13.1 第1课时 棱柱、棱锥和棱台-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第13章 立体几何初步 13.1 基本立体图形 第1课时棱柱、棱锥和棱台 第1关练速度 10min为准，你的时间： 梯形的六面体是棱台 D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 1.（多选)(2024·湖南株洲高一期中)下列几何 5.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 体中，是棱柱的有 （) B 2.下面图形中，是棱锥的有 A.AB1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.AB1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3, A1C1=2,AC=3 ③ C.AB1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3, A.①③ B.①③④ A1C1=2,AC=4 C.①②④ D.①② D.AB=A B,BC=B C1,CA=CA 3.下列命题正确的是 6.(2024·江苏无锡高一月考)如图，长方 A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几 体ABCD-A'B'CD'中被截去一部分，其中 何体是棱柱 FG∥EH∥A'D',剩下的几何体是() B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的 D' 几何体是棱锥 C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行的 几何体是棱柱 A.五棱柱 B.四棱台 D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的 C.四棱柱 D.五棱锥 部分组成的几何体是棱台 7.下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是 4.（多选)下列说法正确的是 () 棱锥的为 A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四 棱锥 B.棱台的各侧棱延长线必交于一点 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰 必修第二册·SJ学霸078 8.一个棱台至少有 个面，面数最少的 该四面体不可能 棱台有 个顶点，有 条棱 A.每个面都是等边三角形 9.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为 B.每个面都是直角三角形 60cm,则每条侧棱长为 cm C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是 10.(2024·天津武清区高一月考)如果一个多 直角三角形 面体的所有面都是全等的正三角形或正多 D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直 边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这 角三角形 个多面体就叫作正多面体.下列几何体中， 15.（2024·四川南充高一月考)把正方体的表 所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图）， 是正多面体.（写出所有正确的 请根据各面上的图案判断这个正方体是 序号) ① ④ 11.（2024·广东广州高一期中)棱锥的高为 16,底面积为512，平行于底面的截面面积为 A B D 50,则截得的棱台的高为 16.(2024·河南濮阳高一期中)两个三棱锥、一 第2关练准确率 8题为准，你做对题 个四棱锥拼在一起不可能拼成的是() 12.(2024·安徽准南高一月考)如图所示，在三 A.一个三棱锥 B.一个四棱锥 棱台ABC-A,B,C,中，沿平面A,C,B截去三 C.一个三棱柱 D.一个四棱柱 棱锥B,-A,C,B,则剩余的部分是( 17.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边 后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形 成的几何体是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 13.（多选)一个多面体的所有棱长都相等，那么 (第17题) (第18题) 这个多面体一定不可能是 ) 18.(2024·河南三门峡高一期中)如图，已知侧 A.三棱锥 B.四棱台 面为矩形的三棱柱的底面正三角形的边长 C.六棱锥 D.六面体 为2cm,高为5cm,一质点自A点出发，沿着 14.（2024·江苏南通高三期末)从正方体的八 三棱柱的侧面绕行两周到达A,点的最短路 个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则 线的长为 cm. 第13章学霸079 19.在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆☆☆☆ 点，现在沿DE,DF及EF把△ADE,△CDF 21.