第9章 专题探究08 统计与概率的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

专题探究08统计 1.（2024·四川绵阳高三月考)某公司是一家集 无人机特种装备的研发、制造与技术服务的 综合型科技创新企业，获得市场和广大观众 的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无 人运输机性能都比较出色，但操控水平需要 十分娴熟，才能发挥更大的作用.该公司分别 收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不 同的地点测试的某项指标数x,y.(i=1,2,3, 4,5),数据如下表所示： 地点地点地点地点地点 2 3 4 甲型无人运输 4 5 6 8 机指标数x 乙型无人运输 3 4 5 机指标数y (1)试求y与x间的相关系数r,并利用r说 明y与x是否具有较强的线性相关关系； （若1π1>0.75，则线性相关程度很高) (2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的 这2个地点，甲型无人运输机指标数均高 冒 于乙型无人运输机指标数的概率， 附：相关公式及数据：r 含(x0(x,) ,√/0.9≈0.95. 含(x-)2含(-)2 选择性必修第二册·SJ 与概率的综合应用 2.（2024·江苏苏州高二期末)某学校组织100名 学生去高校参加社会实践为了了解学生性别与 颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两 种帽子，它们除颜色外完全相同每位学生根据 个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子 的颜色，得到了如下2×2列联表 红色 蓝色 合计 男 20 25 45 女 40 15 55 合计 60 40 100 (1)是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝 色与性别有关”。 (2)在进入高校某实验室前，需要将帽子临时 存放，为此学校准备了标号为1号到7号 的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， ①求所选的4个箱子的标号数之和为奇 数的概率； ②记所选的箱子中有X对相邻序号（如： 所选箱子的标号为1,2,3,5，则1,2和2， 3为2对相邻序号，所以X=2),求随机变 量X的分布列和数学期望E(X). 附：X2= n (ad-bc)2 ,其中n= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a+b+c+d. P(X2≥x0)） 0.1 0.05 0.01 X0 2.706 3.841 6.635 学霸108 3.（2024·吉林长春高二月考)政府工作报告指 出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮 科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱 动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力. 某手机生产企业积极响应政府号召，大力研 发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批 最新款手机进行合理定价，将该款手机按事 先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 (x,y:)(i=1,2,…,6),如表所示： 单价x/千元 4 6 7 8 销量y/百件 70 65 6259 56 48 (1)若变量x,y具有线性相关关系，求产品销 量y(百件)关于试销单价x(千元)的经 验回归方程y=bx+a; (2)用(1)中求的经验回归方程得到与x: 对应的产品销量的估计值y.当销售数据 (x,y:)对应的残差的绝对值1y:-y:|≤1 时，则将销售数据(x,y:)称为一个“好数 据”.现从6个销售数据中任取2个，求 “好数据”至少有1个的概率 参考数据：x=1910,2=199 参考公式：经验回归方程中)，a的估计值分 别为3多n西 -,a=y-8x 含x-n( 第9章学 (2024·陕西西安高三月考)某医疗科研小组 为研究某市市民患有疾病A与是否具有生活 习惯B的关系，从该市市民中随机抽查了 100人，得到如表数据.（注：用M表示M的对 立事件) 生活习惯B 疾病A 具有 不具有 患病 25 15 未患病 20 40 (1)是否有超过99%的把握认为，该市市民患 有疾病A与是否具有生活习惯B有关？ (2)从该市市民中任选一人，M表示事件“选 到的人不具有生活习惯B”,N表示事件 “选到的人患有疾病A”,试利用该调查数 据，求P(NIM)的估计值 (3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有 生活习惯B,且未患有疾病A的人数为 X,试利用该调查数据，求X的数学期望 的估计值 附：X2= n (ad-be)2 a+b)(c+d)(a+c(6td,其中n= a+b+c+d. P(X2≥x) 0.10 0.050 0.010 0.001 0 2.706 3.841 6.635 10.828 霸109 5.（2024·湖南长沙高三月考)某企业新研发了 一种产品，产品的成本由原料成本及非原料 成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生 产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到 如下数据： x12345678 y1126144.53530.5282524 根据以上数据，绘制了散点图. 120 111 75 66 8 0 21工 0123456789x 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系， 现考虑用反比例函数模型y=a+b和指数函 数模型y=ce“分别对两个变量的关系进行拟 合.