⊥BC D.平面VAC⊥平面VBC 4.如图①，已知在边长为6的菱形ABCD中， ∠BAD=60°，点E,F分别是线段AD,BC上的 点，且AE=BF=2.如图②，将四边形ABFE沿 EF翻折，使得平面DEFC⊥平面ABFE,下列 说法中正确的是 必修第二册·SJ学霸118 专题探究10空间角与空间距离问题 题组日空间距离 中点，则异面直线A,E与BC所成角的余弦 1.（2024·江苏连云港高二月考)如图，在四棱 值为 锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=BC= A.、⑤ B.、⑤ C.1 1,4D=2,PB与平面ABCD所成角为牙，底 10 5 D⑤ 10 5.(2024·浙江杭州高一月考)如图，已知正四 面ABCD为直角梯形，∠BMD=∠ABC=2则 棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，E为棱PA 的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦 点A到平面PBC的距离为 ( 值为 A.2 B.2 D. 2 6 A. B._/6 D.、3 3 3 3 D (第1题) (第2题) (第5题) (第7题) 2.(2024·重庆渝中区高一月考)如图，正方 6.(2024·广东广州高一月考)在棱长均相等的 体ABCD-A1B1C,D1的棱长为4，E是棱CC 四面体ABCD中，P为棱AD(不含端点)上的 的中点，则点C,到平面EBD的距离为 动点，过点A的平面ax与平面PBC平行若平 面与平面ABD,平面ACD的交线分别为m, 4.36 B.22 2w6 n,则m,n所成角的正弦值的最大值 2 3 3 D.3 为 3.(2024·山东烟台高二期中)如图，在正四棱 题组目直线与平面所成的角 台ABCD-A1B1C1D1中，AB=6,A1B1=4,AA1= 7.（2024·山东泰安高一月考)如图，在三棱 √6，则该棱台的体积为 ,点B,到平 台ABC-AB,C1中，AA1⊥平面ABC,∠ABC= 面ACD1的距离为 90°，AA1=A1B1=B1C1=1,AB=2,则AC与平 面BCC,B,所成角的余弦值为 () c D.3 3 8.已知圆柱的体积是√6π，点O是下底面中心， 题组三异面直线所成的角 底面半径为1，点A是圆柱上底面圆周上的一 4.（2024·江苏盐城高一月考)在正三棱 点，则直线OA与圆柱底面所成角的正切值为 柱ABC-AB,C1中，AB=AA1=4,E为棱AC的 第13章学霸119EF,且PE=PF,可知Q为EF的中点.综上，结合球的对称性，易 知四边形EFNM为等腰梯形，过点E作EH⊥MW,垂足为H, 则MH=√3，EH =1,即PQ=1,可得 R2=EQ2+0Q2=3+0Q2, R2=PB2+0p2=16+(00-1)2解得2Y15,所以该刍甍夕 100=7 接球的表面积为4πR2=208π.故答案为208m. 专题探究09空间线、面位置关系 1.ABC解析：对于A:若m⊥n,m⊥a,则n∥a或nCa,故A说法错 误：对于B:若⊥B,aB=m,n⊥m,若nCB,则n⊥，若n￠B,则 n⊥a或n∥a或nCa或n与a相交（不垂直），故B说法错误；对 于C:若anB=m,n∥a,则m与n的关系是异面或平行，故C说 法错误；对于D:若m上a,a∥B,则m⊥B,又因为n∥B,则在平面B 内存在直线c使得n∥c,所以m⊥c,所以m⊥n,故D说法正确.故 选ABC 2.BCD解析：如图，在正方体ABCD-A1B,C1D1中，对于A,由正方 体的性质可知AD1∥BC1,所以∠A1C1B即为异面直线AC 与AD1所成的角，在△A1CB中，显然∠A1C1B=60°，所以A1C 与AD1成60°角，故A错误；对于B,四边形A1B1C1D1是正方形， F为AC1中点，∴F为B1D1中点.又E为AD1中点，EF∥ AB1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC∥B1C1,AD=BC= B,C1,四边形ADC1B1为平行四边形，AB1∥C1D,EF∥C1D, 故B正确；对于C,AC1∥AC,AD1∥BC1,A1C1,BC1中平面 ACD1,AC,AD1C平面ACD1,.A1C1∥平面ACD1,BC1∥平面 ACD1,又AC1∩BC1=C1,AC1,BC1C平面AC,B,.平面 AC1B∥平面ACD1,故C正确；对于D,取AE中点H,又G为AB 中点，∴.CH∥BE,又：GHC平面AD1G,BE￠平面AD1G,BE∥平 面AD1G,故D正确.故选BCD. D (第2题) (第3题) 3.BCD解析：如图，对于A,连接OC,因为AB是半圆0的直径，所 以AC⊥BC,所以OC与AC不垂直.因为ACC平面VAC,所以OC与 平面VAC不可能垂直，所以A错误：对于B,因为M,N分别 为VA,VC的中点，所以MN∥AC.