13.1 第3课时 直观图的斜二测画法-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

49+1 h+ 010=h2,则 h=’所以{=6即1：h,=2:1.故 (h2=2h, h+h,+h2√4g h 圆台的高被截面分成的两部分的比为2：1， 金 0 0 R 0 (第19题) (第20题) 20.解：(1).圆锥S0的底面半径R=5,高H=12,.圆锥S0的母线 长L=√+R2=13. (2)作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示， 其中S0=12,OA=0B=5,0K=h(0<h<12).设圆柱底面半径为r, 则写=，即75，设圆挂的箱发面面积为s, 12 2:h=53 (12k-)=名[-(h-6)2+36](0<A<12). .当h=6时，S有最大值为30. 第3关（练思维宽度） 21.D解析：设正方体的棱长等于a,:AB1的中点到旋转轴的距离 等于，面4，品同点到旋转轴的距离等于。的中点 旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面 圆较大由此可得A,C项不符合题意，舍去.又·在所得旋转体的 侧面上有无数条直线，且直线的方向与旋转轴不共面，B项不 符合题意，只有D项符合题意故选D. 22.解：()轴截面SMB的面积为了×2x4x50=4,所以S0=1,所以圆 锥S0的母线长l=√2+4平=√17. (2)在轴截面SAB中，S0=1,SA=√17，cos∠ASB= (17)2+(17)2-8 1· 2×w√17×√/17 <0,∠ASB>90°，△S8C的面积S= m∠68=号血L6S,当∠68=号叶，截面8C的面职有最 大值，最大值为子 第3课时 直观图的斜二测画法 第1关（练速度） 1.A解析：如图①，四边形OABC为正方形， 个y 0 ① ⑨ 由斜二测画法可得其直观图如图②！ 对于A,因为OA=0C,而0'A'≠0'C',故相等的线段在直观图中仍 然相等这种说法错误，A错误； 对于B,因为∠OAB=∠ABC,而∠O'A'B'≠∠A'B'C',故相等的角 在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确： 对于C,由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行， C正确； 对于D,因为OA⊥AB,而O'A',A'B'不垂直，所以互相垂直的线段 在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确， 故选A. 必修第二册·SJ 2.A解析：直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的 线段长度，故梯形的直观图仍是梯形.故选A. 3.C解析：如图所示是斜二测直观图正△A'BC还原为平面图形， 故△ABC是钝角三角形.故选C. Ay' 0 /B'C OB C 4.D解析：△ABC的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别 是6和8，斜边AB的长度为10，边AB上的中线的实际长度为5.故 选D. 5.C解析：用斜二测画法画直观图时，平行或与x轴重合的线段长 度不变，则CD,PQ长度不变，平行或与y轴重合的线段长度减半， 则OA减掉一半，线段PB,PC,QE,QD对应线段也会缩小，如图所 示，所以P,C,D,Q的对应点P',C',D',Q'画对了，A,B,E的对应 点A',B',E'画错了.故选C. B' A' D P'■O☑O>E' O'(A') C'D' M N B (第5题) (第6题) 6.BC解析：由题意可画出其直观图如图. 其中A'B∥CD',AB'=AB=4,CD=CD=2,AD'=2AD=2, 故A错误，B正确：过点D',C分别作D'M⊥A'B',CN⊥A'B',垂足 分别为M,N,故A'M=D'M=C'N=A'D'sin45°=1，NB=A'B'- CD'-A'M=1,故B'C'=√2，则四边形A'B'C'D'为等腰梯形，故C正 确：四边形A'B'CD'的周长为4+2+2√2=6+2√2，即D错误.故 选BC. 7.14解析：根据题意，平行四边形O'A'B'C是四 C 边形OABC的直观图.若O'A'=3,O'C'=2,则原 四边形OABC为矩形，如图，其中OA=3,OC=4, 故原四边形0ABC的周长1=2(0A+0C)=14.故 答案为14. 8.25解析：四边形ABCD的直观图是一个边O A x 长为1的正方形，∴原图形为平行四边形，一组对边长为1，且该边 上的高为22，∴.原图形的面积为22.故答案为22. 第2关（练准确率） 9.C解析：依题意，A'D'∥y轴，B'C∥x轴，D'是B'C'的中点，由斜 二测画法规则知，在原图形中应有AD⊥BC,且AD为BC边上的中 线，因此△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，所以AB,AC相 等且最长，AD最短.故选C. 10.A解析：平行于z轴（或在x轴上）的线段，在直规图中的方向和 长度都与原来保持一致，所以圆柱的高应画成平行于z轴且大小 为10cm.