专题05 立体几何初步（期末复习讲义）高一数学下学期苏教版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05立体几何初步（期末复习讲义） 内容导航 明。期床考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01简单几何体的表面展开与折叠问题 题型02与直观图还原有关的计算问题 题型03棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型04棱柱、棱锥、棱台的体积 题型05球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 题型06三线共点问题 题型07异面直线所成的角 题型08直线与平面平行的判断定理的理解 题型09直线与平面平行的判定 题型10直线与平面垂直的判定 题型11直线与平面所成角 题型12求二面角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期未考情 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1.空间几何体结构与 熟记各类几何体结构特征， 命题趋势：期末选择填空基础必考，侧重空间直 直观图 掌握斜二测画法规则与面积 观判断。易错点：棱锥、棱台定义判断失误，斜 柱锥台球结构辨析、斜换算，能精准辨析空间几何 二测面积比例记混，平面思维解读空间图形。 二测画法、图形正误判体命题正误。 断 2.表面积与体积计算 熟记各类几何体表面积、体 命题趋势：基础计算高频考点，题型简单、分值 柱锥台球、组合体度量 积公式，能拆分组合几何体， 稳定。易错点：锥体遗漏系数、表面积漏算重 计算、公式应用 规范完成数值计算与参数求 解。 算底面、球公式混淆、组合体拆分失误。 3.点线面位置关系与 掌握平面基本事实与推论 命题趋势：判断类选择题高频考点，侧重空间想 平面事实 能精准判定空间点、线、面 象能力。易错点：忽略三点不共线前提、遗漏异 平面确定、空间位置辨各类位置关系，准确识别异 面直线关系、位置关系判定不全面。 1/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 析、异面直线判断 面直线。 4.空间平行关系证明 熟练掌握平行类定理条件与 命题趋势：期末解答题必考基础证明题型。易错 线面平行、面面平行判结论，能规范书写证明步骤，点：缺失相交直线、线在面外等关键条件，定理 定与性质、简单推理证 独立完成线面、面面平行推 乱用，证明步骤残缺扣分。 明 理证明题。 5.空间垂直综合证明 精通垂直类核心定理，掌握 命题趋势：期末重难点、压轴高频考点，区分度 线面垂直、面面垂直判平行与垂直的转化逻辑，能 最高。易错点：定理混淆乱用、关键条件缺失、 定与性质、平行垂直综 独立完成复杂综合证明大 逻辑推理混乱、不会综合转化关系。 合转化 题。 记·必备知识 同知识01 基本立体图形与结构特征 【核心标准定义】 1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，核心包含棱柱、棱锥、棱台。 ·棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行，侧棱平行且相 等，上下底面全等 ·棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形， ·棱合：用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面与截面之间的几何体，上下底面相似。 2.旋转体：由平面图形绕定直线旋转形成的几何体，核心包含圆柱、圆锥、圆合、球。 3.直观图：采用斜二测画法，平行于×轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，角度由90°变为 45°或135°。 【典型示例】 1.判断：各侧面都是矩形的棱柱为直棱柱（正确）；有一个面是多边形、其余面是三角形的几何体是棱锥（错 误，三角形需共顶点)。 2.正方形斜二测直观图为平行四边形，面积为原正方形面积的华倍。 【专属易错警示】 1.误将侧面为三角形的几何体直接判定为棱锥，忽略所有三角形必须共顶点的核心条件； 2.混淆棱台定义，忽略棱台必须由棱锥截取、上下底面相似的前提； 2/20 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.斜二测画法面积换算公式记忆混乱，忘记直观图与原图的学比例关系； 4.误认为棱柱底面只能是水平放置的多边形，忽略底面可任意摆放。 邑知识02 空间几何体的表面积与体积 【核心标准定义】 1,柱体（棱柱、圆柱）：体积V=Sh(S为底面积，h为高)；表面积=侧面积+两个底面积。 2.锥体（棱锥、圆锥）：体积V=S;表面积=侧面积+一个底面积。 3.合体（棱台、圆合）：体积V=S+VSs+S)(S5为上下底面积)。 4.球：半径为R,表面积S=4πR2,体积V=号πR3。 【典型示例】 1.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，则体积V=2×2×3=12。 2.已知圆锥底面半径R=1,高h=3,体积V=言×π×12×3=π。 3.半径为2的球，表面积S=16,体积V=号π。 【专属易错警示】 1.锥体体积高频失分：遗漏系数，直接套用柱体体积公式： 2.表面积计算混淆侧面积与全面积，遗漏底面面积或重复计算底面； 3.球的表面积与体积公式记混，指数、系数出错； 4.台体公式记忆模糊，无法结合椎体公式转化运算。 屋知识03平面基本事实与空间位置关系 【核心标准定义】 1.平面三大基本事实： ·事实1：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面核心依据）； ·事实2：若直线上两点在平面内，则整条直线在平面内 ·事实3：若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。 3/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.空间直线位置关系：平行、相交、异面（无公共点、不共面）。 3.直线与平面位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。 4.平面与平面位置关系：平行、相交。 【典型示例】 1.三点共线时，可确定无数个平面；三点不共线，唯一确定一个平面。 2.正方体中，异面直线无公共点，且不平行、不相交。 【专属易错警示】 1.忽略“三点不共线”前提，误认为任意三点确定一个平面 2.平面思维固化，误将空间无公共点的直线全部判定为平行，遗漏异面直线， 3.判定线面关系时，遗漏“直线在平面内"的核心情况， 4.混淆两个平面相交与平行的判定条件。 局知识04 空间平行关系（线面、面面） 【核心标准定义】 1.线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行。 2.线面平行性质定理：直线与平面平行，过直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行。 3.面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则两平面平行。 4.面面平行性质定理：两平面平行，第三个平面与它们相交，则两条交线平行。 【典型示例】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B‖D1C,A1B平面D1C1CD,可证A1B‖平面D1C1CD。 【专属易错警示】 1.面面平行判定遗漏核心条件：必须是两条相交直线，两条平行直线无法判定面面平行； 2.线面平行证明遗漏“直线在平面外”的前提条件，证明步骤不完整， 3.乱用平行传递性，空间中直线平行传递成立，平面平行传递成立，但线面不可随意传递： 4.不会灵活使用中位线、平行四边形性质构造平行关系。 属知识5空间垂直关系（线面、面面） 【核心标准定义】 4/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.