第8章 专题探究07 二项分布与超几何分布的期望与方差-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

专题探究07二项分布与超儿何分布的期望与方差 课堂 1.(2024·浙江台州高二期中)若随机变量X~5.(2024·重庆一中高三月考)在一种新能源产 B(n,P),且E(X)=6,D(X)=5,则p的值为 品的客户调查活动中发现，某小区10位客户 有4人是该产品的潜在用户，小刘负责这10 D. 人的联系工作，他先随机选择其中5人安排 6 在上午联系，剩余5人下午联系 2.（2023·江西南昌高二月考)已知5件产品中 (1)设上午联系的这5人中有专个潜在用户， 有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽 求专的分布列与期望； 取2件进行检测，记取到的正品数为，则数 (2)小刘逐一依次联系，直至确定所有潜在用 学期望E()为 ( 户为止，求小刘6次内即可确定所有潜在 A号 C.1 D.g 用户的概率. 3.某公司有日生产件数为95的“生产能手” 3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这 5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之 和X的方差为 4.(2024·江苏苏州高二期末)已知某射击运动 员每次射击命中10环的概率为。，每次射击 的结果相互独立，共进行4次射击： (1)求恰有3次命中10环的概率； (2)求至多有3次命中10环的概率； (3)设命中10环的次数为X,求随机变量X 的数学期望E(X)和方差D(X) 选择性必修第二册·SJ学霸086 6.（2024·福建福州高二期中)为普及空间站相7.(2024·广东广州高三月考)某农户考察三种 关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关 不同的果树苗A、B、C,经引种试验后发现，引 活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸 种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、 太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题 C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9) 目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为 (1)任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活 程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中 的棵数为X,求X的分布列及E(X); 随机选择3个进行编程，全部结束后提交评 (2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作 委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯 为B种树苗自然成活的概率.该农户决定 关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成 引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活 其中6个，乙正确完成每个程序的概率为 的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培 0.6,每位选手每次编程都互不影响. 技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余 (1)求乙闯关成功的概率； 的树苗不能成活 (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和 ①求一棵B种树苗最终成活的概率； 期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性 ②若每棵树苗引种最终成活后可获利 更大 300元，不成活的每棵亏损50元，该农户 为了获利不低于20万元，问至少引种 B种树苗多少棵？ 第8章学霸0871个元素的有CC2=12(种)； 情形三：若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足AU B=U的情况有C(1+C3+C?+1)=4×8=32(种)，而满足A∩B恰 有1个元素的有C4C=4×3=12(种)； 情形四：若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，且注意到集 合A,B不同，此时满足AUB=U的情况有C4(C4+C+C)=1×14= 14(种)，而满足A∩B恰有1个元素的有C4C4=4(种)； 故由条件概率公式可得A门B恰有1个元素的概率为P= 4-9做答案为9 9.解：(1)“每个项目都有人报名”，即5名学生分三组，人数分为3， C 1,1或2,2,1，此时报名情况有CA+ 2A号=150（种）. A (2)记事件A为“其中一个项目恰只有三名学生报名”，事件B为 “只有甲同学一人报‘记者在线'”.事件A的情况有CA+ CC号A9=120(种)，所以P(A)=120, 35； 若A,B同时发生，即其中一个项目恰只有三名学生报名，且只有甲 报“记者在线”则有C=8(种)，所以P(1 8 以P(BA)=P(AB)351 P(A)12015 10.解：(1)依题意，在事件A中，要求两个1需相邻，故只需要将其看 成一个元素与另外四个数字全排列即可，有A=120(种)方法， A号1 由古典概型概率公式可得P(A)= C哈A43 (2)在事件B中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另 外4个数字产生的5个空中进行插空，再对这四个数字进行全排 列即可，有CA4种方法，由古典概型概率公式可得P(B)= CA 2 CA 3 (3)在事件C中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有 一个数字，故只需先在3,4,5,9中选出1个数字放在两个1之 间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排列即可，有 C!A4种方法，由古典概型概率公式可得P(BC)= 器÷ 4 条件概率公式可得，P(C1B)=P(BC).-2 P(B)25 3 11.（1)解：①当n=4时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续 取出三个球（每个取后不放回），第三次取出为白球的情况有红红 白，红白白，白红白，：第三次取出的是白球的概率为2×1× 2.221,2、211 2+432+43×2=2 ②设选出的是第k(k=1,2,3,4)个袋子，连续三次取球的方法数 为A4=4×3×2=24, 选择性必修第二册·SJ 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： (白，白，白)，若k=1,则取法数为A=6=(4-k)(3-k)(2-k), 若k=2或k=3或k=4,取法数为0，也满足关系(4-k)(3 k)(2-k),故取（白，白，白）的取法数可表示为(4-k)(3-k)(2-k), 同理（白，红，白），取法数为k(4-k)(3-k), (红，白，白)，取法数为k(4-k)(3-k), (红，红，白)，取法数为(k-1)(4-k), 从而第三次取出的是白球的取法数为(4-k)(3-k)(2-k)+ k(4-k)(3-k)+k(4-k)(3-)+k(k-1)(4-k)=3×2(4-k), 则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率4】 则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率3=4， 1 