故选A. 11.ACD解析：在直观图△A'BC中，A'B'=2,A'C'=B'C=√5，取 A'B的中点D',连接CD',如图①， 4 B'y C' ① ② 则C'D'⊥A'B',而∠B0'C=45°，于是0'D'=CD'= √(5)2-12=2，则0''=1,0'C'=√22+22=22，B'0'=3,由 斜二测画法规则作出△ABC,如图②，则OC=O'C'=22,OA= 20'A'=2,0B=20'B'=6,AB=4,AC=√22+(2)=25，BC= V6+2:2Vm,5c=20c·8=45,显然4c< BC,A,C,D正确，B错误故选ACD. 学霸052 12.D解析：依题意可得AC=BC=OD= 2,0A=0C=1,AC⊥BC,由平面图形 可得如图直观图，则BC∥0y', BC=BC=1AC=AC=2.0'D- 0 2OD=L1,所以四边形ABCD的直观 图的面积S5arct5awe=了X灯x2x经 221x2x =2 故选D. 13.8√2解析：先证：若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其 直观图的面积是原来三角形面积的浮倍证明如下：以三角形的 一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底 长度不变，高所在的直线为y轴，长度减半，故三角形的高变为原 72sin45°=V② 来的 ,故直观图中三角形面积是原三角形面积的 .也就是说原三角形面积是直观图中三角形面积的2万倍，根 4 据题意，设原图△ABC的边AB上的高为h,设AB=x,直观图 中，AB=AB=,由于BC1轴，则△'BC的面积S=子× A'BxB"C=2x,故原图的面积S=】 ABxh 2h, 又由于S=2万S”=42x,则h=42,解得A=82,即△ABC 的边AB上的高为8√2.故答案为85. 14.解：①过点C作CE⊥x轴，垂足为E,如图①所示，画出对应的x' 轴、y'轴，使∠x'0'y'=45°，如图②所示. ②如图②所示，在x轴上取点B',E,使得O'B'=OB,O'E=OE: 在y第上取-点D,使得00=0D,过点E作EC/y轴，使 B'c'= 2 Bc ③连接B'C',CD',并擦去x'轴与y轴及其他一些辅助线，如图③ 所示，四边形OBCD'就是所求的直观图. D D' >C C OB E O'B'E' x'O' ① ② ③ 15.解：(1)如图①，过点C作y轴的平行线交x轴于点D',则CD'= CB'=4.如图②，画直角坐标系x0y,在x轴上取OB=0'B'=4,取 OD=O'D',过点D作y轴的平行线，并截取DC=2CD'=8,连接 OC,BC,得原△OBC. D'0' B' D10 B ② (2)Sac=2·0BDC= ·O'B' 2 ×4×8=16,S△08c=2 S△0Bc16 =22 第3关（练思维宽度） 16.解：①画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，使∠x0y=45°， ∠x0z=90°； 参考答案 ②画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点，使AB=3cm,且OA= OB,画适当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱的下底面： ③画圆柱的上底面，在Oz上截取00'=4cm,过点0'作平行于 x轴的x'轴，作平行于y轴的y'轴，类似圆柱下底面的画法画出圆 柱的上底面； ④画圆锥的顶点.在z轴上截取点P,使PO'=3cm; ⑤成图.连接A'A,BB,PA',PB',整理（去掉辅助线，将被遮挡部分 改成虚线)得到此几何体的直观图，如图②所示 24 0 ① ② 13.2 基本图形位置关系 第1课时平面的基本性质 第1关（练速度）》 1.B解析：因为直线和平面都是由点形成的，所以根据元素与集合 的关系知，点A在平面内表示为A∈a,点A不在直线l上表示 为A1,根据集合与集合的关系知，直线1在平面内可表示为 lCa.B正确，故选B. 2.BCD解析：对于A,不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于 B,若点A∈a,A∈B且x∩B=a,则由基本事实2知A∈a,故B正 确；对于C,两条相交直线可以确定一个平面，故C正确：对于D,若 点P∈l,N∈l,且P∈a,N∈a,则由基本事实2知lCa,D正确.故 选BCD. 3.C解析：若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三 点不共线，则这两个平面重合.故选C 4.ACD解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都 可以确定一个平面，故选ACD. 5.D解析：三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交 线，如图所示.故选D. 6.D解析：根据题意，两点确定一条直线，由于直线上有两个点在平 面外，则直线在平面外，只能是直线与平面有一个交点，或者直线 与平面没有交点，那么可知直线上至多有一个点在平面内.故选D. 7.D解析：在A中，当圆心与圆上两点 共线，即圆上两点在同一条直径上时， ·D 三点不能确定一个平面，所以A不正 E 确：在B中，如图，两个相交平面有三个 公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，但点A,B C,D,E不共面，B不正确：选项C显然不正确：在D中，过直线与直 线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面a 内，即三条直线共面，D正确.