第8章 专题探究06 条件概率与排列组合的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

专题探究06条件概率 学 1.(2024·福建厦门高二期中)现从3名男同学 和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小 组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件 下，抽到两名女同学的概率为 A B 1 0.2 2.(2024·安徽准北高二期末)有4名女生和 2名男生参加学校组织的演讲比赛，现场抽签 决定比赛顺序，已知男生甲比男生乙先出场， 则两位男生相邻的概率是 B c. 0. 3.(2024·湖南邵阳高二期中)某教师准备对 天的五节课进行课程安排，要求语文、数学 外语、物理、化学每科分别要排一节课，在数 学不排第一节，物理不排最后一节的情况下， 化学排第四节的概率是 、3 7 20 B.9 ·13 78 4.（2024·重庆一中高二月考)衣柜里有灰色、 白色、黑色、蓝色四双不同颜色的袜子，从中 随机选4只，已知取出的两只是同一双，则取 出的另外两只不是同一双的概率为( A号 B.5 C.is 8 0.g 5.(2024·江苏徐州高二期末)从数字1,2,3,4 中随机取一个数字，记为n,再从数字1,2， …,n中随机取一个数字，则第二次取到的数 字为2的概率是 ( .、2 ·48 16 ·48 6.(2024·山东济宁高二期中)我国古代数学家 赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” 后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜 选择性必修第二册·SJ 与排列组合的综合应用 色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域 只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事 件A:“区域2和区域4颜色不同”，事件B: “所有区域颜色均不相同”，则P(BA)= () A D.4 3 C.2 7.（2024·重庆高三期末统考)一个袋子中有 5个大小相同的球，其中有编号为1,2的黑球 和编号为1,2,3的白球，从中随机取出两个 球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号 之和为奇数的概率为 8.（2024·浙江金华高二月考)从集合U= {1,2,3,4}的非空子集中随机取出两个不同 的集合A,B,则在AUB=U的条件下，A∩B 恰有1个元素的概率为 9.(2023·江苏南京中华中学高二期中)某学校 高二(1)班有五名学生报名参加社团活动，社 团活动共有“记者在线”“机器人行动”“音乐 之声”三个项目，每人都要报名且限报其中 一项 (1)求“每个项目都有人报名”的报名情况 种数； (2)已知其中一个项目恰只有三名学生报名， 求只有甲同学一人报“记者在线”的概率. 学霸084 10.（2024·广东肇庆高二期末)小华同学设置 手机密码的六位数字时，准备将π（π= 3.14159…)的前6位数字(1,1,3,4,5,9) 按照一定的顺序进行设置. (1)记事件A:相同的数字相邻，求事件A发 生的概率P(A); (2)记事件B:相同的数字不相邻，求事件B 发生的概率P(B); (3)记事件C:相同数字不相邻，且相同数字 之间只有一个数字，求在事件B发生的 条件下，事件C发生的概率P(C1B). 第8章学 1.（2024·江苏南通高二期中)现有外表相同， 编号依次为1,2,3，…，n(n≥3)的袋子，里 面均装有个除颜色外其他无区别的小球， 第k(k=1,2,3,…,n)个袋中有k个红球， (n-k)个白球随机选择其中一个袋子，并从 中依次不放回地取出三个球. (1)当n=4时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三 次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰 好选的是3号袋子的概率， (2)记第三次取到白球的概率为p,证明： 1 p<2 霸085件合格的概率为子合格零件不少于2件的对立事件是台格零件 件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为c×(兮)广+ 1 .依题意，Cg× 2 -X ≤0.2，即(2n+1)· 1 3 ≤0.2.令f(n)=(2n+1)· (兮)广aeN).则有-好1，即)单调遥波面 f(n) 3=73024= 1 <0.2,因此不等式(2n+1)· 0.2的解集为{nln≥4，n∈N·},所以n的最小值为4.故答案为4. 2.解：(1)张题意X-N(50,25),又=25，所以Y-N(50,25). 490=500-2×5,且P(490<Y≤510)≈0.9544，所以P(Y≤490)= 1-0.9544=0.0228. 