线面垂直判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则直线垂直于该平面。 2.线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 3.面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则两平面互相垂直。 4.面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（大题核心工具）。 【典型示例】 正方体中，侧棱垂直底面内两条相交棱，故侧棱垂直底面；侧面过侧棱（底面垂线），故侧面与底面垂直。 【专属易错警示】 1.线面垂直判定致命错误：遗漏“两条相交直线”，仅用两条平行直线判定 2.混淆面面垂直判定与性质定理，做题乱用定理、逻辑倒置； 3.面面垂直性质使用遗漏“垂直于交线”的关键条件， 4.证明题逻辑断层，缺少关键推理步骤，格式不规范导致扣分。 破·重难题型 题型一 简单几何体的表面展开与折叠问题 解|题|技1巧 (1)立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开)过程中的不变量： (2)立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值： ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值. 【典例1】在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=4,M是侧棱PA上靠近A的四等分点，一只蚂蚁从M出 发沿该正四棱锥的表面爬行到C,设该妈蚁爬行的最短路径长度为d,则d?= 【变式1】如图，三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=2,ABC为正三角形，∠BSC=40°，一质点从点B 出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为() 5/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S A.2 B.3 C.2V5 D.3√5 【变式2】已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为4，且∠APB=30°，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的 侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短距离为() A.6 B.35 C.45 D.310 它题型二与直观图还原有关的计算问题 答|题|技|巧 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度 要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点. (1)直观图中任何一点距x轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sn45°=倍. (2)S直观图=S原图.。 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换， 【典例1】一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为() A.6 B.2√2 C.32 D.3W2 2 【变式1】如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A'B'C'D'其中A'B'∥C'D ,A'B'⊥B'C',A'B'=4,D'C'=2,则原四边形ABCD的面积为 y B 【变式2】水平放置的ABC的直观图如图所示，其中B0-C0-1,AO-5, 那么原ABC周长是 2 6/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C 它题型三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 答|题|技|巧 1、多面体的表面积转化为各面面积之和. 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原 成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决. 【典例1】（多选）两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1,1，√2，将它们拼成一个新的棱柱，则这 个新棱柱的表面积可以是() A.12 B.6+4v2 C.10 D.9+42 【变式1】已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则圆锥表面积为() A.35π B.36π C.39π D.43π 【变式2】圆锥PO的底面直径和高均是√2，从圆锥PO的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过PO中 点O作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是() 2+V5π B.(2+v5)x 8 c.(2+v5)π D.(2+5)π 题型四棱柱、棱锥、棱台的体积 答|题|技|巧 1、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解.②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积 和高都易求的形式即可.③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积， 2、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量， 最后代入公式计算， 【典例1】如图，正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为4，E,F分别是CC,AD上的点，且CE=1, 7/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A,F=2. D E D B (1)求直线A,B与EF所成角的余弦值 (2)设G是线段EF上的动点（含端点）· ()判断三棱锥G-ABD的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. (D当CG1/平面48D时，求%的值 【变式1】如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O,O2为圆柱上下底面的圆心， O为球心，EF为底面圆O的一条直径，若球的半径r=2则球与圆柱的体积之比为；四面体CDEF 的体积的取值范围为 、 E 【变式2】已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为√，则圆锥的体积为() A.V3 B.刀 c.√3π D.23π 3 巴题型五 球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球) 答|题技|巧 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为？=号，过在一个平面上的四个切点 作截面如图(1)· 2、球与正方体的各条棱相切 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有，号。如图(2》。 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直 径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a,,c,则过球心作长方体的对角面有球的半径为)=4+e 2 如图(3)· T3= a+b+c a e 120 2a a (2) (3) 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R=3a. 