故选D. 8.不共线的三点解析：自行车两个车轮与地面的切点，以及撑脚与 地面的交点，组成不共线的三点，不共线的三点确定一个平面 9.②③解析：在四棱台ABCD-AB1C,D1中，侧棱A1A,B1B,C1C, D1D的延长线交于一点，令此点为M, A.4 学霸053第3课时 直观 第1关练速度 10min为准，你的时间： 1.用斜二测画法画直观图时，下列结论中错误 的是 () A.相等的线段在直观图中仍然相等 B.相等的角在直观图中不一定相等 C.平行的线段在直观图中仍然平行 D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 2.(2024·重庆巴蜀中学高一期中)梯形的直观 图是 A.梯形 B.矩形 C.三角形 D.任意四边形 3.(2024·江苏苏州高一月考)水平放置的 △ABC,有一边在水平线上，它的斜二测直观 图是正△A'B'C',则△ABC是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 4.（2024·广东茂名高一期 B 中)已知水平放置的△ABC 的直观图如图所示，A'C'=c A文 6,B'C=4,则边AB上的中线的实际长度为 （) A.4 B.√/19C.26 D.5 5.（2024·安徽芜湖高一期中)如图，已知图② 为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐 标系中正五边形ABCDE(如图①)的直观图 即五边形A'BC'D'E',且保持坐标轴上的单 位长度不变，其中各点的作法可能正确的为 0' C D ① ② 必修第二册·SJ 图的斜二测画法 A.A',B′，P B.B',P,C' C.P',C',D D.D',E',A' 6.（多选)(2024·河南驻马店高一期末)如图所 示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥ CD,AB=2CD=4,AD⊥AB,AD=2√2，用斜二 测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D',其中 ∠x'A'y=45°，则下列说法正确的是（) A.A'D'=22 B.A'B'=4 C.四边形A'B'CD'为等腰梯形 D.四边形A'B'CD'的周长为6+4√2 D C O4) B A'x (第6题) (第7题) 7.(2024·河北保定高一月考)如图，平行四边 形O'A'B'C'是四边形OABC的直观图.若 O'A'=3,0'C'=2,则原四边形OABC的周 长为 8.(2024·广东中山高一月考)如图，已知由斜 二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的 直观图是一个边长为1的正方形，则原图形 的面积为 D B B' /' (第8题) (第9题) 第2关练准确率 6题为准，你做对 题 9.(2024·江苏南京高一期中)如图是水平放置 的△ABC的直观图，D'是△A'B'C'中B'C'边 的中点，∠A'D'C'=45°，A'B′，A'D',A'C三条 学霸084 线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,那么 ( A.最短的是AC B.最短的是AB C.最短的是AD D.无法确定谁最短 10.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在xOy 平面上，则圆柱的高应画成 A.平行于z轴且大小为10cm B.平行于z轴且大小为5cm C.与z轴成45°且大小为10cm D.与z轴成45且大小为5cm 11.(多选)(2024·浙江杭州外国语学校高一期 中)如图，△A'B'C'为水平放置的△ABC的 直观图，其中A'B'=2,A'C=B'C'=√5，则在 原平面图形△ABC中有 () B Cx' A.AC<BC B.AB=2 C.AC=23 D.SAABG=42 12.(2024·河南郑州高一期末)如图，在直角坐 标系中，点A(1,0),B(-1,2),C(-1,0), D(0,-2),则四边形ABCD的直观图的面 积为 () A.4√2B.3√2 C.2√2 D.√2 B (第12题)》 (第13题) 13.（2024·湖北华师一附中高一期中)如图，已 知△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测 画法画出的直观图，A'B′在x轴上，BC与 x轴垂直，且B'C'=4,则△ABC的边AB上 的高为 第13章 14.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示) 的直观图. 15.如图，△0'B'C'是水平放置的△0BC的斜二 测画法的直观图，其中O'B'=B'C'=4, ∠0'B'C'=45° (1)试画出原△OBC; (2)求△OBC与△O'B'C的面积比. B' 第3关练思维宽度难度级别：女☆女女女 16.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是 一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面 重合，圆柱的底面直径为3cm,高（两底面圆 心连线的长度)为4cm,圆锥的高（顶，点与 底面圆心连线的长度)为3cm,画出此几何 体的直观图 频讲解 学霸085