因为MN丈平面ABC,ACC平 面ABC,所以MN∥平面ABC,所以B正确；对于C,由选项B可 知MN∥AC,又因为AC⊥BC,所以MN⊥BC,所以C正确：对于D, 因为VA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以VA⊥BC.因为AC⊥ BC,VA∩AC=A,A,ACC平面VAC,所以BC⊥平面VAC.因为BCC 平面BC,所以平面VAC⊥平面BC,所以D正确.故选BCD. 4.②解析：如图，折起后得到的几何体AED-BFC中，DE∥CF,CE C平面CFB,DE丈平面CFB,AE∥BF,BFC平面CFB,AE丈平面 CFB,所以DE∥平面CFB,AE∥平面CFB.因为DE∩AE=E,DE,AE C平面ADE,所以平面ADE∥平面CFB.因为BCC平面CFB,所以 BC∥平面ADE,故②正确：过点D作DH⊥EF,交EF于点H,过点 H作HG⊥AB,交AB于点G,过点C作CN⊥EF,交EF的延长线于 点N,过点N作NM LAB,交AB的延长线于点M,连接DG,CM.因 为题图①中四边形ABCD是边长为6的菱形，∠BAD=60°，AE BF=2,所以CF=DE=4,DH=CN=2√3，NF=HE=2,AG=MB= 3,MN=HG=√3，厅以四棱锥C-BFNM与D-AEHG是两个全等的 四棱锥.因为NM⊥AB,EF∥AB,所以NM⊥EF因为CN⊥EF,MNn CN=N,MN,CNC平面CMW,所以EF⊥平面CMN,同理EF⊥平 面DHG.因为D∈平面DHG,AE平面DHG,所以AD与EF不垂直 故①错误；因为平面BAEF⊥平面CDEF,平面BAEF∩平面CDEF= EF,DH⊥EF,DHC平面CDEF,所以DH⊥平面BAEF.若平面ADE⊥ 平面ABFE,因为平面ADE∩平面ABFE=AE,所以过点D作DH'⊥ AE,垂足为H',DHC平面ADE,所以DH'⊥平面ABFE,此时过点D 有两条垂直于平面ABFE的直线，与过平面外一点有且只有一条 直线与该平面垂直矛盾，故③错误.故答案为② 参考答案 E 共A B (第4题) (第5题) 5.证明：(1)如图所示，连接AC交BD于点H,底面ABCD为菱形，所 以AC⊥BD,AH=HC,HB=HD,即H为BD的中点. 因为F为△BCD的重心，所以F在CH上，且CF=2FH,可得 3CF=AC. :PC=3EC,在△PAC中根据线段成比例可得3EF=PA,EF∥PA, 又因为EFt平面PAB,PAC平面PAB,所以EF∥平面PAB. (2):点E在底面ABCD的投影恰好为△BCD的重心F,∴，EF⊥平 面ABCD. 又：ABC平面ABCD,ACC平面ABCD,∴.EF⊥AB,EF⊥AC 由(1)可知，EF∥PA,.PA⊥AB,PA⊥AC. 又：ABC平面ABCD,ACC平面ABCD,AB∩AC=A,',PA⊥平 面ABCD. BDC平面ABCD,∴.PA⊥BD. ,底面ABCD为菱形，∴.AC⊥BD. PA,ACC平面PAC,PA∩AC=A,∴.BD⊥平面PAC. PCC平面PAC,.PC⊥BD. 重难点拔 平行关系与垂直关系之间的相互转化： 如果一条直线垂直于两个 线面垂直的性质 平行平面中的一个平面， 那么该直线也垂直于另一 个平面 线线平行一线面平行 面面平行 如果两平行直线中的一条垂直于一个 垂直于同一直线 平面，那么另一条也垂直于这个平面 的两个平面平行 6.证明：(1)如图，连接A1G,并延长交BC于 D,连接AD,由点G为△A,BC的重心，得 D为BC的中点，由AB=AC,A1A=A1A, ∠A,AB=∠A1AC,得△A,AB≌△AAC, 则A,B=A1C,因此AD⊥BC,A1D⊥BC.又 因为AD∩A1D=D,AD,A1DC平面A1AD D 所以BC⊥平面A,AD.因为A1AC平 面A1AD,所以BC⊥A1A.又因为A1A∥B1B,所以B,B⊥BC. (2)由A1A=AB=2,∠A1AB=60°，得△A1AB为正三角形.同理 △A1AC也为正三角形，则A1B=A1C=BC=2,从而三棱锥A-A1BC 的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由G为△A1BC的重心，得AGL平面A1BC, 菱形ACC1A1中，AC1过A1C的中点，即直线AC1与平面ABC的 交点为A,C的中点，因此G不在直线AC1上.又因为C1P⊥平 面A1BC,所以AG∥C1P. 专题探究10空间角与空间距离问题 1.C解析：在平面PAB中过点A作AE⊥PB,垂 足为E,如图，因为PA⊥平面ABCD,所以 ∠PBA为PB与平面ABCD所成的夹角，则 - LPBA=不又因为ABC平面ABCD,所以B PA LAB..又因为PA=1,所以AB=1,所以PB=2,AE=PB=2 2 因为LABC-=牙，所以BC AB因为BCC平面ABCD,所以PA1 BC.又因为AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB.因 为AEC平面PAB,所以BC⊥AE.又因为AE⊥PB,BC∩PB=B,BC, PBC平面PBC,所以AEL平面PBC,所以AE的长度即为点A到平 学霸077