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R=62a. 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. 【典例1】己知圆锥的轴截面是顶角为120°的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球0的球面上，则 该圆锥与球O的体积之比为() B.3 6 C. 【变式1】已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大 时，该球的体积为 【变式2】一个正六棱柱的底面边长为6 侧棱长为√6，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 () A.12π B.4V3π c.4V3 元 3 D.4π 巴题型六三线共点问题 答|题技|巧 9/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明三线共点常用的方法： 先证明两条直线相交于一点，然后证明这个点在两个平面内，第三条线是这两个平面的交线，于是该 点在第三条直线上，从而得到三线共点.也可以先证明α，b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A, B是同一点，从而得到a,b,c三线共点. (2)类比线共点的证明方法，可得到三点共线的证明方法： ①首先找出两个平面的交线，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交 线上，即三点共线， ②选择其中两点确定一条直线，然后证明第三个点也在这条直线上， 【典例1】（多选）如图，在空间四边形ABCD中，AC=BD,F,G分别是BC,CD的中点，E,H分别在 AB,AD上，且EH=入BD(0<元<1)，则下列说法正确的是() D G A.当入=2时，四边形EFGH是一个正方形 ®.当2=方时， EG⊥HF C.当0<元<1时，E,F,G,H四点共面 D.当入行时，直线EF,HG,4C相交于一点 【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，点F,G分别是边BC, CD上的点，且CF=CG_2 CBcD3,则() H D G A.EF与GH平行 B.EF与GH异面 10/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.EF与GH的交点一定在直线AC上D.EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC 上 【变式2】在正方体ABCD-A,B,CD中，E,F分别为D,C,B,C,的中点，ACBD=P,AC1EF=Q,如 图 D E D (1)求证：D,B,E,F四点共面： (2)作出直线A,C与平面BDEF的交点R的位置.并给出理由. 它题型七异面直线所成的角 答|题|技|巧 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面 直线问题来解决，具体步骤如下： (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角： (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0, 当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条 异面直线所成的角 【典例1】在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,设AB,和BC,所成的角为a,则cosa的值为() C A. B. 4 3 c 【变式1】在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,设AB,和BC,所成的角为a,则cosa的值为() 11/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 3 A. A 8.1 D. 【变式2】已知三棱锥A-BCD中，AB=CD,且直线AB与CD所成的角为6O°，点M,N分别是BC, AD的中点，则直线AB和MN所成的角为 ☑题型八直线与平面平行的判断定理的理解 答|题|技|巧 (1)明确判定定理的关键条件. (2)充分考虑各种可能的情况. (3)特殊的情况注意举反例来说明， 【典例1】若m,n为两条直线，0为一个平面，则下列结论中正确的是() A.若m/1a,n/1a,则m⊥n B.若m11a,n/1a,则m∥n C.若m/a,n⊥a,则m上n D.若m/la,n⊥a,则m∥n 【变式1】己知，b,c是不同的直线，a,B是不重合的平面，若aca,bcB,u∩B=c,anb=M则() A.MEcea B.Mccga C.Mccca D.MEcca 【变式2】在空间中，1，m是不重合的直线，a,B是不重合的平面，则下列说法正确的是() A.若1ca,mcB,a/1B,则1∥m B.若1∥m,mcB,则l∥B C.若m/B,mc,a∩B=l,则1∥m D.若m/1B,m/1a,则a/B ☑题型九直线与平面平行的判定 答|题|技|巧 (1)欲证线面平行可转化为线线平行解决. (2)判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、 等比例线段、相似三角形. 【典例1】如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正三角形， 12/20 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PB=PC=3,点E在PB上. E D B (1)若E为中点，求证：PD/1平面AEC; (2)若AC∩BD=0,求证AD⊥P0: (3)求异面直线PB与AC所成角的余弦值. 【变式1】如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正三角形， PB=PC=3,点E在PB上 D B C (1)若E为中点，求证：PD/1平面AEC; (2)若AC∩BD=0,求证AD⊥P0; (3)求异面直线PB与AC所成角的余弦值. 【变式2】如图，已知在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC=3,AB=5,BC=4,AA=4,点D是AB的中 点. C B O B (1)求证：AC/1平面CDB,; 13/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：AC1CB; 它题型十直线与平面垂直的判定 答|题|技|巧 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都 和这条直线垂直。 【典例1】（多选）如图所示，正方体ABCD-A,B,C,D,中，给出以下判断，其中正确的有() D C B A.AD⊥面ABBA B.ABIIDC C.AD与B,C是异面直线 D.4C与平面ABCD夹角正弦为N6 【变式I】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD,AP=AB=AD=2,E是侧棱 PB的中点. D C (1)求证：BC⊥平面PAB. (2)求异面直线AE与PD所成的角 【变式2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,垂足为A, PA=AB=4,AC交BD于点O,点M是PD的中点 14/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：OM/1平面PAB. (2)求证：PD⊥平面ABM. (3)求直线BC与平面ABM所成角的大小. 