2 (2)由(1)可得P(Y≤490)=0.0228，又小明计算25份披萨质量 的平均值为488.72g,488.72<490,而0.0228<0.05，所以25份披 萨质量的平均值为488.72g为小概率事件，小概率事件基本不会 发生，所以小明认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的 理由 专题探究06条件概率与排列组合的综合应用 1.A解析：设事件A表示“抽到两名同学性别相同”，事件B表示 “抽到两名女同学”，则P(A)= 3+C3_ c1,故 C =号，P(MB)=cξi0' 1 P(B1A)=22==故选A. P(A) 2 5 2B解折：设男生甲比男生乙先出场为事件A,则a(A)=宁A5= 360,设两位男生相邻为事件B,则男生甲比男生乙先出场且两位 男生相邻为事件AB,n(AB)=A?=120,故在已知男生甲比男生乙 先出场的条件下，两位男生相邻的概率是P(B1A)=n(AB)120 n(A)360 号放选R 3.B解析：事件A:数学不排第一节，物理不排最后一节.若物理排在 第一节，其他4节课安排4科，作全排列有A4种；若物理不在第一 节，中间3节课任选一节排物理，余下的4节课去掉第1节课的 3节课中任选一节排数学，最后剩下的3节课安排3科，作全排列 有A种综上，事件A的安排有(A4+CCA)种；事件B:化学排 第四节.则事件AB:数学不排第一节，物理不排最后一节，且化学排 第四节，若物理安排在第一节，其他3节课安排3科，作全排列有 A?种：若物理不在第一节，中间前2节课任选一节排物理，余下的 1节课和最后一节课任选一节排数学，最后剩下的2节课安排 2科，作全排列有A子种.综上，事件AB的安排有(A3+C2C2A2)种； 参考答案 5科任意排有A?种，所以P(A)= A4+CgCA号78 对 P(AB)= Ag+C2C2A号14 A 店，放满足条件的概率是P(BM P(AB)_了故选B P(4)391 易错提醒 条件概率的计算要注意以下三点： (1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率 (2)明确P(A),P(B1A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的 互化 (3)理解全概率公式P(A)=P(B:)P(AIB:)中化整为零的计算 思想 4.D解析：从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至 少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同 一双”为事件B,事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是 同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则P(A)= CIC3CC+C 27 C ,又P(AB)=9 CIC3CC 24 Cs 5,则P(B1A)= 一P-8,即随机选4只袜子，已知取出的两只是同一双，则取 出的另外两只不是同一双的概率为号故选D 5.B解析：记事件An为“第一次取到数字n”,n=1,2,3,4,事件B 为“第二次取到的数字为2”，由题意知A1,A2,A3,A4是两两互斥 的事件，且A1UA2UA,UA4=2(样本空间)，P(B)=P(BA1U BA,UBA UBA)=P(BA)+P(BA2)+P(BA)+P(BA)= P(A1)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)+P(A). +4×2+4×3+4X4=48 6.C解析：事件A:“区域2和区域4颜色不同”，即从5种颜色选出 两种放人区域2和区域4，再从剩余的3种颜色选出一种放入区域 5,剩余的区域1和区域3分别都有两种选择，即n(A)= AC3C2C2=240(种)，n(AB)=A=120(种)，所以P(B|A)= 得瑞号放法C 1.2 解析：由题意取出的球颜色不同的取法有CC?=6(种)，若球 的编号之和为奇数，当选编号为1的黑球时，可以选编号为2的白 球，当选编号为2的黑球时，可以选编号为1,3的白球，即在取出 的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的取法有1+2= 3(种)，所以在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数 的概半P=名-宁放答案为 16 8. 39 ·解析：由题意若A∩B恰有1个元素，则分以下四种情形进行讨论： 情形一：若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足AU B=U的情况有C1C)=4×2=8(种)，而满足A∩B恰有1个元素的 有C4=4(种)； 情形二：若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足AU B=U的情况有C(1+C2+1)=6×4=24(种)，而满足A∩B恰有 学霸57 1个元素的有CC2=12(种)； 情形三：若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足AU B=U的情况有C(1+C3+C?