(多选)(2024·江苏无锡高一期中)在正方 和△BEF折起，使A,B,C三点重合，重合后 体ABCD-AB1C1D1中，E,F是A1D1,C1D1 的点记为P. 上的点，A,E=ED1,C1F=2FD1,过E,F的平 (1)依据题意制作这个几何体 面将正方体ABCD-AB,C,D1截成两部分， (2)这个几何体有几个面，每个面的三角形 则所得几何体可能是 是什么形状的三角形？ A.三棱锥 B.三棱柱 (3)若正方形的边长为2a,则每个面的三角 C.三棱台 D.四棱柱 开解 形的面积为多少？ 22.（2024·福建福州外国语学校高一期中)北 京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯 曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研 究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规 定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在 该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫 作多面体的面角，角度用孤度制)，多面体面 上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等 于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四 面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 20.给出两块正三角形纸片（如图所示），要求将 写，所以正四面体在各顶点的曲率为2-3× 其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三 棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角 3m,故其总曲率为4m 形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分 (1)求四棱锥的总曲率； 别用虚线标示在图中，并作简要说明 (2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2， 求证：这类多面体的总曲率是常数， 必修第二册·SJ学霸080号；-层(T (2)z2是实系数一元二次方程x2+mx+4-3m=0的根，则五也是该 方程的根，于是z2+22=-m,则实数m=-(z2+22)=-（1+3i+1 3i)=-2,所以实数m的值为-2. 17.解：(1)设=m+ni(m>0,n<0),由z+2=a,得m+i+ 2 =a, m+ni 即m+ni+ 2(m-ni) a,整理得mt2m+ = m+ni)(m-ni) （m2+n2/ nm2+n*n-2n） a因为a=2,即m+2mt m2+n2i=2,所以 2m 2+n2-2, m+- 解得m=1,所以z=1-i 2n 2m2+n0, (n=-1, 2n (2)由(1)结合a∈R,可得n- =0,所以m2+n2=2,所以 m2+n2 1zl=m2+n2=√2 18.解：(1D因为复数=(B+）+nB在复平面内对应的点 在度轴的正半轴上，则cB+言-0，解得cm月=音mB= 5 5 (sin B>0, 18号 又因为复数=os(a+B)+i[血(a+B)-号]<0，则 cos(a+B)<0, 儿sin(a+8)_3=0解得sin（a+B）= 5,cos(a+B）= -/-sin2(atp)=-5 4 13,sin B=12 5 (2)由(1)可知cosB=- ,in(a+8)= 3 ,cos(a+ 4 B)=-,cs(a+2B)=cos [(a+B)+B]=cos(a+B)cos B- 第13章 寸 13.1基本立体图形 第1课时棱柱、棱锥和棱台 第1关（练速度） 1.AC解析：根据立体图形的相关概念，可以判定A,C为棱柱，B为 棱台，D为棱锥故选AC 2.C解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥， ③不是棱锥.故选C 3.C解析：对于A,有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不 一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；对于B,有一个面 是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故 B错误：对于C,根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四 边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱 柱，故C正确；对于D,用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与 截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误故选C. 4.ABD解析：对于A,由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边 数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是 四棱锥，故A正确：对于B,根据棱台的定义可得，棱台的各侧棱延 长线必交于一点，故B正确；对于C,有两个面互相平行，其余四个 面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，只有当四个等腰梯形的 腰延长后交于一点时，这个六面体才是棱台，故C不正确；对于D, 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确.