题型十一 直线与平面所成角 答|题|技|巧 (求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤) (1)确定斜线与平面的交点（斜足）： (2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和 射影所成的锐角即为所求的角； (3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. 【典例1】如图，在正方体ABCD-A,B,C,D中，E、F分别为BC,CC的中点，则直线CD与平面DEF所 成角的正切值为 D B D E B 【变式1】如图，在四棱锥P-A8CD中，4D1平面PAB,BC1/平面PAD,BC-4D,点N是AD的 中点. N 15/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：CN1/平面PAB; (2)求BC与平面PAB所成角的余弦值. 【变式2】己知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为() 者 B. C.② D.3 2 它题型十二 求二面角 答|题|技|巧 (作二面角的三种常用方法) (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则 LA0B为二面角a-1-B的平面角. 图① 图② 图③ (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成 的角，即为二面角的平面角.如图②，∠A0B为二面角a-1-B的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B,由点B向二面 角的棱作垂线，垂足为0，连接A0,则∠A0B为二面角的平面角或其补角.如图③，∠A0B为二面角 a-1-B的平面角 【典例1】如图，长方体ABCD-A,B,C,D,1中，ABCD是边长为1的正方形，D,B与平面ABCD所成的角为 45°，则直线CD与直线D,B的夹角余弦值为 _:二面角C-BD-C的平面角的正切值为 D B 【变式1】如图，长方体ABCD-A,B,C,D,中，ABCD是边长为1的正方形，D,B与平面ABCD所成的角为 45°，则直线CD与直线D,B的夹角余弦值为 :二面角C,-BD-C的平面角的正切值为 16/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C B B 【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD/1BC,AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿 BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列说法正确的是() ①平面ABD⊥平面ABC:②BD1AC;®平面ACD1平面ABC;④锐二面角C-AB-D的余弦值为V 3 D A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下.浙江衢州期末)已知，阝是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题中 正确的是() A.若m∥n,nCa,则m‖c B.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n C.若m⊥a,n∥a,则m⊥n D.若mc,nca,m‖B,nlB,则a∥B 2.(24-25高一下江苏常州期末)在直三棱柱ABC-A,B,C中，AB⊥BC,AB=√5，BB,=3,BC=2, BD=1BC(0<1<1) 17/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B、 (1)若AC∥平面ABD,求1的值： (2)设二面角B,-A,B-D与二面角D-A,B-C,的平面角分别为，B,若a=B,求1的值. 3.(24-25高一下江苏淮安期末)如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA1PB, AB=BC=4,∠ABC=2 D MO C B (1)已知Q为线段AC上一点，AQ=2QC,求证：PA⊥BQ; (2)求三棱锥P-ABC外接球体积； (B)若M为线段AC的中点，PM与平面ABC所成角为a,求tan'a的最大值. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） ----4-4------------- 1.(24-25高一下.江苏准安期末)如图，有一长方体密封容器ABCD-A,B,C,D,用于装水，底面ABCD为边 长为2的正方形，高AA为4，因不慎在顶点B和棱AB,A,D,的中点E,F处各破损了一个小孔（小孔大小 和容器厚度忽略不计)若该容器可以任意放置，则该容器可装水的最大体积为 D C A E B D B 18/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高一下江苏准安期末)（多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形， PA⊥平面ABCD,PA=2,E,F分别为PD,BC的中点，M,N分别为线段EF,PA上的动点，下列 结论正确的有() F A.存在点M,N使得M,N,E,B共面 B.存在点N使得CN⊥EF C.三棱锥P-MAB的体积为定值 D,M到CD距离的最大值为√2 江苏南京期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ 陵P4的中点，PAPB:4,PD=2B,直线PA与BC所成的角的大小为了 A B (1)证明：PC∥平面BDE; (2)证明：PD⊥平面ABCD: (3)求二面角E-BD-A的正弦值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25高一下江苏南京期末)（多选）一副三角板按如图所示的方式拼接，把ABC沿BC边折起，使 ABC所在平面与△BCD所在平面垂直，连接AD,其中AB=AC,∠CBD=工.下列说法正确的是() 19/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B D A.直线CD⊥平面ABC B.平面ABD⊥平面ACD C.直线HC与直线BD所成角为号 D.直线AD与平面BCD所成角的正弦值为VS0 10 2.(24-25高一下.江苏泰州期末)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，点P在平面A,B,CD1内，M是棱 CD上一点（不包括端点），AM的中点为E,PA=PM,PB=PC. D P M C E A (1)求证：AD∥平面PBC; (2)求证：PE⊥BC; 3)若二面角P-BC-A与二面角P-AB-M的大小都为元， 5，四陵锥P-ABCM的体积为求A4的的 3.(24-25高一下.江苏泰州期末)已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，过点A的平面α与棱 PB,PC,PD分别交于E,F,G.若三棱锥P-AGF的体积是三棱锥P-EGF体积的倍，则E的值为 PB 20/20 专题05 立体几何初步（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 简单几何体的表面展开与折叠问题 题型02 与直观图还原有关的计算问题 题型03 棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型04 棱柱、棱锥、棱台的体积 题型05 球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 题型06 三线共点问题 题型07 异面直线所成的角 题型08 直线与平面平行的判断定理的理解 题型09 直线与平面平行的判定 题型10 直线与平面垂直的判定 题型11 直线与平面所成角 题型12 求二面角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 空间几何体结构与直观图 柱锥台球结构辨析、斜二测画法、图形正误判断 熟记各类几何体结构特征，掌握斜二测画法规则与面积换算，能精准辨析空间几何体命题正误。 