已求得用指数函数模型拟合的经验回归方 程为y=96.54e0.2,lny与x的相关系数r1= -0.94参考数据（其中4，=1）： X: py. 183.4 u 0.34 (u)2 0.115 含 1.53 360 新 22385.5 √0.61×6185.5 61.4 e2 0.135 选择性必修第二册·SJ (1)用反比例函数模型求y关于x的经验回 归方程； (2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟 合效果更好（精确到0.01），并用其估计 产量为10千件时每件产品的非原料 成本； (3)该企业采取订单生产模式（根据订单数量 进行生产，即产品全部售出)根据市场调 研数据，若该产品单价定为100元，则签 订9千件订单的概率为0.8，签订10千件 订单的概率为0.2；若单价定为90元，则 签订10千件订单的概率为0.3，签订11千 件订单的概率为0.7.已知每件产品的原 料成本为10元，根据(2)的结果，企业要 想获得更高利润，产品单价应选择100元 还是90元，请说明理由， 参考公式：对于一组数据(u1,v1),（u2,v2), …,(un,vn),其经验回归直线)=a+u的斜 率和截距的最小二乘估计分别为：3= 22必n面 ，a=v-Bu,相关系数r= 含a2-n(2 含4叫-n元 √[t-n(a)2][u-n(o)2] 学霸110向的有100人，没有意向的有500人，高三女生对民航招飞有意 向的有100人，没有意向的有300人，则列联表如下： 对民航招 对民航招 合计 飞有意向 飞没有意向 男生 100 500 600 女生 100 300 400 合计 200 800 1000 原假设为H。:该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无 关，因为x2=1000×20000×20000125 ≈10.417>6.635，即H0 200×800×600×400 12 成立的概率约为0.01，即有99%的把握认为该校高三学生是否有 民航招飞意向与学生性别有关 (2)因为每名报名学生通过前3项流程的概率依次为3，？ 4,3 1 3.2 ，所以每名报名学生通过前3项流程的概率为P。=年×子× 了6，依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为户，： 11 1001 1001 6006,甲地高三女生对招飞有意向的概率为B4004,由 5 全概率公式得所求概率为P=2PP。+2P,P。1 第3关（练思维宽度） 21.46解析：依题意得X2≥6.635， 即100x[a(a-30)-(50-a)(80-a)]2 ≥6.635. 80x20x50x50 (100a-4000)2≥265400，(10a-400)2≥2654， 由于40≤a≤50且aeN', 10a-400≥V2654,a≥V2654+400 45.15. 10 所以ao的最小值为46.故答案为46. 22.解：(1)填写列联表如下： 吸收足量吸收不足量合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 4 7 合计 15 5 20 原假设为H。:“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联根据列联 表中的数据，经计算得到X2-20x(12x4-3x1)2 ≈5.934<6.635， 13×7×15×5 故没有99%的把握认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关 (2)由题意得P(X=1)=P(X=k+11X>k)=0.1.又P(X=k+ 1IX>)PX,故P(X=k+1)=0.1P(Xk).把换成-1， 则P(X=k)=0.1P(X>k-1).两式相减，得P(X=k)-P(X=k+1)= 0.1P(X=k),即P(X=k+1) 0.9(k≥2).又P(X=2)=0.1P(X> P(X=k) 1)=0.1x(1-P(X=1)=0.9p(x=1),放PCX=+1 =0.9对任意 P(X=k) k∈N*都成立，从而{P(X=k)}是首项为0.1，公比为0.9的等比 数列，因此P(X=k)=0.1×0.9-1.由定义可知E(X)=P(X=1)+ 选择性必修第二册·SJ 2P(X=2)+3P(X=3)++P(X=k)+…,而P(X=i)=0.12x 091,下面先求2x091,喜x091=x09+2x09++(k- 1)×0.9-2+hx0.95-1,0.92ix0.9-1=1×0.9+2×0.92+…+(k-1)× 0.91+×0.9,作差得0.18i×0.91=1+0.9+0.9+…+ 09-1-kx0.9*=1X(1-0,g）-kx0.9=10-(k+10)x0.95,所以 1-0.9 含iP(X=)=01喜x091=10-kx0.9-10x0.9,当k足够大 时，k×0.9*≈0,10×0.9*≈0，故2P(X=i)≈10，可认为E(X)=10. 1 专题探究08统计与概率的综合应用 1.解：（1)）元244+56+8-5,7=3+4+4+4+5=4，所以2(-)( 5 5 y)=-3×(-1)+(-1)×0+0×0+1×0+3×1=6, 由于三(x,-)2=9+1+0+1+9=20,2(:-)2=1+0+0+0+1=2,相 6 9 关系数r=- (y:)2 25x2V√10≈0.95. 因为r>0.75,所以y与x具有较强的线性相关关系. (2)将地点1,2,3,4,5分别记为A,B,C,D,E,任抽2个地点的可 能情况有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E), (C,D),(C,E),(D,E),共10种情况，其中在地点3,4,5，甲型无 人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即(C,D),(C, E),(D,E)3种情况，故所求概率为 3 2.