故选ABD. 参考答案 sin(iinin=sin( 33 cos(a+B)sin B= 65 19.解：(1)由题意，得x+ 1±√/1-4 -=1,整理得x2-x+1=0,龙= 2 1±W3i 2 (2)①当n=2时f)=2+设x=a+bi(a,beR),因为1x1=1, 所以a2+b2=1x)=2+ t2=(a+bi)2+、1 (a+6i2=(a2-b2)+2abit (a2-62)-2abi (a)*2b)+2abi+I(-)+2abi]I()-2nbi] 2+游-c+2 (a2+b2)2 (a2-b2)+2abi+(a2-b2)-2abi=2(a2-b2)=2(2a2-1)≥-2，当且 仅当a=0时，取等号，所以f代x)的最小值为-2. ②设x=a+h(a,beRa≠0，b≠0)，则x)=2+子=(a+6)2+ (a+6i)2=(a2-b62)+2ahi+ (a2-62)+2abi =(a2-62)+2abi+ [a-r)*2a[(a-9）-2an(a2-6)+2ai+a3）-2ai (a2-62)-2abi (a2-b2)2+4a2621 (a2-2)t2ai（a2-2)-2ai-(（d-b2)ta2- 2abi (a2+b2)2 a262)2+2hi (a2+62)2 a2-b2 2op 因为存在实数M,使得f(x)≥M成立，所以f(x)为实数，所以 2ab a2+62)2=0 2ab-- 因为a≠0，b≠0，所以a2+b2=1,当a2+b2=1时，f(x)=2(a2- b2)=2(2a2-1)>-2(a≠0)，符合题意，此时x=a+bi(a,beR,a≠ 0,b≠0)，则1x1=√a2+b=1,所以1x的取值范围为1}. 体几何初步 5.C解析：选项A中Ag≠BC,故A不符合题意：选项B中 C仁故不的合显：透项C中侣-4仁故C 符合题意：选项D中满足这些条件的可能是一个三棱柱，不可能是 三棱台.故选C. 6.A解析：剩余的几何体中，平面ABFEA'与平面DCCHD'平行，其余 面都是平行四边形，并且相邻平行四边形的公共边平行，所以是 一个棱柱，又因为侧棱垂直于底面，底面是五边形，所以剩下的几 何体是五棱柱故选A 7.B解析：对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A 选项不正确；对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥， 故B选项正确；对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱 台，故C选项不正确：对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个 四棱柱，故D选项不正确.故选B. 8569解析：面最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点， 9条棱. 9.12解析：有10个顶点的棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱 长都相等，所以每条侧棱长为60÷5=12(cm). 10.①②④解析：对于①，该多面体由全等的正三角形组成，且每个 顶点聚集的棱有3条，符合题意；对于②，该多面体由全等的正四 边形组成，且每个顶点聚集的棱有3条，符合题意；对于③，该多 面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有4条也有3条， 学霸049 不符合题意：对于④，该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶 点聚集的棱有3条，符合题意.故答案为①②④， 11.11解析：设棱台的高为x,则有 16-x1250 16/ 2解得=1.故答 案为11. 第2关（练准确率） 12.B解析：截去三棱锥B1-A1C1B,则剩余的部分B-ACC1A1是四 棱锥.故选B. 13.BC解析：一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时， 满足题意，所以选项A可能：棱台的上底面与下底面的边长不相 等，所以不满足题意，所以选项B不可能：如果六棱锥P-ABCDEF 的棱长都相等，则六棱锥的六个侧面都是正三角形，即∠APB= ∠BPC=∠CPD=∠DPE=∠EPF=∠FPA=60°，所以它们的和为 360°，则六棱锥的所有顶点共面，显然不成立，则六棱锥的底面边 长与棱长不可能相等，所以C不可能：六面体是正方体时，满足题 意，所以D有可能.故选BC. 14.D解析：如图，D-BA1C1每个面都是等边三 角形，A错误；A-DD1C1每个面都是直角三 角形，B错误；D-ABC1三个面是直角三角形 一个面是等边三角形，C错误，D正确.