命题趋势：期末选择填空基础必考，侧重空间直观判断。易错点：棱锥、棱台定义判断失误，斜二测面积比例记混，平面思维解读空间图形。 2. 表面积与体积计算 柱锥台球、组合体度量计算、公式应用 熟记各类几何体表面积、体积公式，能拆分组合几何体，规范完成数值计算与参数求解。 命题趋势：基础计算高频考点，题型简单、分值稳定。易错点：锥体遗漏系数、表面积漏算/重算底面、球公式混淆、组合体拆分失误。 3. 点线面位置关系与平面事实 平面确定、空间位置辨析、异面直线判断 掌握平面基本事实与推论，能精准判定空间点、线、面各类位置关系，准确识别异面直线。 命题趋势：判断类选择题高频考点，侧重空间想象能力。易错点：忽略三点不共线前提、遗漏异面直线关系、位置关系判定不全面。 4. 空间平行关系证明 线面平行、面面平行判定与性质、简单推理证明 熟练掌握平行类定理条件与结论，能规范书写证明步骤，独立完成线面、面面平行推理证明题。 命题趋势：期末解答题必考基础证明题型。易错点：缺失相交直线、线在面外等关键条件，定理乱用，证明步骤残缺扣分。 5. 空间垂直综合证明 线面垂直、面面垂直判定与性质、平行垂直综合转化 精通垂直类核心定理，掌握平行与垂直的转化逻辑，能独立完成复杂综合证明大题。 命题趋势：期末重难点、压轴高频考点，区分度最高。易错点：定理混淆乱用、关键条件缺失、逻辑推理混乱、不会综合转化关系。 知识01 基本立体图形与结构特征 【核心标准定义】 1. 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，核心包含棱柱、棱锥、棱台。 - 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行，侧棱平行且相等，上下底面全等； - 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形； - 棱台：用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面与截面之间的几何体，上下底面相似。 2. 旋转体：由平面图形绕定直线旋转形成的几何体，核心包含圆柱、圆锥、圆台、球。 3. 直观图：采用斜二测画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，角度由90°变为45°或135°。 【典型示例】 1. 判断：各侧面都是矩形的棱柱为直棱柱（正确）；有一个面是多边形、其余面是三角形的几何体是棱锥（错误，三角形需共顶点）。 2. 正方形斜二测直观图为平行四边形，面积为原正方形面积的倍。 【专属易错警示】 1. 误将侧面为三角形的几何体直接判定为棱锥，忽略所有三角形必须共顶点的核心条件； 2. 混淆棱台定义，忽略棱台必须由棱锥截取、上下底面相似的前提； 3. 斜二测画法面积换算公式记忆混乱，忘记直观图与原图的比例关系； 4. 误认为棱柱底面只能是水平放置的多边形，忽略底面可任意摆放。 知识02 空间几何体的表面积与体积 【核心标准定义】 1. 柱体（棱柱、圆柱）：体积（为底面积，为高）；表面积=侧面积+两个底面积。 2. 锥体（棱锥、圆锥）：体积；表面积=侧面积+一个底面积。 3. 台体（棱台、圆台）：体积（为上下底面积）。 4. 球：半径为，表面积，体积。 【典型示例】 1. 已知正四棱柱底面边长为2，高为3，则体积。 2. 已知圆锥底面半径，高，体积。 3. 半径为2的球，表面积，体积。 【专属易错警示】 1. 锥体体积高频失分：遗漏系数，直接套用柱体体积公式； 2. 表面积计算混淆侧面积与全面积，遗漏底面面积或重复计算底面； 3. 球的表面积与体积公式记混，指数、系数出错； 4. 台体公式记忆模糊，无法结合椎体公式转化运算。 知识03 平面基本事实与空间位置关系 【核心标准定义】 1. 平面三大基本事实： - 事实1：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面核心依据）； - 事实2：若直线上两点在平面内，则整条直线在平面内； - 事实3：若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。 2. 空间直线位置关系：平行、相交、异面（无公共点、不共面）。 3. 直线与平面位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。 4. 平面与平面位置关系：平行、相交。 【典型示例】 1. 三点共线时，可确定无数个平面；三点不共线，唯一确定一个平面。 2. 正方体中，异面直线无公共点，且不平行、不相交。 【专属易错警示】 1. 忽略“三点不共线”前提，误认为任意三点确定一个平面； 2. 平面思维固化，误将空间无公共点的直线全部判定为平行，遗漏异面直线； 3. 判定线面关系时，遗漏“直线在平面内”的核心情况； 4. 混淆两个平面相交与平行的判定条件。 知识04 空间平行关系（线面、面面） 【核心标准定义】 1. 线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行。 2. 线面平行性质定理：直线与平面平行，过直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行。 3. 面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则两平面平行。 4. 面面平行性质定理：两平面平行，第三个平面与它们相交，则两条交线平行。 【典型示例】 在正方体中，，平面，可证平面。 【专属易错警示】 1. 面面平行判定遗漏核心条件：必须是两条相交直线，两条平行直线无法判定面面平行； 2. 线面平行证明遗漏“直线在平面外”的前提条件，证明步骤不完整； 3. 乱用平行传递性，空间中直线平行传递成立，平面平行传递成立，但线面不可随意传递； 4. 不会灵活使用中位线、平行四边形性质构造平行关系。 知识05 空间垂直关系（线面、面面） 【核心标准定义】 1. 线面垂直判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则直线垂直于该平面。 2. 线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 3. 面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则两平面互相垂直。 4. 面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（大题核心工具）。 【典型示例】 正方体中，侧棱垂直底面内两条相交棱，故侧棱垂直底面；侧面过侧棱（底面垂线），故侧面与底面垂直。 【专属易错警示】 1. 线面垂直判定致命错误：遗漏“两条相交直线”，仅用两条平行直线判定； 2. 混淆面面垂直判定与性质定理，做题乱用定理、逻辑倒置； 3. 面面垂直性质使用遗漏“垂直于交线”的关键条件； 4. 证明题逻辑断层，缺少关键推理步骤，格式不规范导致扣分。 题型一 简单几何体的表面展开与折叠问题 解｜题｜技｜巧 （1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【典例1】在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 【答案】 【分析】把正四棱锥的侧面和，沿展成一个平面图形，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，把正四棱锥的侧面和，沿展开成一个平面图形， 如图所示，可得， 因为点是上靠近的四等分点，且，可得， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为， 所以. 