解：(1)零假设H0:喜好红色或蓝色与性别无关，因为X2= 10x(20x15-25x40)2_2450≈8.249>6.635，所以根据独立性检 60×40×45×55 297 验，没有充分证据推断H成立，因此有99%的把握认为“喜好红色 或蓝色与性别有关”. (2)①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，标号为1号 到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，设事件A记为所选 的4个箱子的标号数之和为奇数，则PA)-CSC+CC.16 C435 ②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，则选 取4个箱子的所有情况有：(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)， (1,2,3,7),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,4,7),(1,2,5,6),(1, 2,5,7),(1,2,6,7),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,4,7),(1,3,5, 6),(1,3,5,7),(1,3,6,7),(1,4,5,6),(1,4,5,7),(1,4,6,7), (1,5,6,7),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,4,7),(2,3,5,6),(2, 3,5,7),(2,3,6,7),(2,4,5,6),(2,4,5,7),(2,4,6,7),(2,5,6, 7),(3,4,5,6),(3,4,5,7),(3,4,6,7),(3,5,6,7),(4,5,6,7), 记所选的箱子中有X对相邻序号，可得X=0,1,2,3,则P(X=0)= 85号号P号号言 C 1 ,所以随机变量X的分布列为 4 学霸68 0 1 2 3 1 12 18 4 P 35 3535 35 因此数学期望E(X)=0x 12 18 +1× +2× +3× 412 35 35 35 1 35 3+4+5+6+7+8 3.解：(1)依题意，x= =5.5,y= 70+65+62+59+56+48 6 6 60,而含=1910，盒好=19，于是6 =1 联-6 1910-6×5.5×60-70 199-6×5.5217.5 =-4,a=y-6x=60+4×5.5=82,所以所求经 验回归方程为y=-4x+82, (2)利用(1)中所求的经验回归方程y=-4x+82得当x1=3时，少1= 70;当x2=4时，少2=66；当x3=5时，3=62；当x4=6时，少4=58；当 x5=7时，y5=54:当x6=8时，y6=50,与销售数据对比知满足1y: y≤1(i=1,2,…,6)的共有4个“好数据”：(3,70)，(4,65)，(5， 62),(6,59),记6个销售数据中的4个“好数据”分别为a,b,c,d, 另两个数据为1,2，从6个销售数据中任取2个的试验的样本空 间：2={ab,ac,ad,al,a2,bc,bd,b1,b2,cd,cl,c2,dl,d2,12},共 15个样本点，设“好数据”至少有1个的事件为A,其对立事件 114 为A={12},故P(A)=1-P(A)=1 15=15 ,所以“好数据”至少有 1个的影率为治 4.解：(1)由已知得列联表如下： 生活习惯B 疾病A 合计 具有 不具有 患病 25 15 40 未患病 20 40 60 合计 45 55 100 根据列联表中的数据，经计算得：x2=100x(40x25-15×20)2 45×55×40×60 8.249>6.635,故有超过99%的把握认为，该市市民患有疾病A与 是否具有生活习惯B有关 459 (2)由(1)数据可得：P(M)= 201 020P(NM)=00 .所以 1 P(NMM=P(N面.54 P(M) 99 20 (a)(2)蜘，P0品写所以x-a,写） ,所以E(X) 的估计值为p=3× 13 55 5.解：(1)令u=,则y=a+b可转化为y=a+bu,因为万=360 45, 84:-8my183.4-8x0.34x4561 所以B= 好-8(a2 1.53-8x0.1150.6=10,则a=7- 参考答案 ?u=45-100×0.34=11,所以y=11+100u,所以y关于x的经验回 归方程为y=1+10 (2)y与上的相关系数为2= 4，x-8可 i1 宫好-8(2]-8内 V0.61x61855640.9,因为1nKl<1,所以用反比例函数 61 61 模型拟合效果更好，当x=10时，y 10+11=21(元)，所以当产量 100. 为10千件时，每件产品的非原料成本为21元 (3)(1)若产品单价为100元，记企业利润为X(千元)，订单为 9千件时，每件产品的成本为。+ +21元，企业的利润为611千元， 订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690千 元，企业利润X(千元)的分布列为 X611690 P0.80.2 所以E(X)=611×0.8+690×0.2=626.8(千元)； (i)若产品单价为90元，记企业利润为Y(千元)， 订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590千 元，订单为11千件时，每件产品的成本为 100 +21元，企业的利润 为659千元，企业利润Y(千元)的分布列为 Y590659 P0.30.7 所以E(Y)=590×0.3+659×0.7=638.3(千元)，626.8<638.3， 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元. 专题探究09统计概率与数列、 不等式的综合应用 是sy-13s·7 1.解：（1)由已知r1= = √层-13(2·√层-13列2 13.94 ≈0.8858，则Ir11<Ir2|<1,所以利用模型y=c+ √/11.67×√21.22 。建立y关于x的经验回归方程更合适 2)由山)得月多-13·习 -2.1 3-13(020.2-10,a=y-Bi=109.94+10x 13 Q.16=11.54,则y关于x的经验回归方程为=11.54-10 (3)由题目可知，利润函数：=20y子=20×(11.54-0） 22308-(+号），由本不等式+≥ 1 2√四子20，当且仪当四受，即=0时等号度立，所以 学霸69