而选到第：个袋子的概率为4，放所求概率为p=宫m·子 4 1 含培子=40=-号 所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概 1.1 441 率为 3 6 8 (2)证明：设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为A3= n(n-1)(n-2), 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： (白，白，白)，取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2), (白，红，白)，取法数为k(n-k)(n-k-1), (红，白，白)，取法数为k(n-k)(n-k-1), (红，红，白)，取法数为k(-1)(n-k), 从而第三次取出的是白球的取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)+ k(n-k)(n-k-1)+k(n-k)(n-k-1)+k(k-1)(n-k)=(n-1)(n- 2)(n-k), 则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率4=”一，而选到 n 第6个袋子的概率为，所以p=含：·含”·7京 p.1=-k.1=1 1.n-1111 含(n-)=京高=2n22n2 专题探究07二项分布与超几何 分布的期望与方差 1.A解析：因为E(X)=m=6,D(X)=m(1-p)=5,所以1-p= 6 解得p=石故选A 2.D解析：解法一：可能取0,1,2，其对应的概率为P(专=0)= C 0P5=1)=CgC6 皆-品re-2音高-0 合+2品号 学霸58 解法二：由题可知，5服从超几何分布，故E()=2×?-6 55 故选D. 3.576解析：由题意，可得X的可能取值为190,150,110，且P(X= g0Px=15o)-C3p(X=10)= c9c33 190)= CC3 3 c9 C 3 3 1 0则E(X)=190x0+150x写+110x10=158,所以方差D(X)= 32x号(-8)2x号+(-48)2x0-516枚答案为576 4.解：(1)设运动员每次射击命中10环为随机变量，则由题意可知 专~B(4,号)，则恰有3次命中10环的概率即P(传=3)= c()(行)广 (2)至多有3次命中10环的概率即P(≤3)=1-P(专=4)=1- (传）器 416 4116 (3)E(X)=p=4×5=5,D(X0=p(1-p)=4×5×525 5.解：(1)由题知，服从超儿何分布，可能取值有0,1,2,3,4，所以 P(5=0) %42P(5=1)=CC5 C6C91 C%21,P(5=2)= 8C10 C021· C哈C45 P(5=3) Cio 2P(G=4)= 6C41 42得分布列为： Cio 专0123 15105 1 P 4221212142 1 .5 10 5 所以B(5)=0x2+1×2+2x21+3×2+4x42=2 (2)记确定所有潜在用户所需要的联系次数为X,则P(X=4)= C41 C82i0P(X=5)= 4C612 C%6105,P(X=6)= Cc哈1，C哈 Cio 5 Cfo 1.2 。所以6次内即可确定所有潜在用户的概率为0+ 118 210105 方法总结 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤： (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值 的平均水平，因此在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平 均水平高！ (2)在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机 变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一 下谁的水平发挥相对稳定 (3)下结论.依据均值和方差得出结论 6.解：(1)记事件A为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为 0.6,则P(A)=C×0.62×(1-0.6)+(0.6)3=0.648. (2)甲编写程序正确的个数X的可能取值为0,1,2,3，P(X=0)= 参考答案 C41 C030,P(X=1)= 70,P(K=2)=C4Cg1 CC 3 2,P(X=3)= C6_1 C6 ,故X的分布列为： X 0 123 13 1 1 30102 6 2+3x人、9 (X=0x0+1x2 30 6了，甲网关成功的概率 2+6=了>0.648，故甲比乙闯关成功的可能性更大 P= 1,12 7.解：(1)由题意知，X的所有可能值为0,1,2,3，则P(X=0)= 0.2(1-p)2=0.2p2-0.4p+0.2;P(X=1)=0.8×(1-p)2+0.2×C2×p× (1-p)=0.8(1-p)2+0.4p(1-p)=0.4p2-1.2p+0.8;P(X=2)= 0.2p2+0.8×C2×p×(1-p)=0.2p2+1.6p(1-p)=-1.4p2+1.6p:P(X= 3)=0.8p2.由此得X的分布列如下表： 3 0.2p2- 0.4p2- -1.4p2+ 0.8p 0.4p+0.2 1.2p+0.8 1.6p 所以E(X)=1×(0.4p2-1.2p+0.8)+2×(-1.4p2+1.6p)+3×0.8p2= 2p+0.8. (2)根据0.7≤p≤0.9，由(1)知当p=0.9时，E(X)取得最大值. ①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9+0.1×0.75×0.8=0.96. ②记Y为n棵B种树苗的成活株数，M(n)为n株B种树苗的利 润，则Y~B(n,0.96),所以E(Y=0.96n,所以M(n)=300Y-50(n Y)=350Y-50n,故E(M(n))=350E(Y)-50n=286n,要使 E(M(n))≥200000，则有n≥699.3.所以该农户应至少种植700棵 B种树苗，才可获利不低于20万元 第8章真题演练 1.BC解析：依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1,0.01),故 P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)=0.8413>0.5,C正确， D错误；因为X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1).因 为P(X<1.8+0.1)=0.8413,所以P(X>1.8+0.1)=1-0.8413= 0.1587<0.2,所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)< 0.2,B正确，A错误故选BC. 2.A解析：同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=0.4，记“该同学爱 好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,则P(A)=0.5, P(4B)=Q.4,所以P(B1A=P4B)Q4 P(A)0508故选A 3.ABD解析：对于A,依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是 发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们 相互独立，所以所求概率为(1-B)(1-a)(1-B)=(1-a)· (1-B)2,A正确； 对于B,三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1， 0,1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事 件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-B)·B·(1-)= 学霸59