【变式1】如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 【变式2】已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 题型二 与直观图还原有关的计算问题 答｜题｜技｜巧 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【典例1】一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算原矩形的面积，再结合斜二测画法的面积比例关系求出直观图的面积． 【详解】原图形面积为， 根据斜二测画法的规则：平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度变为原来的，且坐标系夹角变为， 因此直观图为平行四边形，其面积满足， 所以． 【变式1】如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】先求出直观图为梯形的面积为，利用斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍即可求解. 【详解】因为直观图为梯形且，，，， 所以， 所以直观图为梯形的面积为； 又因为斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍 因此原四边形的面积为. 【变式2】水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________. 【答案】6 【详解】依据斜二测画法可知，所以， 又因为，， 所以，， 可得 ， 那么原周长是 . 题型三 棱柱、棱锥、棱台的表面积 答｜题｜技｜巧 1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 【典例1】（多选）两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（    ） A．12 B． C．10 D． 【答案】BCD 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成三棱柱时有三种情况， 第一种情况： 表面积为； 第二种情况： 表面积为； 第三种情况： 表面积为. 故B，C，D正确，A错误. 【变式1】已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 【变式2】圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出相应图形后，可得剩下几何体的表面积为圆锥侧面积、圆锥底面积、圆柱侧面积总和，分别计算各面积即可得. 【详解】由题意可画图如下： 底面直径​，故底面半径​​，高， 过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为， 由相似三角形性质，有，所以， 以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高， 圆锥的母线长； 则； ； ； 故. 题型四 棱柱、棱锥、棱台的体积 答｜题｜技｜巧 1、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【典例1】如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】(1) (2)（i）不是，体积最小值为；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦值. （2）（i）利用反证法证明不平行于平面即可判断，再求出线段上到平面距离最小值即可；（ii）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）（i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 【变式1】如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 2:3/ 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 【变式2】已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆锥的轴截面是高为的等边三角形，则等边三角形的边长为， 则该圆锥底面半径为，母线长为，高为， 故该圆锥的体积为. 题型五 球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 答｜题｜技｜巧 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【典例1】已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥性质，即可得外接球心即为轴截面外接圆圆心，再利用解三角形即可求体积之比. 【详解】设外接球的半径为，则球的体积为， 由于圆锥内接于球，其轴截面为一个内接于球的大圆的等腰三角形，则轴截面三角形的外接圆就是外接球的大圆， 即轴截面三角形的外接圆半径就是外接球的半径， 已知轴截面顶角为，由正弦定理可得，底面直径满足， 解得，因此圆锥底面半径，圆锥的高， 所以圆锥体积， 则该圆锥与球的体积之比为：. 【变式1】已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 【答案】 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 【变式2】一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 题型六 三线共点问题 答｜题｜技｜巧 （1）证明三线共点常用的方法： 先证明两条直线相交于一点，然后证明这个点在两个平面内，第三条线是这两个平面的交线，于是该点在第三条直线上，从而得到三线共点．也可以先证明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再证明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点． （2）类比线共点的证明方法，可得到三点共线的证明方法： ①首先找出两个平面的交线，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线上，即三点共线． ②选择其中两点确定一条直线，然后证明第三个点也在这条直线上． 【典例1】（多选）如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 【答案】BCD 【分析】根据线线平行得出平行四边形及菱形判断A，B，根据平行得出四点共面判断C，应用平面的基本性质得出三线共点判断D. 【详解】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，易得， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD. 【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【分析】连接，根据题意，证得且，设和相交于点，得到平面且平面，进而得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以和相交， 设和相交于点，则平面且平面， 因为平面平面，所以点在直线上. 【变式2】在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 题型七 异面直线所成的角 答｜题｜技｜巧 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【典例1】在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 【变式1】在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 【变式2】已知三棱锥中，，且直线与所成的角为，点，分别是，的中点，则直线和所成的角为________. 