故 选D. 15.C解析：结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应 该在几何体的上下，符合要求的只有C和D,再根据三角形的位 置，即可得出答案故选C 16.D解析：对于A,如图①，在三棱锥A-BCD中，分别取BC,BD的 中点E,F,再取EF的中点M,连接AE,AF,BM,AM,则三棱锥A- BCD可拆割成三棱锥A-BEM,A-BFM和四棱锥A-CDFE,故 选项A可能拼成； ① 对于B,如图②，在四棱锥P-ABCD中，取BC,AD的中点E,F,连 接PE,PF,EF,BF,则四棱锥P-ABCD可拆割成三棱锥P-ABF, P-BEF和四棱锥P-CDFE,故选项B可能拼成； 对于C,如图③，在三棱柱ABC-A1B1C1中，取B1C1的中点E,连 接A,E,BE,A1B,BC1,则三棱柱ABC-A1B,C,可拆割为三棱锥 B1-A1BE,C1-A1BE和四棱锥B-ACC1A1,故选项C可能拼成； 对于D,一个四棱柱割去一个四棱锥后的几何体不可能由两个三 棱锥拼成，故选项D不可能拼成故选D. 17.棱柱解析：如图，将装有水的长方体水槽固定底面CD一边后倾 斜一个小角度，由长方体的前后两个面平行，所以有水的部分始 终有两个面平行，其余各面为平行四边形.据图可判断：倾斜后水 槽中的水形成的几何体为棱柱.故答案为棱柱 18.13解析：将三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧 面展开图如图所示。 必修第二册·SJ 在展开图中，最短距离是六个矩形构成的大矩形对角线的长度， 也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长 为6×2=12(cm),宽为5cm,由勾股定理，d=√122+52=13(cm), 故答案为13. 重难点拨 立体几何中最短路径问题的常用解题方法：将几何体展开，在展开 图上根据两点之间线段最短求出最短路径， 19.解：(1)如图所示 P(A.B.C) (2)这个几何体由四个面构成，即面DEF,面 DFP,面DEP,面EFP.由平面几何知识可知 DE=DF,PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠DPF= 90°，.△DEF为等腰三角形，△DFP,△DEP 都为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形 (3)若正方形的边长为2a,则S△Pps= 1 1 SoPr-2 x2axa-a,SoPEr-2 Xaxa- .EF-Fo.DE-i5o. ∴△DEF底边EF上的高h=/DE2-（ 2 20.解：如图①所示.沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面 为正三角形的三棱锥 ① ② 如图②所示.在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较 长的一组邻边边长为原正三角形边长的子，有一组对角为直角。 余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三 棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形 的棱柱的上底 第3关（练思维宽度） 21.ABC解析：如图①，连接DE,DF,则平面DEF可截得三棱锥D D1EF,故A正确： D D D ③ 如图②，过点E作EG∥DD1,过点F作FH∥DD1,则过E,F的平 面EFHG可截得三棱柱D,EF-DGH,故B正确； 如图③，延长D1D至点P,连接PE,PF,分别与AD,CD交于M,N 两点，连接MW,则可得平面EFNM截得三棱台DMN-D1EF,故 C正确； EF将四边形A1B,C1D1分成一个三角形和一个五边形，所以不可 能得到四棱柱，故D错误.故选ABC. 22.(1)解：由题可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥 各顶点的曲率之和可以从整个多面体的角度 考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有 多边形表面的内角的集合.由图可知，四棱锥共 有5个顶点，5个面，其中4个侧面为三角形， 学霸050 1个底面为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形， 1个为四边形组成，则其总曲率为2π×5-(4π+2π)=4π (2)证明：设顶点数、棱数、面数分别为n,l,m,所以有n-l+m=2, 设第i个面的棱数为：，所以x1+x2+…+xm=2弘，所以总曲率为 2mn-π[(x1-2)+(x2-2)+…+(xm-2)]=2mn-π(2l-2m)= 2π(n-l+m)=4π，所以这类多面体的总曲率是常数. 第2课时圆柱、圆锥、圆台和球 第1关（练速度） 1.ABD解析：对于A,圆柱沿母线剪开得到的侧面展开图是矩形，所 以A正确：对于B,球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直 线旋转180°所形成的曲面，所以B正确；对于C,直角梯形绕它的 直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C错 误：对于D,圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以 D正确故选ABD. 2.BD解析：由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B,D正 确，A,C错误故选BD. 3.B解析：由题意，知所得几何体是组合体，上、下各一个圆锥，故 B正确. 4.B解析：半圆及其内部绕旋转轴旋转一周后所得几何体为球，而 矩形及其内部绕一边旋转一周后所得几何体为圆柱，故题设中的 平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去 一个圆柱，故选B. 5.ACD解析：圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截 面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三 角形，正方体的截面可能是三角形，如图所示.故 选ACD. 6.D解析：设圆锥的母线长为1，底面半径为，则 ·l=2πr,解得 1=3r,所以在圆锥的轴截面△SAB中，SA=SB=3r,AB=2r,由余弦 定理得c0sL4ASB=S42+SB2-AB2_(3)2+(3)2-(2)2 2SA·SB 2×3r×3r 9,所 71742 以i咖LASB=1-eo2ZAS8=√1-（g)=)故选D. 7.D解析：结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢， 然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A,B, C错误.故选D. 8.4v元解析：设圆柱的母线长为a(a>0),则圆柱的底面直径为 ，所以该圆柱侧面展开图的周长为2上+）≥4元，当且仅 a a 当】m=a即a=√示时等号成立.故答案为4√斤. a 9.4解析：如图所示，ABCD为圆台的轴截面，O1,O2分别为上、下底 面圆心，则BO1=2,CO2=5,BC=5,过点B作BE⊥CD于点E,则 O,E=O,B=2,CE=5-2=3,在Rt△BCE中，由勾股定理得BE= √BC2-CE2=4,故圆台的高为4.故答案为4 (第9题) (第12题) 10.2解析：圆锥的底面半径为1，.侧面展开图的弧长为2π. 又侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线 长为2，故答案为2 11.πR2解析：依题意可知，过球面上任意两点的截面圆中，过球心 的截面圆面积最大，因此最大面积为πR2.故答案为πR2 第2关（练准确率） 12.B解析：将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所 示，矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角 边旋转一周得到圆锥，因此将该等腰梯形绕它较长的底边所在的 参考答案 直线旋转一周，所得几何体为一个圆柱、两个圆锥.故选B. 13.B解析：根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，而 圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个 选项，A项，旋转后是圆台；C项，旋转后是圆台；D项，旋转后是球 体中挖去一个小球故选B. 14.B解析：如图，圆台上、下底面半径分别为r1=H 1,r2=2,设母线长为1，高为h,则球0的直径 为h,因为BC与半圆O相切于点P,则BP=T1= 1,CP=r2=2,所以l=BP+CP=3,①正确；过点B 作BM⊥CD于点M,则BM=h,CM=r2-r1=1,所 以h=√P-CM证=√32-1严=22，即球0的半 .Q1 径为万，②正确；因为B∥CD,易得A=级 HD CD 子，则D=2A=2AD=2h=45,③惜误： D MN 过点P作PQ⊥BM于点Q,延长PQ与AD交于 点O1,则点P的轨迹是以点O1为圆心，O1P为半径的圆.作PW1 CD于点N,得△BOPn△PC,则S=S,即=N PC NC' 2-0,P,得0，P=4 01P-1 所以点P的轨迹长度是2×子-④错 误，故选B. 15.B解析：如图所示： A<---- 设该飞机形成的马赫锥在距离顶点30m处的截面圆圆心为 0,AB为马赫锥的母线，由题意sin∠BA0=sin2=)=2c=2, 而∠BA0是锐角，所以∠BA0=30°.又A0=30m,所以B0=A0· tan30°=105(m),该飞机形成的马赫锥在距离顶点30m处的 截面圆面积为π×(10√3)2=300π(m2).故选B. 16.ACD解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得C;当截面过正 方体的体对角线时可得D:当截面既不过体对角线又不与任一侧 面平行时，可得A;但无论如何都不能截得B.故选ACD, 17.5√35解析：依题意，圆台上底面圆周长为牙·0A=10m(cm), 3 则圆台上底面半径=5cm,圆台下底面圆周长为号·0B=20 (cm),则圆台下底面半径r2=10cm,圆台轴截面是等腰梯形，上 下底边长分别为10cm,20cm,腰长为30cm,所以圆台的高，即等 梯形的高为√302-(10-5)产=5√35(cm).故答案为5V35. 18.144 解析：由题意，底面半径为3km,山 7 km 高为3√/15km,则母线SM= 12 km √32+(3√5)2=12(km),底面圆周长 2πr=6πkm,所以展开图的圆心角a= 日子，如图，是圆维侧面晨开图，结合 题意，AB=√(12-7)2+122=13(km),由点S向AB引垂线，垂足 为H,此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值，即点H为 公路的最高点，HB段即为下坡路段，则SB2=BH·AB,即25= 13·B服，得BH=2空km,上坡路段长度为AM=AB-B=13-25 3s 台如.放答案为台 19.解：将圆台还原为圆锥，如图所示.02,01,0分别是圆台上底面、 截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令V02=h,O2O1=h1, 学霸051