+1)=4×8=32(种)，而满足A∩B恰 有1个元素的有C4C=4×3=12(种)； 情形四：若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，且注意到集 合A,B不同，此时满足AUB=U的情况有C4(C4+C+C)=1×14= 14(种)，而满足A∩B恰有1个元素的有C4C4=4(种)； 故由条件概率公式可得A门B恰有1个元素的概率为P= 4-9做答案为9 9.解：(1)“每个项目都有人报名”，即5名学生分三组，人数分为3， C 1,1或2,2,1，此时报名情况有CA+ 2A号=150（种）. A (2)记事件A为“其中一个项目恰只有三名学生报名”，事件B为 “只有甲同学一人报‘记者在线'”.事件A的情况有CA+ CC号A9=120(种)，所以P(A)=120, 35； 若A,B同时发生，即其中一个项目恰只有三名学生报名，且只有甲 报“记者在线”则有C=8(种)，所以P(1 8 以P(BA)=P(AB)351 P(A)12015 10.解：(1)依题意，在事件A中，要求两个1需相邻，故只需要将其看 成一个元素与另外四个数字全排列即可，有A=120(种)方法， A号1 由古典概型概率公式可得P(A)= C哈A43 (2)在事件B中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另 外4个数字产生的5个空中进行插空，再对这四个数字进行全排 列即可，有CA4种方法，由古典概型概率公式可得P(B)= CA 2 CA 3 (3)在事件C中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有 一个数字，故只需先在3,4,5,9中选出1个数字放在两个1之 间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排列即可，有 C!A4种方法，由古典概型概率公式可得P(BC)= 器÷ 4 条件概率公式可得，P(C1B)=P(BC).-2 P(B)25 3 11.（1)解：①当n=4时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续 取出三个球（每个取后不放回），第三次取出为白球的情况有红红 白，红白白，白红白，：第三次取出的是白球的概率为2×1× 2.221,2、211 2+432+43×2=2 ②设选出的是第k(k=1,2,3,4)个袋子，连续三次取球的方法数 为A4=4×3×2=24, 选择性必修第二册·SJ 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： (白，白，白)，若k=1,则取法数为A=6=(4-k)(3-k)(2-k), 若k=2或k=3或k=4,取法数为0，也满足关系(4-k)(3 k)(2-k),故取（白，白，白）的取法数可表示为(4-k)(3-k)(2-k), 同理（白，红，白），取法数为k(4-k)(3-k), (红，白，白)，取法数为k(4-k)(3-k), (红，红，白)，取法数为(k-1)(4-k), 从而第三次取出的是白球的取法数为(4-k)(3-k)(2-k)+ k(4-k)(3-k)+k(4-k)(3-)+k(k-1)(4-k)=3×2(4-k), 则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率4】 则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率3=4， 1 而选到第：个袋子的概率为4，放所求概率为p=宫m·子 4 1 含培子=40=-号 所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概 1.1 441 率为 3 6 8 (2)证明：设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为A3= n(n-1)(n-2), 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： (白，白，白)，取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2), (白，红，白)，取法数为k(n-k)(n-k-1), (红，白，白)，取法数为k(n-k)(n-k-1), (红，红，白)，取法数为k(-1)(n-k), 从而第三次取出的是白球的取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)+ k(n-k)(n-k-1)+k(n-k)(n-k-1)+k(k-1)(n-k)=(n-1)(n- 2)(n-k), 则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率4=”一，而选到 n 第6个袋子的概率为，所以p=含：·含”·7京 p.1=-k.1=1 1.n-1111 含(n-)=京高=2n22n2 专题探究07二项分布与超几何 分布的期望与方差 1.A解析：因为E(X)=m=6,D(X)=m(1-p)=5,所以1-p= 6 解得p=石故选A 2.D解析：解法一：可能取0,1,2，其对应的概率为P(专=0)= C 0P5=1)=CgC6 皆-品re-2音高-0 合+2品号 学霸58