【答案】60°或30° 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点， 所以，且，， 且，所以（或其补角）为与所成的角， 所以（或其补角）为与所成的角， 因为直线与成角，所以或， 又因为，所以， 若，则是等边三角形，所以， 即与所成的角为，若，则易知是等腰三角形， 所以，即与所成的角为， 综上可知：与所成角为或. 题型八 直线与平面平行的判断定理的理解 答｜题｜技｜巧 （1）明确判定定理的关键条件． （2）充分考虑各种可能的情况． （3）特殊的情况注意举反例来说明． 【典例1】若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于选项AB：若，，则直线，的位置关系有：平行、相交或异面，故A、B错误； 对于选项CD：若，，则，故C正确，D错误. 【变式1】已知是不同的直线是不重合的平面，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又因， 所以，因此. 【变式2】在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】依据空间中线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项的正误. 【详解】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误. 题型九 直线与平面平行的判定 答｜题｜技｜巧 （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【典例1】如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式1】如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式2】如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面，所以． 题型十 直线与平面垂直的判定 答｜题｜技｜巧 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直． 【典例1】（多选）如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 【答案】ABC 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据正方体的几何性质可判断B；根据异面直线的定义可判断C；求出线面角可判断D. 【详解】对于A，因为，且，平面， 所以平面，故A正确；     对于B，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面， 且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以为 与平面的夹角， 设正方体的棱长为2， 则， 可得，故D错误. 【变式1】如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2）连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 题型十一 直线与平面所成角 答｜题｜技｜巧 （求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤） （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 【典例1】如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【分析】利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【详解】设正方体的棱长为， 所以，所以， ， 设的中点为，连接， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以，所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 所以，又，所以， 所以. 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，平面，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先得四边形是平行四边形，从而有，利用线面平行的判定定理可证结论. （2）根据已知条件和（1）得平面，即可得. 【详解】（1）∵平面，平面，平面平面， ∴，即，又N是AD的中点，， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面. （2）由平面，且（1）知，则平面， 所以与平面所成角为，故其余弦值为0. 【变式2】已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，所以，所以， 该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.    题型十二 求二面角 答｜题｜技｜巧 （作二面角的三种常用方法） （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 【典例1】如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 【变式1】如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 【变式2】如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据面面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行和垂直、面面平行和垂直的判定定理和性质定理判断各选项. 【详解】对于A：若，，当不在内时，，但也可能，A错误； 对于B：设，若，且，则，B错误； 对于C：因为，则存在，若，则， 因为，所以，所以，C正确； 对于D：若，则当与相交时才有，条件中未给出两直线相交，所以得不出，D错误； 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）过点在平面内作，垂足为，连接，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、求得，的长，法一：利用二倍角的正切公式可得，即可求出的值；法二：利用角平分线的性质可得，可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面，   ∴．                                       又在直三棱柱中，侧面为平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中点，∴. （2）过点在平面内作，垂足为，连接， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，                                  又平面，∴，， ∴二面角和二面角的平面角分别为， 即，，             ∵，，， ∴， ∴， 法一：当时，，                  而，                                                 ∵，∴，解得或              又，∴．                                                  法二：当时，为的角平分线，且， ∴，                                               又，∴． 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，三棱锥中，平面平面，，，.    (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，，，由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出结论； （2）推出三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心，由正弦定理求出的外接圆半径，从而求出外接球半径，得到外接球体积； （3）作出辅助线，得到为与平面所成的角，分在线段上和在线段上，表达出，换元后，结合函数单调性和基本不等式求出最值，得到结论. 【详解】（1）连接，在中，因为，， 由余弦定理知 ， 故，所以. 在中，，由余弦定理知 ， 由勾股定理有，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面， .    （2）为直角三角形，平面平面， 三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心. 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）， 所以，即三棱锥外接球半径为4. 外接球体积为. （3）取中点，作，连接，，.   ，平面平面， 平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. ①在线段上，如图.设，则有， ，， ，，则， 在中，由余弦定理得. ， 令，，，， ∵，， 当且仅当，即时取“=”. 的最大值为. ②在线段上，如图2. 同①设，，. ，， ， 令，，， . 其中在上单调递增，理由如下： 任取， 则， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递增，所以， 综上，的最大值为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，有一长方体密封容器用于装水，底面为边长为2的正方形，高为4，因不慎在顶点和棱的中点，处各破损了一个小孔（小孔大小和容器厚度忽略不计）.若该容器可以任意放置，则该容器可装水的最大体积为________.    【答案】12 【分析】根据平面确定定理，三点共面，正方体被平面截成两部分，由此求出较大一部分体积；截面过时，设与交于点，与相交于，通过计算三棱台的最小值即可确定该容器可装水的最大体积. 【详解】连接，    在正方体中，分别是棱的中点， ，又， 所以，即共面， 又平面平面， 所以与相交于一点，即多面体为棱台， ， 则另一部分体积， 此时该容器可装水的最大体积为. 截面过时，设与交于点，与相交于，设，    在长方体中，易得为三棱台，则，即， ， 当，即时取等，此时，另一部分的体积， 此时该容器可装水的最大体积为12. 综上，该容器可装水的最大体积为12. 故答案为：12. 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（    ） A．存在点，使得共面 B．存在点使得 C．三棱锥的体积为定值 D．到距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，当点为中点时，利用中位线的性质可证得，即可得四点共面；对于B，取中点，连接，利用中位线的性质可证得四边形为平行四边形，则，利用反证法假设存在点使得，结合线面垂直的判定和性质定理可证得，显然与题意矛盾；对于C，利用等体积法，结合线面平行的判定定理求得点面距为定值，由此可求得三棱锥体积为定值；对于D，根据定义作出点到距离，当点在点处时，取得距离的最大值为. 【详解】对于A，如图，当点为中点时，连接， 因为，分别为，的中点，所以 所以，，则四点共面， 又为线段上的动点，所以共面，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接， 因为，分别为，的中点，所以, 且， 所以，即四边形为平行四边形，则. 若存在点使得，则， 因为平面，平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 又平面平面，所以平面， 而平面，所以. 由，，平面，平面，可得平面， 又平面，故，显然与题意矛盾. 所以不存在点使得，故B错误； 对于C，设点到平面的距离为， 由B可知，，因为平面，平面，所以平面，所以为定值. 因为是定值，故C正确； 对于D，如图，取中点，连接，则，过点作于点，则， 过点作于点，连接， 因为平面平面，所以平面, 又平面，，故即为点到距离. 在中，， 当点在点处时，，此时为最大值，故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，E为棱PA的中点，，，直线PA与BC所成的角的大小为. (1)证明：平面BDE； (2)证明：平面ABCD； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接，找到二面角即为，解三角形即可得到答案. 【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面. （2）直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. （3）过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在中，，， ， 二面角的正弦值是. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）一副三角板按如图所示的方式拼接，把沿BC边折起，使所在平面与所在平面垂直，连接AD，其中，.下列说法正确的是（   ） A．直线平面ABC B．平面平面ACD C．直线AC与直线BD所成角为 D．直线AD与平面BCD所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据面面垂直的性质定理等知识判断A，B；再由异面直线所成角的求法以及线面角的求解判断C，D即可. 【详解】因为平面平面，平面平面， 又为直角三角形，，∴平面，选项A正确；平面，平面，， 为直角三角形，∴，平面，， ∴平面，因为平面，故平面平面，选项B正确； 对于C，分别取的中点，过点作于，连接, 所以，即直线AC与直线BD所成角为或其补角. 不妨设，则可得，，，，，， ，，， 所以， 故， 则在中，， 从而可知直线AC与直线BD所成角不为，故C错误； 由题意知平面，平面， 所以，为直线AD与平面所成角. 不妨设，则，，， 直线平面，平面，所以， ，则， 所以直线AD与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ABD. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定可证平面； （2）根据线面垂直的判定可证平面，继而可得； （3）由（2）知就是二面角的平面角，过作，垂足为，连结，继而可证为二面角的平面角，即，再利用四棱锥的体积为，可得的长. 【详解】（1）在长方体中， 所以四边形为矩形，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以，因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （3）因为二面角的大小为， 由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以， 过作，垂足为，连结，因为为的中点， 所以，因为平面平面， 所以，因为相交，且平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 所以，因为平面，点在平面内， 所以为平面与平面的距离，故， 所以. 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为__________. 【答案】 【分析】由题可得平面，即，然后即可得的值. 【详解】 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，即平面， 所以， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 即，所以. 故答案为：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $